2021屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

2020年重慶一中高2021級(jí)高三上期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別利用對(duì)數(shù)型函數(shù)以及指數(shù)型函數(shù)求值域的方法求出集合，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù).屬于較易題.2.設(shè)，，，，則，的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意計(jì)算做差可得，得到答案.【詳解】由，，得，，∴，故，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了做差法比較大小，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.3.已知直線是曲線的切線，則的方程不可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線的切線的斜率的取值范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷各選項(xiàng)中的直線是否為曲線的切線，由此可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，則，所以，曲線的切線的斜率的取值范圍是.對(duì)于A選項(xiàng)，直線的斜率為，令，解得，此時(shí)，點(diǎn)在直線上，則直線與曲線相切；對(duì)于B選項(xiàng)，直線的斜率為，該直線不是曲線的切線；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的斜率為，令，解得，此時(shí)，點(diǎn)在直線上，所以，直線與曲線相切；對(duì)于D選項(xiàng)，直線的斜率為，令，解得，此時(shí)，點(diǎn)在直線上，所以，直線與曲線相切.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義驗(yàn)證函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形與圓面積公式，可知面積比即為圓心角之比，再根據(jù)圓心角和的關(guān)系，求解出扇形的圓心角．【詳解】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查圓與扇形的面積計(jì)算，難度較易．扇形的面積公式：，其中是扇形圓心角的弧度數(shù)，是扇形的弧長．5.若函數(shù)(其中，)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中所給的函數(shù)有零點(diǎn)，結(jié)合解析式的特征，求得函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)分段函數(shù)的意義再結(jié)合式子的特征求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，若函數(shù)若有零點(diǎn)，則，解得，故，又，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)分段函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.6.已知，函數(shù)，對(duì)任意，都有，則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式為，由題意可知，點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合可求得的值.【詳解】，根據(jù)，得是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則，可得，，，所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)值，同時(shí)也考查了輔助角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，利用賦值法可得出結(jié)果.【詳解】，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，可得，令，可得，即，解?所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，，對(duì)任意的，，，，故函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上有，則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調(diào)遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬于較難題.二、多項(xiàng)選擇題9.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則角的值不可能是()A.45° B.60° C.75° D.90°【答案】CD【解析】【分析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判斷.【詳解】∵，由正弦定理得：∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，故.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.屬于較易題.10.下列說法正確的是()A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“若，則”的否定是真命題C.命題“，”的否定形式是“，”D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】解方程，利用集合的包含關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；判斷命題的真假，可判斷出該命題的否定的真假，進(jìn)而可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用特稱命題的否定可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用圖象平移得出函數(shù)的解析式，利用對(duì)稱性的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，解方程，可得，，所以，“”是“”的充分不必要條件，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則命題為假命題，它的否定為真命題，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，命題“，”的否定形式是“，”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查了充分不必要條件、命題的否定的真假、特稱命題的否定的判斷，同時(shí)也考查了函數(shù)對(duì)稱性的驗(yàn)證，考查推理能力，屬于中等題.11.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】只要解方程，觀察它有沒有實(shí)解即可得，【詳解】選項(xiàng)A，若，則，該方程無解，故A中函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)B，若，則，解得或-1，故B中函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)C，若，則，，或，，解得，故C中函數(shù)是：“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)D，若，則，該方程無解，故D中函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查新定義“不動(dòng)點(diǎn)”，解題關(guān)鍵是根據(jù)新定義把問題轉(zhuǎn)化為方程有無實(shí)數(shù)解．12.已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論，正確的是()A.的一個(gè)周期是 B.是非奇非偶函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.