專題02 整式運(yùn)算與因式分解-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分類匯編（河北專用）

PAGE1試卷第=page3636頁，共=sectionpages3838頁專題02整式運(yùn)算與因式分解1．（2023·河北·中考真題）代數(shù)式的意義可以是（

）A．與x的和 B．與x的差 C．與x的積 D．與x的商【答案】C【分析】根據(jù)代數(shù)式賦予實(shí)際意義即可解答．【詳解】解：的意義可以是與x的積．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的意義，掌握代數(shù)式和差乘除的意義是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024·河北·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，同底數(shù)冪的除法依次對(duì)各選項(xiàng)逐一分析判斷即可．解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算的相關(guān)法則．【詳解】解：A．，不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)符合題意；D．，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（2021·河北·中考真題）不一定相等的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別根據(jù)加法交換律、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法以及去括號(hào)法則計(jì)算各項(xiàng)后，再進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：A.=，故選項(xiàng)A不符合題意；B.，故選項(xiàng)B不符合題意；C.，故選項(xiàng)C不符合題意；D.，故選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了加法交換律、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法以及去括號(hào)法則，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·河北·中考真題）計(jì)算得，則“？”是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，計(jì)算即可．【詳解】，則“？”是2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法；注意．5．（2020·河北·中考真題）墨跡覆蓋了等式“（）”中的運(yùn)算符號(hào)，則覆蓋的是（

）

A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】D【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】∵（），，∴覆蓋的是：÷．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．（2020·河北·中考真題）若為正整數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)乘方的定義及冪的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】=，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．7．（2020·河北·中考真題）若，則（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】利用平方差公式變形即可求解．【詳解】原等式變形得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵．8．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意得：，利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，故選：A．9．（2020·河北·中考真題）對(duì)于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義進(jìn)行判斷即可；【詳解】①左邊多項(xiàng)式，右邊整式乘積形式，屬于因式分解；②左邊整式乘積，右邊多項(xiàng)式，屬于整式乘法；故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義理解，準(zhǔn)確理解因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，能被3整除，∴的值總能被3整除，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項(xiàng)式分解成若干個(gè)整式乘積的形式．11．（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（

