專題02 不等式-2025年春季高考數(shù)學(xué)沖刺總復(fù)習(xí)（江蘇專用）

PAGE1專題02不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u考情解讀 1知識梳理 1考點精講 3考點一：比較數(shù)或式的大小 3考點二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值 5考點三：一元二次不等式的解法 7考點四：不等式恒成立問題 10考點五：基本不等式與一元二次不等式的實際應(yīng)用 12實戰(zhàn)訓(xùn)練 14明晰利用不等式的性質(zhì)比較代數(shù)式的大小、一元二次不等式的解法、基本不等式的簡單應(yīng)用是考查重點，重點提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).解一元二次不等式首先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項系數(shù)為正)，然后分解因式，從而得到不等式的解集；和與積的轉(zhuǎn)化是基本不等式的基本題型，需要著重掌握.同時注意基本不等式、一元二次不等式與實際應(yīng)用相結(jié)合的情況，最后得到的解要符合實際背景.基1、不等式中的基本事實依據(jù)a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?、儆缮鲜龌臼聦嵖芍容^兩個數(shù)或式的大小，只需要比較這兩個數(shù)或式的差與0的大小，一般將差化為完全平方的形式或多個因式的積的形式．②對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小．③對于某些問題也可能采用取中間值的方法比較大?。?、不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意1a>b?b<a?2a>b，b>c?a>c不可逆3a>b?a＋c>b＋c可逆4a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正①若a＞b＞0，則0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＜b＜0，則0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).③若，則.3、基本不等式（1）不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（）稱為基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．所以兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）當(dāng)時，，，以上兩式均在a＝b時取等號.（3）最值定理：已知x，y都為正數(shù)，則：如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.簡記為：積定和最小，和定積最大．（4）應(yīng)用基本不等式的三個關(guān)鍵點：一正、二定、三相等．①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備．4、一元二次不等式的概念定義一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)5、一元二次不等式的解法（1）二次函數(shù)零點的概念：一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．（2）三個二次的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??①零點不是點，只是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．②不等式的解集必須寫成集合的形式.若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集．考點考點一：比較數(shù)或式的大小【典型例題】例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】ACD可舉出反例；B選項，可利用不等式的性質(zhì)得到.【詳解】A選項，若，則，A錯誤；B選項，由不等式的性質(zhì)可得，B正確；C選項，若，滿足，但，C錯誤；D選項，若，滿足，但，D錯誤.故選：B例題2．已知，是實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)、充要條件的定義即可求解.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知：等價于，即“”是“”的充要條件.故選：C.例題3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意建立不等關(guān)系即可.【詳解】由題意可知糖水原濃度為，加糖之后的濃度為，則有.故選：C判斷兩個數(shù)或式的大小，可以利用不等式的性質(zhì)逐步變形，也可以通過作差，然后判斷差的符號得到答案.【即時演練】1．若，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取特殊值作反例，可判斷A、B、C項；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷D項.【詳解】對于A，取，，則，，顯然，但是，A項錯誤；對于B，取，，，滿足，，，，但，B項錯誤；對于C，取，，但，故C項錯誤；對于D，若，，則，故D正確.2．已知，則下面不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)及特例逐項判斷即可.【詳解】對于ABD:取，滿足，顯然和，都不成立；對于C：由可得，故成立.故選：C3．已知，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通過條件求出的范圍，再消去求范圍即可.【詳解】由得，所以，得，所以.考點二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值【典型例題】例題1．若，則有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】A【分析】利用基本不等式求出最值.【詳解】因為，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，則有最小值6.故選：A.例題2．已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為3.故選：D例題3．已知，且，則（