的最大值大于【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)周期函數(shù)定義判斷選項(xiàng)A，再根據(jù)函數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)判斷B選項(xiàng)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷C，D選項(xiàng).【詳解】，的一個(gè)周期是，故A正確；，是非奇非偶函數(shù)，B正確；對(duì)于C，時(shí)，，不增不減，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，考查了特例法求解選擇題，屬于中檔題.三、填空題13.若冪函數(shù)過點(diǎn),則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先求得冪函數(shù)的解析式，在根據(jù)的單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)，得，所以，所以在上遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法，考查冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，，則的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用換底公式可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)取“=”.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式的運(yùn)算、考查了換底公式與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.15.______．【答案】【解析】【詳解】,,故答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、切割化弦思想.16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，點(diǎn)是的重心，且，則______.【答案】4【解析】【分析】首先根據(jù)余弦二倍角公式得到，設(shè)邊上的中線為，得到，從而得到，再平方解方程即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以?舍去).設(shè)邊上的中線為，如圖所示：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，，化簡得，解得?舍去).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，同時(shí)考查了余弦二倍角公式，屬于簡單題.四、解答題17.已知點(diǎn)在角的終邊上，且.(1)求值：；(2)若，且，求的值.【答案】(1)2；(2).【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到；(1)原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出結(jié)果；(2)先利用已知角的范圍求得，求出，再利用，最后利用兩角和的余弦公式求解即可得出結(jié)果.【詳解】由題意：，，，且，(1)；(2)∵，，∴，∴，∴，，∵，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的余弦公式.屬于中檔題.18.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)遞增？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【解析】【分析】(1)由二倍角公式降冪，再由兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得值域；(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由2在減區(qū)間內(nèi)部，得結(jié)論．【詳解】解：(1)∵.又∵，∴，即，∴；(2)由得，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，令，函數(shù)在上遞減，而，即函數(shù)在上是遞減的，故不存在實(shí)數(shù)，使得在上遞增.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的值域，考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性，解題方法由二倍角公式，兩角和與差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解．19.已知，函數(shù)在處取得極值.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).【解析】【分析】(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處取得極值，得到，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得其單調(diào)區(qū)間；(2)將不等式轉(zhuǎn)化為，之后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，進(jìn)而求得最值，得到結(jié)果.【詳解】，由得，，(1)，由得，由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)，令，則，由，得，由，得，故在上遞減，在上遞增，∴，即，故實(shí)數(shù)的最大值是.【點(diǎn)睛】該題考查是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題目.20.已知函數(shù)，其中.(1)求關(guān)于的不等式的解集；(2)若，求時(shí)，函數(shù)的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)分段函數(shù)定義域解不等式可求得答案；(2)畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可求得的最大值【詳解】(1)，當(dāng)時(shí)，由，得，，，，當(dāng)時(shí)，由，即，，令，，方程無解，而，所以無解，綜上所述，，所以不等式的解集為.(2)時(shí)，∵，由得另一個(gè)根，由的圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為綜上所述，函數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解分段函數(shù)不等式的問題，分段函數(shù)求最值的問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.21.重慶、武漢、南京并稱為三大“火爐”城市，而重慶比武漢、南京更厲害，堪稱三大“火爐”之首.某人在歌樂山修建了一座避暑山莊(如圖).為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條夾角為(即)的小路之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知弓形花園的弦長且點(diǎn)，落在小路上，記弓形花園的頂點(diǎn)為，且，設(shè).(1)將，用含有的關(guān)系式表示出來；(2)該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何規(guī)劃花園(即，長度)，才使得噴泉與山莊距離即值最大？【答案】(1)；；(2)當(dāng)時(shí)，取最大值.【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理即可將，用含有的關(guān)系式表示出來；(2)在中，由余弦定理得出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的最大值，再求出的長度即可.【詳解】(1)在中，由正弦定理可知，則；同理由正弦定理可得，則，(2)∵，，∴，在中，由余弦定理可知，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，涉及了三角函數(shù)求值域，屬于中檔題.22.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極小值，求的取值范圍；(2)若，，試研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)有3個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)得，求出，再由和兩種情況討論求得的取值范圍；(2)分析可知，只需研究時(shí)零點(diǎn)