）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“□”表示5C．運(yùn)算結(jié)果小于6000 D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為【答案】D【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時(shí)解決本題的關(guān)鍵．設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為和，則，即，可確定時(shí)，則，由題意可判斷A、B選項(xiàng)，根據(jù)題意可得運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，故可判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為和如圖：則由題意得：，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，不是正整數(shù)，不符合題意，故舍；當(dāng)時(shí)，則，如圖：，∴A、“20”左邊的數(shù)是，故本選項(xiàng)不符合題意；B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項(xiàng)不符合題意；∴上面的數(shù)應(yīng)為，如圖：∴運(yùn)算結(jié)果可以表示為：，∴D選項(xiàng)符合題意，當(dāng)時(shí)，計(jì)算的結(jié)果大于6000，故C選項(xiàng)不符合題意，故選：D．12．（2023·河北·中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n7ba1【答案】【分析】把代入得，可求得a的值；把分別代入和，據(jù)此求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2021·河北·中考真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長(zhǎng)如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊．【答案】4【分析】（1）直接利用正方形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)已知圖形的面積公式的特征，利用完全平方公式即可判定應(yīng)增加的項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)到圖形上即可．【詳解】解：（1）∵甲、乙都是正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；故答案為：．（2）要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為，若再加上（剛好是4個(gè)丙），則，則剛好能組成邊長(zhǎng)為的正方形，圖形如下所示，所以應(yīng)取丙紙片4塊．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積公式以及完全平方公式的幾何意義，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式特點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式等，本題涉及到的方法為觀察、假設(shè)與實(shí)踐，涉及到的思想為數(shù)形結(jié)合的思想．14．（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個(gè)圍棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10個(gè)，乙盒中都是白子，共8個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a個(gè)黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a＝；（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共個(gè)，乙盒中都是白子，共2m個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出個(gè)黑子放入乙盒中，此時(shí)乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多個(gè)；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個(gè)棋子放到甲盒，其中含有個(gè)白子，此時(shí)乙盒中有y個(gè)黑子，則的值為．【答案】41【分析】①用列表的方式，分別寫出甲乙變化前后的數(shù)量，最后按兩倍關(guān)系列方程，求解，即可②用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數(shù)量，按要求計(jì)算寫出代數(shù)式，化簡(jiǎn)，即可③用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數(shù)量，算出移動(dòng)的a個(gè)棋子中有x個(gè)白子，個(gè)黑子，再根據(jù)要求算出y，即可【詳解】答題空1：原甲：10原乙：8現(xiàn)甲：10-a現(xiàn)乙：8+a依題意：解得：故答案為：4答題空2：原甲：m原乙：2m現(xiàn)甲1：m-a現(xiàn)乙1：2m+a第一次變化后，乙比甲多：故答案為：答題空3：原甲：m黑原乙：2m白現(xiàn)甲1：m黑-a黑現(xiàn)乙1：2m白+a黑現(xiàn)甲2：m黑-a黑+a混合現(xiàn)乙2：2m白+a黑-a混合第二次變化，變化的a個(gè)棋子中有x個(gè)白子，個(gè)黑子則：故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的應(yīng)用；注意用表格梳理每次變化情況是簡(jiǎn)單有效的方法15．（2023·河北·中考真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．(1)請(qǐng)用含a的式子分別表示；當(dāng)時(shí)，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)，，當(dāng)時(shí)，(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到，，將代入用a表示的等式中求值即可；（2）利用（1）的結(jié)果，使用作差比較法比較即可．【詳解】（1）解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，；（2），理由如下：∵，∴∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加減，完全平方公式等知識(shí)，會(huì)根據(jù)題意列式和掌握做差比較法是解題的關(guān)鍵．16．（2022·河北·中考真題）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證：如，為偶數(shù)，請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．【答案】驗(yàn)證：；論證見解析【分析】通過觀察分析驗(yàn)證10的一半為5，；將m和n代入發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證即可證明．【詳解】證明：驗(yàn)證：10的一半為5，；設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，∴，其中為偶數(shù)，且其一半正好是兩個(gè)正整數(shù)m和n的平方和，∴“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，根據(jù)題目要求列出代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·河北·中考真題）整式的值為P．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求P的值；(2)若P的取值范圍如圖所示，求m的負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將m＝2代入代數(shù)式求解即可，（2）根據(jù)題意，根據(jù)不等式，然后求不等式的負(fù)整數(shù)解．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，；（2），由數(shù)軸可知，即，，解得，的負(fù)整數(shù)值為．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解不等式，求不等式的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（2020·河北·中考真題）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上，同時(shí)區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果．已知，兩區(qū)初始顯示的分別是25和－16，如圖．如，第一次按鍵后，，兩區(qū)分別顯示：（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求，兩區(qū)顯示的結(jié)果；（2）從初始狀態(tài)按4次后，計(jì)算，兩區(qū)代數(shù)式的和，請(qǐng)判斷這個(gè)和能為負(fù)數(shù)嗎？說明理由．【答案】（1）；；（2）；和不能為負(fù)數(shù)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，每按一次按鍵，屏幕的區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上，區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去，可直接求出初始狀態(tài)按2次后A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果．（2）依據(jù)題意，分別求出初始狀態(tài)下按4次后A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式，再求A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的和，判斷能否為負(fù)數(shù)即可．【詳解】解：（1）A區(qū)顯示結(jié)果為：，B區(qū)顯示結(jié)果為：；（2）初始狀態(tài)按4次后A顯示為：B顯示為：∴A+B===∵恒成立，∴和不能為負(fù)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，完全平方公式問題，解題關(guān)鍵在于理解題意，列出代數(shù)式進(jìn)行正確運(yùn)算，并根據(jù)完全平方公式判斷正負(fù)．19．（2024·河北滄州·二模）對(duì)“”解釋錯(cuò)誤的是（

