2019-2021北京高一(上)期中數學匯編：函數的方程、不等式之間的關系

第1頁/共1頁2019-2021北京高一（上）期中數學匯編函數的方程、不等式之間的關系一、單選題1．（2021·北京市育英中學高一期中）一元二次方程的兩根均大于2，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京市育英中學高一期中）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2021·北京市第四十三中學高一期中）如果二次函數有兩個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2020·北京·首都師范大學附屬中學高一期中）已知函數的圖像是連續(xù)不斷的，有如下，的對應值表：1234561510-76-4-5則函數在區(qū)間上的零點至少有A．2 B．3個 C．4個 D．5個5．（2019·北京·東直門中學高一期中）函數，.若存在，使得，則的最大值為A．5 B．63 C．7 D．8二、填空題6．（2021·北京四中高一期中）對實數a和b，定義運算“”：設函數．若函數恰有兩個零點，則實數c的取值范圍是___________．7．（2019·北京市第十三中學高一期中）關于x方程在內恰有一解，則a的取值范圍_______8．（2019·北京市第二十二中學高一期中）已知是定義在上的增函數，且，則實數的取值范圍為__________.三、雙空題9．（2019·北京·牛欄山一中實驗學校高一期中）已知函數，則該函數的單調遞增區(qū)間為______，若方程有三個不同的實根，則實數的取值集合是______．10．（2019·北京師大附中高一期中）已知λ∈R，函數f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．四、解答題11．（2021·北京八十中高一期中）已知函數是定義在R上的奇函數，且．(1)求函數的解析式，以及零點．(2)判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性的定義證明．(3)判斷函數在區(qū)間上的單調性．（只需寫出結論）(4)在所給出的平面直角坐標系上，作出在定義域R上的示意圖．12．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數.（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）判斷當時函數的單調性，并用定義證明；（3）在（2）成立的條件下，解不等式.13．（2020·北京通州·高一期中）已知二次函數.(1)若函數的圖象經過原點，求實數的值；(2)若對于，都有成立，求實數的取值范圍.14．（2020·北京·大峪中學高一期中）已知函數.（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；（2）當時，對任意，恒成立，求的取值范圍.15．（2019·北京交通大學附屬中學高一期中）已知二次函數，有兩個零點為和．（1）求、的值；（2）證明：；（3）用單調性定義證明函數在區(qū)間上是增函數；（4）求在區(qū)間上的最小值．

參考答案1．C【解析】根據條件需滿足，，對稱軸即可求出m的取值范圍.【詳解】關于x的一元二次方程的兩根均大于2，則,解得.故選：C.【點睛】本題考查一元二次方程的根的分布，屬于基礎題.2．A【分析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】由函數的解析式可得：，則函數為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．3．D【分析】二次函數與軸有兩個交點,可知,求解即可.【詳解】二次函數有兩個不同的零點,則,解得或.故選:D.【點睛】本題考查二次函數的零點,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.4．B【分析】根據表格中各點對應的函數值的正負，以及連續(xù)函數的零點存在定理，得到答案.【詳解】由題表可知.又的圖像為連續(xù)不斷的曲線，所以在區(qū)間，，上各至少有一個零點.因此上至少有3個零點，故選項.【點睛】本題考查連續(xù)函數的零點存在定理，屬于簡單題.5．D【分析】由題意可得，設，可得存在，，…，，使得，求得的最值，即可得到所求的最大值．【詳解】函數，．，即為，化為，設，可得存在，，…，，使得，由在處取得最小值2，在處取得最大值，即有，即為，可得的最大值為8，故選D．【點睛】本題考查函數的最值的求法，注意運用轉化思想，以及二次函數在閉區(qū)間上的最值求法，考查運算能力，解題的關鍵是將題意等價轉化為函數最大值與最小值之間的關系，屬于中檔題．6．【分析】根據定義運算法則化簡，畫出的圖像，結合圖像可求出c的取值范圍【詳解】因為，所以由圖可知，當或時，函數與的圖象有兩個公共點，的取值范圍是.故答案為：7．【分析】當時，驗證不合題意，得，令，由，，建立不等式，解之可得答案.【詳解】解：當時，，不合題意，∴，令，有，，要使在內恰有一個零點，∴即可，則，故答案為：.8．【分析】根據定義域和單調性即可列出不等式求解.【詳解】是定義在上的增函數∴由得，解得，即故t的取值范圍.9．

和

【分析】作出函數，根據圖象可得單調遞增區(qū)間，通過的圖象與有三個不同的實根，即可求解實數的取值集合．【詳解】解：由函數，作出函數如圖所示：方程有三個不同的實根，即的圖象與有三個不同的交點，故答案為：和；【點睛】此題考查函數與方程，考查函數的單調性，考查數形結合的思想，屬于基礎題10．

(1,4)

【詳解】分析:根據分段函數，轉化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數零點的取法，再對應確定二次函數零點的取法，即得參數的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當時，，此時，即在上有兩個零點；當時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．11．(1)，零點為；(2)在上是單調遞減，證明見解析．(3)函數在區(qū)間上單調遞增．(4)函數圖象見解析；【分析】（1）依題意根據奇函數的性質得到，再由，即可求出、，從而求出函數解析式，再令，求出，即可得到函數的零點．（2）利用函數單調性的定義進行證明即可（3）結合函數單調性的性質給出結論即可（4）結合函數的單調性作出草圖即可．(1)解：是定義在上的奇函數，，，又，解得，．令，即，解得，所以函數的零點為；(2)解：在上是單調遞減．證明：設，則，，，，，，即，在上單調遞減．(3)解：函數在區(qū)間上單調遞增．證明：設，則，，，，，，即，在上單調遞增．(4)解：因為，函數圖象如下所示：12．（1）奇函數，證明見解析；（2）單調增函數，證明見解析；（3）.【分析】（1）先求函數的定義域，再判斷與的關系，即可得到答案；（2）任取，作差判斷與的大小關系；（3）利用（1）（2）結論將原不等式，利用單調性即可得到答案；【詳解】（1）函數為奇函數.證明如下：∵定義域為R又∴為奇函數（2）函數在為單調增函數.證明如下：任取，則∵，∴，∴即故在上為增函數（3）由（1）?（2）可得，則解得：所以原不等式的解集為13．(1)或0(2)【分析】（1）由直接計算求出的值；（2）依題意，，解該不等式即可得解.(1)依題意，，解得或，∴實數的值為或0.(2)函數的圖象為開口向上的拋物線，要使對任意，都有成立，則，解得，∴實數的取值范圍為.14．（1）；（2）.【分析】(1)利用一元二次不等式解集區(qū)間的端點就是相應方程的根求解即可.(2)對任意恒成立，由二次項系數小于，則.列不等式求解即可.【詳解】(1)因為的解集為，所以關于的方程的兩個根為.所以，解得.(2)由題意得對任意恒成立，所以，解得，即的取值范圍是.【點睛】本題考查一元二次不等式的解集和恒成立問題,結合一元二次不等式、二次函數、一元二次方程的關系進行求解是解題的關鍵.15．（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.【分析】（1）利用韋達定理可得出關于實數、的方程組，即可求出這兩個未知數的值；（2）直接計算和f1?x，可證明出；（3）任取，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證明出函數在區(qū)間上是增函數；（4）分和兩種情況討論，分析函數在區(qū)間上的單調性，即可得出函數在區(qū)間上的最小值的表達式.【詳解】（1