）A．的最大值為1 B．的最小值為1C．的最大值為 D．的最小值為【答案】A【分析】由基本不等式求解即可．【詳解】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為1，而，且0<x<2，故無最小值.故選：A.利用基本不等式求最值要滿足條件“一正、二定，三相等”，缺一不可.【即時演練】1.已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知利用1的代換法，結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】因為，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故選：B．2.已知，的最小值為．【答案】12【分析】利用不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即或時,等號成立,故的最小值為12.故答案為：12.3．若，則的最小值是．【答案】3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．考點三：一元二次不等式的解法【典型例題】例題1．不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【分析】因式分解，求出不等式解集.【詳解】，解得，故不等式的解集為.故選：A例題2．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式，再結(jié)合交集求解.【詳解】因為，所以.故選：C.例題3．若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，是方程的兩個根，且，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意知，是方程的兩個根，且，則，解得，所以.故選：D.解一元二次不等式，當(dāng)不等式不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，要先對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正，再因式分解.當(dāng)其對應(yīng)的一元二次方程的判別式小于0時，注意根據(jù)相應(yīng)的不等號判斷是無解還是全集R.【即時演練】1．不等式的解集為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，解一元二次不等式即可.【詳解】解不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：A2．關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】由且不等于1，由題意得，，解得.3．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【詳解】不等式即可化為，解得，所以不等式的解集為.故選：B考點四：不等式恒成立問題【典例講解】例題1．若不等式對所有實數(shù)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況討論，時，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到的取值范圍.【詳解】時，原不等式化為，解得，不對所有的恒成立，不符合題意；時，原不等式為一元二次不等式，要對所有實數(shù)恒成立，則二次函數(shù)的圖象開口向下且與軸無交點，從而，解得，所以，的取值范圍為，故選：B.例題2．已知當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分析可知：原題意等價于當(dāng)時，不等式恒成立，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因為當(dāng)時，不等式恒成立，則，原題意等價于當(dāng)時，不等式恒成立，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，可得，所以實數(shù)a的取值范圍是.例題3．設(shè)函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若時，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可；（2）分離參數(shù)，再利用基本不等式求出右邊最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，即為，解得或，則該不等式解集為.（2）對恒成立，即對恒成立，分離參數(shù)得對恒成立，因為當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則.解答簡單的一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題，只需要“Δ<0”問題.當(dāng)二次項含有參數(shù)時，注意分二次項系數(shù)為0和不為0兩種情況解答.【即時演練】1．若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的性質(zhì)建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.【詳解】因為不等式對一切實數(shù)都成立，所以，解得，故B正確.故選：B2．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將原問題條件等價轉(zhuǎn)換為對任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可.【詳解】由題意對任意恒成立，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，只需判別式小于0，函數(shù)圖像與軸無交點，則不等式大于0恒成立，從而求出參數(shù)取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：考點五：基本不等式與一元二次不等式的實際應(yīng)用【典例講解】例題1．若不計空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點的高度（單位：）與時間（單位：）滿足關(guān)系式，其中為初速度.向盼歸同學(xué)以豎直上拋一個排球，該排球在拋出點上方處及以上的位置最多停留時間為（

）A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8【答案】A【分析】令，求解，求出排球在拋出點上方處及以上的位置最多停留時間.【詳解】由題意得：，令，即，解得，所以排球在拋出點上方處及以上的位置最多停留時間為.故選：A.例題2．某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買臺設(shè)備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備臺．【答案】400【分析】由的表達(dá)式得到每臺設(shè)備的平均成本，由均值不等式等號成立條件得到答案.【詳解】每臺設(shè)備的平均成本，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故答案為：400.【即時演練】1.某產(chǎn)品的總成本為萬元，與產(chǎn)量臺的關(guān)系是，其中，若每臺售價為25萬元，那么生產(chǎn)廠家不虧本的最低產(chǎn)量是（）A．60臺 B．90臺 C．120臺 D．150臺【答案】D【分析】根據(jù)利潤=銷售額總成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解.【詳解】由題意，有，即，所以，解得或（舍）．故選：D.2．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出，然后通過計算以及即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)這批臺燈的銷售單價為x元，由題意得，，即，解得，又因為，所以，這批臺燈的銷售單價的取值范圍是.故選：C實戰(zhàn)能力訓(xùn)練1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)以及定義特殊值可求得結(jié)果.【詳解】取，，可知A，B錯誤；因為，所以C正確；取，可知D錯誤；故選：C.2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得；又可知，可知A錯誤，B正確；，即可得C錯誤，D錯誤.故選：B3．已知，，，則的最小值為（

）．A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為.故選：B4．一元二次不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】求出一元二次不等式的解集判斷即可.【詳解】不等式化為，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：A5．“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合必要不充分條件的定義即可判斷.【詳解】同向不等