）A．x與的積 B．x與的和 C．x與8的差 D．x減去8【答案】A【分析】本題主要考查了代數(shù)式的表示方法，代數(shù)式“”可以表述為x減去8；x與8的差；x與的和．【詳解】解：A、x與的積表述錯(cuò)誤；B、x與的和，表述正確；C、x與8的差，表述正確；D、x減去8，表述正確；故選：D．20．（2024·河北邯鄲·三模）在三個(gè)盤子中，分別裝有n個(gè)蘋果（），先從左邊的盤子中拿出兩個(gè)蘋果放入中間的盤子中，之后又從右邊的盤子中拿出一個(gè)蘋果放入中間的盤子中，最后從中間盤子中拿出一些蘋果放入右邊的盤子中，使中間盤子的蘋果個(gè)數(shù)恰好是右邊盤子的蘋果個(gè)數(shù)，這時(shí)中間盤子中蘋果的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】設(shè)最后從中間盤子中拿出個(gè)蘋果放入右邊的盤子中，表示出第三次：左邊盤子蘋果個(gè)，中邊盤子蘋果個(gè)，右邊盤子蘋果個(gè)，即可得，解得，進(jìn)而有則最后中間盤子蘋果的個(gè)數(shù)為：，結(jié)合，即可作答【詳解】本題主要考查了整式的計(jì)算，設(shè)最后從中間盤子中拿出個(gè)蘋果放入右邊的盤子中，第一次：左邊盤子蘋果個(gè)，中邊盤子蘋果個(gè)，右邊盤子蘋果個(gè)，第二次：左邊盤子蘋果個(gè)，中邊盤子蘋果個(gè)，右邊盤子蘋果個(gè)，第三次：左邊盤子蘋果個(gè)，中邊盤子蘋果個(gè)，右邊盤子蘋果．個(gè)，根據(jù)題意有：，解得：，則最后中間盤子蘋果的個(gè)數(shù)為：，∵，∴，故選：D．21．（2024·遼寧錦州·二模）若，則整式的值是（

）A． B．3 C．5 D．11【答案】B【分析】本題考查了整體思想求代數(shù)式的值．將變形為，再將整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴．故選：B22．（2024·河北唐山·三模）如果代數(shù)式，那么代數(shù)式（

）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【分析】本題考查代入求值，先由題意得到，然后把化為整體代入即可解題．【詳解】解：∵，∴，∴，故選A．23．（2024·河北張家口·三模）下列各組式子中，相等的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】根據(jù)負(fù)指數(shù)冪判斷A項(xiàng)，根據(jù)去括號(hào)法則判斷B項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)判斷C項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算后判斷D項(xiàng)．【詳解】解：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤，，故C項(xiàng)正確，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)指數(shù)冪、去括號(hào)法則、合并同類項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．24．（2024·河北唐山·二模）要使的化簡(jiǎn)結(jié)果為單項(xiàng)式，則（）中可以填（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查整式的加減，掌握整式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，是多項(xiàng)式，不符合題意；B.，是多項(xiàng)式，不符合題意；C.，是單項(xiàng)式，符合題意；D.，是多項(xiàng)式，不符合題意；故選：C．25．（2024·河北邯鄲·二模）若，則（

）．A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意利用同底數(shù)冪乘法法則運(yùn)算即可得解，熟練掌握同底數(shù)冪乘法法則是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】由題意知：，∴，∴，∴，∴，故選：D．26．（2024·河北·二模）將多項(xiàng)式“？”因式分解，結(jié)果為，則“？”是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了平方差公式和因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．利用平方差公式計(jì)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等即可求出答案．【詳解】解：∵，∴“？”是．故選：A．27．（2024·河北唐山·二模）一個(gè)正兩位數(shù)M，它的個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字是，把M十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)N，則的值總能（

）A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除【答案】D【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，求出的值，因式分解后，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意，，∴的值總能被11整除；故選D．28．（2024·河北邯鄲·三模）當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，對(duì)于整式下列兩種說法：甲：整式P、Q的公因式為a；

