2022年北京市北師大實驗中學初三（上）期中數學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京北師大實驗中學初三（上）期中數學班級___________姓名___________學號___________成績___________考生須知：1．本試卷共8頁，共三道大題，28道小題；答題紙共3頁．滿分100分．考試時間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名、學號．3．試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，作圖題用2B鉛筆繪圖，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．一、單項選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項最符合題意．每小題2分，共16分）1.拋物線的頂點坐標是()A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（﹣3，1） D.（﹣3，﹣1）2.一元二次方程有一根為零的條件是（）A B. C. D.3.如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過，，O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A.點D B.點E C.點F D.點G4.將二次函數的圖像向右平移1個單位，再向下平移5個單位，得到的函數圖像的表達式是（）A. B.C. D.5.如圖，點A，B，C均在上，當時，的度數是（）A.25° B.30° C.40° D.50°6.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）A.點B在⊙A內 B.點C在⊙A上C.直線BC與⊙A相切 D.直線BC與⊙A相離7.二次函數的圖像可能是（）ABCD8.如圖，在邊長為2的正方形中，點M在AD邊上自A至D運動，點N在邊上自B至A運動，M，N速度相同，當N運動至A時，運動停止，連接，交于點P，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）9.如圖，，，則___________．10.請寫出一個過坐標原點，對稱軸為直線的拋物線的解析式___________．11.如圖，，是⊙的切線，A，B為切點，，當時，的長為___________．12.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，其中點，點，不等式的解集為___________．13.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠1+∠2＝______．14.若x，y滿足，則___________．15.超市銷售的某商品進價10元/件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與售價x（元/件）之間滿足函數關系式，則利潤w和售價x之間的函數關系為___________，該商品售價定為___________元/件時，每天銷售該商品獲利最大．16.已知某函數的圖象過，兩點，下面有四個推斷：①若此函數的圖象為直線，則此函數的圖象經過；②若此函數的圖象為拋物線，且經過，則該拋物線開口向下；③若此函數的解析式為，且經過，則；④若此函數的解析式為，開口向下，且，則a的范圍是．所有合理推斷的序號是___________．三、解答題（本題共12小題，第17，18題每題4分，第19題8分，第20，22，25題5分，第21，23，24，26，27題6分，第28題7分，共68分）17.．18.19.已知二次函數圖像經過點，．（1）求此二次函數的解析式；（2）補全表格，并根據表格中的數據用描點法畫出該二次函數的圖像；x…02…y…0330…（3）當時，直接寫出y的取值的范圍．20.已知關于x的一元二次方程：······①·····②（1）方程①有實數解，求的取值范圍．（2）為滿足（1）中條件的最大整數，方程②有兩個不等根，求證：方程②兩根異號．21.如圖，已知為直徑，是弦，且于點E，連接、．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．22.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知，C是弦上一點（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線，分別交于點D，垂足為E；②以點D為圓心，長為半徑作弧，交于點F（F，A兩點不重合），連接．（2）引理結論為：．證明：連接，，，∵為的垂直平分線∴∴又∵四邊形為圓的內接四邊形∴___________···①又∵∴∠___________=∠___________···②又∵∴___________=___________···③∴∴∴．23.已知二次函數的解析式為．（1）求該二次函數的頂點坐標（用含k的式子表示）；（2）若已知，，該二次函數的圖象和線段有兩個交點，結合函數圖象，求k的取值范圍．24.如圖，已知為的直徑，D是上的一點，且點C是的中點，過點C作直線于點E．（1）求證：直線是的切線；（2）連接，過點O作于F，延長交于M，若B為的中點，半徑為4，求的長25.如圖1，斜坡與水平面夾角．為了對這個斜坡上的綠地進行噴灌，在斜坡底端安裝了一個噴頭A，噴頭A噴出的水柱在空中走過的曲線可以看成拋物線的一部分．如圖2，當水柱與A水平距離為4米時，達到最高點D，D與水平線的距離為4米． （1）在圖2中建立平面直角坐標系，求水柱所在拋物線的解析式（不需要寫出自變量取值的范圍）；（2）若斜坡上有一棵高2.5米的樹，它與噴頭A的水平距離為2米，通過計算判斷從A噴出的水柱能否越過這棵樹．26.已知點，是拋物線與直線的公共點．（1）當拋物線C的對稱軸為直線時，求b的值；（2）已知，拋物線上兩點坐標分別為，，試比較b，，三者之間的大小關系．27.如圖，中，，，線段繞點C逆時針旋轉（），得到線段，作的角平分線交于點M，交于點N．（1）當時，根據題意補全圖形；（2）當時，求的度數；（3）當時，用等式表示線段，之間的數量關系，并證明．28.在平面直角坐標系中，給定線段和點P，若滿足或者，則稱點P為線段偏序點．（1）已知點，①在點，，，中，是線段的偏序點的有___________；②若直線上存在線段的偏序點，求b的取值的范圍．（2）已知點，，是以1為半徑的圓，并且圓心C在x軸上運動，若線段上的點均為的某條直徑的偏序點，直接寫出點C的橫坐標c的取值的范圍．

