備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)eq\x(\s\up1(01))不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝eq\x(\s\up1(02))λ1e1＋λ2e2.2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與eq\x(\s\up1(03))x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底，對任一向量a，有唯一一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，eq\x(\s\up1(04))(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝eq\x(\s\up1(05))(1,0)，j＝eq\x(\s\up1(06))(0,1)，0＝eq\x(\s\up1(07))(0,0).3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝eq\x(\s\up1(08))(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\x(\s\up1(09))(x1－x2，y1－y2)，λa＝eq\x(\s\up1(10))(λx1，λy1).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(11))(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\x(\s\up1(12))eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a＝λb(λ∈R)?eq\x(\s\up1(13))x1y2－x2y1＝0.1．平面向量的一個(gè)基底是兩個(gè)不共線向量構(gòu)成的集合，平面向量基底可以有無窮多個(gè)．2．當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)等價(jià)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．3．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.4．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a＋b等于()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)答案D解析2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故選D.2．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))答案B解析兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一個(gè)基底，A中向量e1為零向量，C，D中兩向量共線，B中e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線．故選B.3．設(shè)向量a＝(－1,2)，向量b是與a方向相同的單位向量，則b＝()A．(1，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))答案B解析因?yàn)橄蛄縝是與a方向相同的單位向量，所以b＝eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,\r(－12＋22))(－1,2)＝eq\f(\r(5),5)(－1，2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).故選B.4．(2021·濟(jì)南模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x＋y＝()A．1 B．6C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)答案C解析因?yàn)镕是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不共線，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(1,6).5．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________.答案eq\f(8,5)解析因?yàn)閍∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝eq\f(8,5).6．已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.答案(1,5)解析設(shè)D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x，6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))考向一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)(2021·長春三模)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tanα＝7，向量eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為45°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m∈R，n∈R)，則n－m＝________.答案eq\f(1,2)解析解法一：作平行四邊形OA′CB′，如圖所示，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA′,\s\up6(→))＋eq\o(OB′,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，在△OB′C中，∠BOC＝45°，∠OCB′＝α，OC＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝7，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(7\r(2),10)，,cosα＝\f(\r(2),10)，))sin∠OB′C＝sin[180°－(α＋45°)]＝sin(α＋45°)＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5).由正弦定理得OB′＝eq\f(OCsin∠OCB′,sin∠OB′C)＝eq\f(\r(2)×\f(7\r(2),10),\f(4,5))＝eq\f(7,4)，B′C＝eq\f(OCsin∠BOC,sin∠OB′C)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4,5))＝eq\f(5,4).所以O(shè)A′＝B′C＝eq\f(5,4)，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，所以eq\o(OA′,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝eq\f(7,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(5,4)，n＝eq\f(7,4)，所以n－m＝eq\f(1,2).解法二：由已知條件可知，α為銳角，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝7，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(7\r(2),10)，,cosα＝\f(\r(2),10)，))以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A在第四象限，因?yàn)閨eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，由已知條件可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，－\f(7\r(2),10)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，C(eq\r(2)，0)，因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m∈R，n∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝\r(2)，,－\f(7\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4).))因此n－m＝eq\f(1,2).(2)(2022·廣東清遠(yuǎn)月考)如圖所示，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.①用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；②若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．解①依題意，A是BC的中點(diǎn)，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.②設(shè)eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(0<λ<1)，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(DC,\s\up6(→))，(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行化簡，直至用基底表示為止．(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．1.(2021·青島市高三上學(xué)期期末)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，若eq\o(EB,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．y＝2x B．y＝－2xC．x＝2y D．x＝－2y答案D解析如圖所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,3)，即x＝－2y.故選D.2.如圖，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊作平行四邊形OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).解∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)(2021·廈門外國語學(xué)校模擬)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)答案D解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．(2)(2021·遼寧省遼南協(xié)作校二模)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝－eq\f(1,3)(5＋4×2，－2＋2×3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故選D.(3)(2021·天津和平區(qū)模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(6,5) B．eq\f(8,5)C．2 D．eq\f(8,3)答案B解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0，2)，B(1,2)，E(0，1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(6,5)，μ＝eq\f(2,5)，則λ＋μ＝eq\f(8,5).故選B.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．3.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則c可用向量a，b表示為()A．c＝eq\f(1,2)a＋b B．c＝－eq\f(1,2)a－bC．c＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b答案A解析設(shè)c＝xa＋yb，易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))∴c＝eq\f(1,2)a＋b.故選A.4．已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，若點(diǎn)E滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))答案A解析解法一：易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設(shè)E(x，y)，則3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).解法二：易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))得eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).考向三平面向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.