乙．的值隨著a的增大逐漸趨近于1．其中正確的是（

）A．甲、乙都對(duì) B．甲不對(duì)、乙對(duì) C．甲對(duì)、乙不對(duì) D．甲、乙都不對(duì)【答案】B【分析】本題考查因式分解，分式的性質(zhì)，掌握因式分解是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：由題意可知,∴整式的公因式為，故甲不對(duì)∵∴當(dāng)a的逐漸增大，趨近于1，故乙正確故選:B29．（2024·河北秦皇島·二模）將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，先由得到，再利用“降次法”將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴．∴，，，，，故選：C。30．（2024·河北邯鄲·二模）若，則．【答案】3【分析】題目主要考查同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：3．31．（2024·河北邯鄲·三模）某中學(xué)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)，寬的矩形空地上修建三塊全等的矩形草坪，如圖所示，余下空地修建成同樣寬為a的小路．（1）若，則草坪總面積為平方米．（2）若草坪總面積恰好等于小路總面積，那么，此時(shí)的路寬a是米．【答案】301【分析】本題考查全等圖形、代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式和方程．（1）根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可以用的代數(shù)式表示出草坪的面積，然后將的值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)草坪總面積恰好等于小路總面積，可以得到關(guān)于的一元二次方程，從而可以求得此時(shí)的路寬．【詳解】解：（1）由圖可得，草坪的總面積是，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，草坪總面積為30平方米，故答案為：30；（2）由圖可得，草坪的總面積是，路的總面積是，∵草坪總面積恰好等于小路總面積，，解得(舍去)，即此時(shí)的路寬為1米，故答案為：1．32．（2024·河北邢臺(tái)·三模）如圖，一個(gè)計(jì)算程序的示意圖．（1）若輸入，則N的值為（2）若輸出了，則M的值為【答案】/【分析】本題主要考查了已知字母的值求代數(shù)式的值、解分式方程．讀懂程序示意圖是解題的關(guān)鍵．（1）把代入中求值，即可得出N的值；（2）先由求出x的值，再將x的值代入中即可求出M的值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即．故答案為：．（2）若輸出了，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解．則．故答案為：．33．（2024·河北邯鄲·二模）已知整式．(1)當(dāng)，求整式的值；(2)若整式比整式大，求整式．【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，整式的加減運(yùn)算．（1）將，代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意得，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；（2）解：由題意得．34．（2024·河北張家口·三模）如圖1，2，約定：上方相鄰兩代數(shù)式之和等于這兩代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)式．(1)求代數(shù)式；(2)嘉嘉說，無論取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的說法是否正確？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】(1)(2)嘉嘉的說法正確，理由見解析；【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；（1）根據(jù)加法的意義列式計(jì)算即可；（2）先求解，再計(jì)算與0比較大小，從而可得答案．【詳解】（1）解：由題意可得：；（2）嘉嘉的說法正確；理由如下：由題意可得：，∵，∴．35．（2024·河北石家莊·二模）【觀察思考】用同樣大小的正方體木塊依次堆放成如圖1、圖2、圖3所示的實(shí)心幾何體，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)堆放下去．【規(guī)律總結(jié)】（1）圖4有______個(gè)正方體；（2）圖n有______個(gè)正方體（用含n的式子表示）；【問題解決】（3）是否存在某個(gè)圖形，它對(duì)應(yīng)的幾何體由496個(gè)正方體木塊組成？若存在，指出它是第幾個(gè)圖形；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）28；（2）；（3）存在，第16個(gè)圖形【分析】本題考查了幾何體中的規(guī)律、列代數(shù)式、一元二次方程的應(yīng)用，正確發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察分析圖形，得出答案即可；（2）觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出圖n正方體個(gè)數(shù)，整理得出答案即可；（3）根據(jù)“它對(duì)應(yīng)的幾何體由496個(gè)正方體木塊組成”，得出求解即可，【詳解】解：（1）圖1所示的實(shí)心幾何體一共有1個(gè)小正方體，即，圖2所示的實(shí)心幾何體一共有6個(gè)小正方體，即，圖3所示的實(shí)心幾何體一共有15個(gè)小正方體，即，圖4所示的實(shí)心幾何體一共有28個(gè)小正方體，即，故答案為：28；（2）由（1）的規(guī)律得，圖n正方體個(gè)數(shù)，故答案為：；（3）存在，由題意得，，即，解得：或（舍去），∴存在某個(gè)圖形，它對(duì)應(yīng)的幾何體由496個(gè)正方體木塊組成，它是第16個(gè)圖形．36．（2024·河北石家莊·二模）如圖，從左向右依次擺放序號(hào)分別為，，，．．．的小正方形卡片，每個(gè)小正方形卡片上均畫有若干個(gè)小圓點(diǎn)．其中任意相鄰的個(gè)小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等．

