黃金卷08（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

PAGE1試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（江蘇專用）黃金卷08（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，集合中至少有2個(gè)元素，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)元素，所以，解得，故選：D2．現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D．該組數(shù)據(jù)的極差為112【答案】B【解析】v將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對(duì)于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，第16個(gè)數(shù)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.3．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．在平行四邊形中，，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，所以，，所以，故選：D5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，整理可得，所?故選：A.6.我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該圓臺(tái)的上底面?下底面的半徑分別為，由題意可知：，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以其側(cè)面積為.故選：B.7．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，現(xiàn)據(jù)《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，如圖，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）（

）

A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m【答案】C【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，球心為，為與球的切線，則.，.

故選：C8．已知，都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若，則C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．【答案】D【解析】對(duì)于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函?shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；對(duì)于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，，兩式相加易得，所以有，即，有，即，所以為周期函數(shù)，且周期為，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)B，，B正確；對(duì)A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)C，，，C正確；對(duì)D，，D正確.故選：BCD.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對(duì)稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)【答案】AC【解析】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結(jié)合，可知，得的表達(dá)式為，故A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于，即的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，寫出一個(gè)滿足的復(fù)數(shù)：．【答案】（答案不唯一，滿足對(duì)即可）【解析】令，則，故．13．若二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，所以，因此展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即.14．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點(diǎn)M的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為.若點(diǎn)Р在圓上，則的最小值是.【答案】【解析】設(shè)，則，整理得（或）.設(shè)，則，故.令，則=..四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（本小題滿分13分）某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3………1分，，，………4分的分布列為：123………5分?jǐn)?shù)學(xué)期望．………7分（2），，………9分，………11分．關(guān)于的線性回歸方程為；………12分在中，取，得．預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．………13分16．（本小題滿分15分）如圖，在圓臺(tái)中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【解】（1）如圖，連接．因?yàn)樵趫A臺(tái)中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺(tái)母線且交于一點(diǎn)P，所以四點(diǎn)共面.………1分在圓臺(tái)中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.………………2分又，所以，所以，即為中點(diǎn)．在中，又M為的中點(diǎn)，所以．………4分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；……?分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋裕畡t．………7分因?yàn)?，所以．所以，所以．……?分設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，………10分又，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，………12分所以．………13分設(shè)二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為.………15分.17．（本小題滿分15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.要證，只需證：當(dāng)時(shí)，.………2分令，則，………3分則在單調(diào)遞增，所以，即.……5分（2），………6分令，則.………7分所以在單調(diào)遞增，，………8分①時(shí)，，.則在為增函數(shù)，在上無(wú)極值點(diǎn)，矛盾.………10分②當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，，則，則使.………12分當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增.………14分因此，在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以的取值范圍為.………15分18．（本小題滿分17分）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn).（i）證明：直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；（ii）求證：是定值.【解】（1）圓的圓心為，半徑，因?yàn)榫€段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則，………1分，∴點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線，………3分設(shè)雙曲線方程為，則，，所以，

所以點(diǎn)的軌跡方程為

………5分

（2）（i）設(shè)，，，若，則，即直線的方程為顯然滿足直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；………6分若，顯然，由題可知，則，，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，不妨令，，所以，，，即，即，∴直線的方程為，即，………8分又∵點(diǎn)在上，，則，即直線的方程為，………9分將方程聯(lián)立，得，，由，可知方程有且僅有一個(gè)解，∴與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；………11分

（ii）由（i）聯(lián)立，可得，………13分同理可得，………15分，所以是定值.………17分19．（本小題滿分17分）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.(1)若，寫出及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，求證：且.【解】（1）因?yàn)椋?，則，所以，，