答案(3,3)解析解法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．解法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．(2)(2021·湖北宜昌一模)已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m>0，n>0，若a∥b，則eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值為________.答案eq\f(9,2)解析∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m>0，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)＝eq\f(1,4)(n＋2m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(8,n)))＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(n,m)＋\f(16m,n)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(n,m)·\f(16m,n))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)4m＝n＝eq\f(8,3)時(shí)取等號．所以eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值是eq\f(9,2).利用兩向量共線解題的技巧(1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．5.(2021·山東省菏澤市一模)已知向量a，b滿足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，則m＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因?yàn)閍∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(1,2).故選D.6．(2021·長郡中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，sinα－1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2，cosα)，若B，C，D三點(diǎn)共線，則tan(2021π－α)＝________.答案－2解析∵B，C，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(BC,\s\up6(→))＝x(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即(2，cosα)＝x(4，sinα)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝4x，,cosα＝xsinα，))得x＝eq\f(1,2)，即cosα＝eq\f(1,2)sinα，得tanα＝2，則tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－2.一、單項(xiàng)選擇題1．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b＝()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)答案A解析由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝eq\f(1,2)(－6，8)＝(－3,4)．2．(2021·山東聊城月考)已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))答案D解析因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).3．(2021·常德模擬)平面向量a與b的夾角為120°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝()A．4 B．3C．2 D．eq\r(3)答案C解析由題目條件，兩向量如圖所示，可知b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則|a＋2b|＝|(1，eq\r(3))|＝2.4.如圖，在梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析根據(jù)題圖，由題意可得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)，s＝eq\f(2,3)，則2r＋3s＝1＋2＝3.5．(2021·山東淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考)已知點(diǎn)A(8，－1)，B(1，－3)，若點(diǎn)C(2m－1，m＋2)在線段AB上，則實(shí)數(shù)m＝()A．－12 B．13C．－13 D．12答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB上，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))同向．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－7，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2m－9，m＋3)，故eq\f(2m－9,－7)＝eq\f(m＋3,－2)，解得m＝－13.故選C.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若實(shí)數(shù)λ滿足a＋b＝λc，則λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案B解析由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，據(jù)此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,λm＝5，,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,m＝1，))所以λ＋m＝6.7．(2021·青島模擬)已知向量a＝(1＋cosx,2)，b＝(sinx,1)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若a∥b，則sinx＝()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2\r(5),5)答案A解析根據(jù)題意，向量a＝(1＋cosx,2)，b＝(sinx,1)，若a∥b，則2sinx＝1＋cosx，變形可得cosx＝2sinx－1，又sin2x＋cos2x＝1，則有sin2x＋(2sinx－1)2＝1，變形可得，5sin2x－4sinx＝0，解得sinx＝0或sinx＝eq\f(4,5)，又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinx＝eq\f(4,5).故選A.8．(2022·河北石家莊質(zhì)檢)地磚是一種地面裝飾材料，也叫地板磚，用黏土燒制而成，質(zhì)堅(jiān)、耐壓、耐磨、防潮．地板磚品種非常多，圖案也多種多樣．如圖是某公司大廳的地板磚鋪設(shè)方式，地板磚有正方形與正三角形兩種形狀，且它們的邊長都相同，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(5,2)a－eq\f(1,2)b B．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),2)bC．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),3)))a＋eq\f(\r(3),3)b D．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b答案D解析以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB|＝2，則O(0，eq\r(3))，A(－1,0)，B(1,0)，F(xiàn)(1，2＋2eq\r(3))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,2＋2eq\r(3))．設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝2，,－\r(3)λ－\r(3)μ＝2＋2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2－\f(\r(3),3)，,μ＝－\f(\r(3),3)，))所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點(diǎn)，則可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的向量組是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))答案AC解析平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，如圖，對于A，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線，可作為基底；對于B，eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))為共線向量，不可作為基底；對于C，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))是兩個(gè)不共線的向量，可作為基底；對于D，eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))在同一直線上，是共線向量，不可作為基底．10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1答案ABD解析各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形，故選ABD.11．(2021·廣東湛江高三模擬)若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)bC.eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a答案ABC解析如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a，故A正確；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故B正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)×(－b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故C正確；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，故D不正確．故選ABC.12．(2021·日照調(diào)研)如圖1，“六芒星”由兩個(gè)全等的正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對邊分別平行，點(diǎn)A，B是“六芒星”(如圖2)的兩個(gè)頂點(diǎn)，動點(diǎn)P在“六芒星”上(包含內(nèi)部以及邊界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則x＋y的取值可能是()A．－6 B．1C．5 D．9答案BC解析設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，求x＋y的范圍，只需考慮圖中6個(gè)向量的情況即可，討論如下：①若P在A點(diǎn)，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，∴x＋y＝1＋0＝1；②若P在B點(diǎn)，∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∴x＋y＝0＋1＝1；③若P在C點(diǎn)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋2b，∴x＋y＝1＋2＝3；④若P在D點(diǎn)，∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴x＋y＝2＋3＝5；⑤若P在E點(diǎn)，∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋b，∴x＋y＝1＋1＝2；⑥若P在F點(diǎn)，∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋3b，∴x＋y＝1＋3＝4.∴x＋y的最大值為2＋3＝5.根據(jù)對稱性，可知x＋y的最小值為－5.故選BC.三、填空題13．(2021·哈爾濱六中二模)已知向量a＝(log2x,1)，b＝(log23，－1)，若a∥b，則x＝________.答案eq\f(1,3)解析因?yàn)閍∥b，所以－log2x＝log23，所以log2x＋log23＝0，所以log2(3x)＝0，所以3x＝1，所以x＝eq\f(1,3).14．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.答案(2,4)解析因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．15.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)