(1)分別求出，的值；(2)當(dāng)時(shí)，所有這些小正方形紙片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和是多少？(3)小明說，第個(gè)小正方形卡片上的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè)，請(qǐng)直接判斷他的說法是否正確．【答案】(1)，(2)(3)正確，理由見解析【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，（1）根據(jù)任意相鄰的個(gè)小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等，建立關(guān)于，的方程組即可解決問題；（2）根據(jù)卡片上小圓點(diǎn)個(gè)數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；（3）根據(jù)卡片上小圓點(diǎn)個(gè)數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)卡片上小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)按，，，循環(huán)出現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵任意相鄰的個(gè)小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等，∴，解得：；（2）由題知，連續(xù)個(gè)相鄰卡片上小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為：，又∵，∴，故這些小正方形紙片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和是；（3）正確．理由：∵卡片上小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)按，，，循環(huán)出現(xiàn)，∴，∴第個(gè)小正方形卡片上的小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè)，∴小明的說法正確．37．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點(diǎn)A，B，C把數(shù)軸分成①②③④四部分，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，已知．(1)請(qǐng)說明原點(diǎn)在第幾部分；(2)若，，，求；(3)若且，求的值．【答案】(1)第③部分(2)(3)【分析】本題考查數(shù)軸，線段的和差以及代數(shù)式求值．（1）根據(jù)異號(hào)兩數(shù)相乘結(jié)果為負(fù)可知b，異號(hào)，即可求解；（2）根據(jù)線段的和差可得，再根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置即可求解；（3）利用整體代入法即可求解．【詳解】（1），，異號(hào)．原點(diǎn)在第③部分；（2）若，，則．，；（3），，即，38．（2024·河北唐山·三模）已知，，均為整式，且，，．(1)求整式；(2)當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算判斷與的大小關(guān)系；(3)當(dāng)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)，（2）中與的大小關(guān)系是否恒成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)不成立，見解析【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，完全平方公式．熟練掌握整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，求解作答即可；（2）當(dāng)，時(shí)，代入，計(jì)算求解，代入，計(jì)算求解，進(jìn)而可得；（3）由，可知．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴整式為；（2）解：當(dāng)，時(shí)，，，∴；（3）解：不成立，理由如下；由題意知，，∴．∴（2）中與的大小關(guān)系不恒成立．39．（2024·河北唐山·二模）圖1是圖2中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，且．(1)求和；(2)推斷以該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為邊能否圍成直角三角形．【答案】(1)，(2)能圍成直角三角形【分析】（1）由主視圖的面積和寬，可求出主視圖的長(zhǎng)，根據(jù)矩形面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【詳解】（1）解：（1），俯視圖矩形的長(zhǎng)為：，；（2）解：，，，，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為邊能圍成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，矩形的面積，整式的乘法等知識(shí)，勾股定理逆定理，根據(jù)三視圖準(zhǔn)確找出俯視圖的長(zhǎng)和寬是解決問題的關(guān)鍵．40．（2024·河北唐山·二模）有個(gè)填寫數(shù)字的游戲：在“”中的每個(gè)內(nèi)，填入數(shù)字（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果．(1)計(jì)算：；(2)若，請(qǐng)推算□內(nèi)的數(shù)字；(3)若三個(gè)內(nèi)從左往右依次填入入三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你直接寫出計(jì)算結(jié)果（計(jì)算結(jié)果要求用科學(xué)記數(shù)法表示）．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，冪的運(yùn)算；（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．（2）根據(jù)題意可得□內(nèi)的數(shù)字為:，進(jìn)而根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)題意列出算式，進(jìn)而根據(jù)冪的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，最后表示成科學(xué)記數(shù)法的形式，即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）□內(nèi)的數(shù)字為:∴□內(nèi)的數(shù)字為1；（3）解：41．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在一個(gè)足夠長(zhǎng)且寬為．（）的紙帶上剪出一些矩形紙片，圖中的虛線為裁剪線，在邊l上截取不同的尺寸，得到矩形A，B，C，…，其面積分別為（）試用含x的式子解決下列問題：(1)計(jì)算的值；(2)將（1）中的結(jié)果寫成的形式（a，b為常數(shù)）；若圖中的一個(gè)矩形D的面積剛好是的值，求矩形D落在邊l上的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則分別計(jì)算出、、，再根據(jù)整式的加減法法則計(jì)算即可．（2）將（1）中的結(jié)果利用配方法配成的形式可得結(jié)果為，將分解因式，寫成兩個(gè)整式的乘積的形式，即可得矩形D落在邊l上的長(zhǎng)．本題主要考查了利用整式的加減乘除運(yùn)算及分解因式來解決實(shí)際問題．熟練掌握整式的加減乘除運(yùn)算法則及平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），，，．（2）；，∴矩形D落在邊l上的長(zhǎng)為．42．（2024·河北石家莊·三模）如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問題：物理常識(shí)開水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開水的體積開水降低的溫度溫水的體積溫水升高的溫度．

(1)王老師拿空水杯先接了14s的溫水，又接了8s的開水，剛好接滿，且水杯中的水溫為．①王老師的水杯容量為________；②用含t的代數(shù)式表示接入水杯的溫水吸收的熱量，并用列方程的方法求t的值（不計(jì)熱損失）(2)嘉琪同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開水，得到一杯，溫度為的水（不計(jì)熱損失），求嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間．【答案】(1)①400；②王老師的水杯容量為，水溫約(2)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及列代數(shù)式表達(dá)式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)水量等于水速乘時(shí)間列式計(jì)算，即可作答．②結(jié)合“開水的體積開水降低的溫度溫水的體積溫水升高的溫度．”即可列式，結(jié)合題意列式，解方程，即可作答．（2）設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為，列出二元一次方程組，再解方程，即可作答．【詳解】（1）解：①依題意得出∴王老師的水杯容量為．②接入水杯的溫水吸收的熱量為：；由題意：解得答：王老師的水杯容量為，水溫約（2）解：設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為，接開水的時(shí)間為，則，

解得，，∴嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間為．43．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）探究活動(dòng)：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式．知識(shí)運(yùn)用：（4）用合理的方法計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積差即可求解；（2）分別表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬，由面積公式就可求出面積即可；（3）根據(jù)陰影部分的面積相等建立等式即可；（4）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，即，故答案為：．（2）解：由圖可知矩形的長(zhǎng)是，寬是，所以面積是，故答案為：．（3）解：根據(jù)陰影部分面積相等可得：，故答案為：．（4）解：．44．（2024·河北石家莊·二模）現(xiàn)有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示.如圖2，用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得到等式：，也就驗(yàn)證了完全平方公式.【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖3，嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，仿照例子寫出一個(gè)關(guān)于，的等式；（2）嘉淇還發(fā)現(xiàn)拼成矩形所需卡片的張數(shù)和整式的乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)的系數(shù)有關(guān).根據(jù)嘉淇的發(fā)現(xiàn)，若要用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，不畫圖形，試通過計(jì)算說明需要丙種卡片多少?gòu)?？【?yīng)用】（3）現(xiàn)用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片張（為正整數(shù)），拼成一個(gè)矩形，直接寫出所有可能的值.

圖1

圖2

圖3【答案】（1）；（2）需要丙種卡片3張；（3）4或5【分析】此題考查多項(xiàng)式的乘法與圖形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.（1）由圖3，用兩種方法表示矩形的面積，即可得到答案；（2）由及每張丙種卡片的面積為，即可得到答案；（3）甲卡片面積為，系數(shù)為1，乙種卡片4張，面積為，系數(shù)為4，丙種卡片張，即的系數(shù)為m,分兩種情況進(jìn)行解答即可.【詳解】（1）嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，則面積表示為，還可以看作2張甲、2張乙和4張丙卡片拼成的，則面積表示為，∴；（2）由題意可知矩形的面積為，∵每張丙種卡片的面積為，∴需要丙種卡片3張；（3）甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片張（為正整數(shù)），拼成一個(gè)矩形，可知，甲卡片面積為，系數(shù)為1，乙種卡片4張，面積為，系數(shù)為4，丙種卡片張，即的系數(shù)為m,∴矩形的面積為：①，即，②，即，綜上可知，所有可能的值為4或5.45．（2024·河北石家莊·二模）“字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律．請(qǐng)觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；(1)請(qǐng)用此方法拆分．(2)請(qǐng)你用上面的方法歸納一般結(jié)論，用含n（n為正整數(shù)）的等式表示，并借助運(yùn)算證明這個(gè)結(jié)論是正確的．(3)嘉嘉嘗試借助圖形的面積驗(yàn)證（2）中的結(jié)論．思路是將邊長(zhǎng)為n的正方形（如圖）進(jìn)行適當(dāng)分割，請(qǐng)你幫助他完成畫圖，并在圖中標(biāo)出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律型問題，還考查了整式的混合運(yùn)算和乘法公式．熟練掌握等式所反映的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)材料中等式的規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)依據(jù)材料中發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律寫出含n的等式證明成立即可．（3）根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】（1）第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；∴第2023個(gè)等式：（2）第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；則含n的等式是．理由：∵右邊，左邊，∴左邊＝右邊，∴成立．（3）如圖，滿足要求，46．