參考答案一、單項選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項最符合題意．每小題2分，共16分）1.【答案】A【解析】【分析】直接根據二次函數的頂點式進行解答即可．【詳解】解：拋物線的解析式為：，其頂點坐標為：．故選：A．【點睛】本題考查是二次函數的性質，二次函數的頂點式為，此時頂點坐標是，對稱軸是直線，此題考查了學生的應用能力．2.【答案】C【解析】【分析】將x=0代入已知方程，求得c=0．【詳解】根據題意知，x=0滿足關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，則c=0．故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根即方程的解的定義：就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．3.【答案】B【解析】【分析】根據圖形作線段和的垂直平分線，兩線的交點即為圓心，根據圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段和的垂直平分線，交于點E，即為弧的圓心，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質，坐標與圖形性質的應用．4.【答案】A【解析】【分析】根據二次函數的圖像平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”即可得到答案．【詳解】解：二次函數的圖像向右平移1個單位，再向下平移5個單位，平移后的函數圖像的表達式為：；故選A．【點睛】此題考查了二次函數圖像的平移變換，熟練掌握其平移的規(guī)律是解此題的關鍵．5.【答案】C【解析】【分析】根據等腰三角形的性質，可得，得出，再根據圓周角定理，得，即可得解．【詳解】解：點A，B，C均在上，，，，，，；故選C．【點睛】此題考查了圓的性質、圓周角定理、三角形內角和定理與等腰三角形判定與性質，熟練掌握并運用相關性質是解此題的關鍵．6.【答案】C【解析】【分析】過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質得到BH＝CH＝BC＝4，則利用勾股定理可計算出AH＝3，然后根據點與圓的位置關系的判定方法對A選項和B選項進行判斷；根據直線與圓的位置關系對C選項和D選項進行判斷．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∵AB＝5＞3，∴B點在⊙A外，所以A選項不符合題意；∵AC＝5＞3，∴C點在⊙A外，所以B選項不符合題意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直線BC與⊙A相切，所以C選項符合題意，D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點與圓的位置關系和等腰三角形的性質．7.【答案】D【解析】【分析】根據題意，點在二次函數的圖像上，故選項B、C不符合題意；然后從對稱軸與b的取值來分析，可知符合題意的選項．【詳解】解：當時，，點在二次函數的圖像上，選項B、C不符合題意；二次函數的對稱軸為：，對于選項A：當時，可知，故對稱軸在y軸的左側，故選項A不符合題意；對于選項D：當時，觀察圖像可知，故對稱軸在直線的左側，故選項D符合題意；故選D．【點睛】此題考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解題的關鍵．8.【答案】C【解析】【分析】先確定點P的運動軌跡為以為直徑的一段弧，再求的最小值即可【詳解】解：如圖1，∵四邊形是正方形，∴，∴，又,∴，∴，∴，∴，∴點P的運動軌跡為以為直徑的一段弧，如圖2所示，連接交弧于點P，此時，的值最小，在中，，由勾股定理得，，∴，故選：C【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理及圓的性質，知道線段最短時點的位置并能確定出最小時點的位置是解題關鍵．二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）9.【答案】##60度【解析】【分析】根據弧、弦、圓心角關系定理，得出，再根據“有一個內角為的等腰三角形是等邊三角形”即可得出答案．【詳解】解：，，是等腰三角形，又，為等邊三角形，．故答案為：．【點睛】此題考查了弧、弦、圓心角關系定理，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握相關定理與性質是解此題的關鍵．10.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設所求拋物線的解析式為，然后根據條件確定系數即可．【詳解】解：設所求拋物線的解析式為，拋物線過坐標原點，，對稱軸為直線，即，取，則，拋物線的解析式為：；故答案為：（答案不唯一）．【點睛】此題考查求二次函數的解析式，熟練掌握拋物線上點的特征、對稱軸方程和待定系數法是解此題的關鍵．11.【答案】【解析】【分析】根據切線的性質求出，根據切線長定理求出，根據含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：連接∵，是⊙的兩條切線，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質、含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．12.【答案】2<x<5##5>x>2【解析】【分析】觀察圖像，找到拋物線的圖像在直線的下方的部分圖像，由此可知不等式的解集．【詳解】解：如下圖所示，當2<x<5時，拋物線的圖像在直線的下方，當2<x<5時，，不等式的解集為：2<x<5．故答案：2<x<5．【點睛】此題考查了二次函數與不等式，根據兩個函數圖像的上、下位置關系找出不等式的解集是解此題的關鍵．13.【答案】90°【解析】【分析】觀察到都是圓周角，可連接，根據“同弧所對圓周角是圓心角的一半”即可得到為平角的一半.【詳解】解：連接OE，∵∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOE，∴∠1+∠2＝∠AOE+∠BOE＝（∠AOE+∠BOE）＝×180°＝90°．故答案為：90°．【點睛】本題主要考查圓周角定理，深刻理解并熟練運用圓周角定理是解答關鍵.14.【答案】或【解析】【分析】根據已知條件，兩個因式的積等于零，則每一個因式都可能等于零，即可得解．【詳解】解：，或，或；故答案為：或．【點睛】此題考查代數式求值，熟練掌握“兩個因式的積等于零，則每個因式都可能等于零”以及整體的思想的運用是解此題的關鍵．15.【答案】①.；②.20．【解析】【分析】根據利潤=每件商品利潤×銷售量，可得利潤w和售價之間的函數關系式；利用配方法，求所得二次函數的最大值即可得出結論．詳解】解：某商品進價10元/件，售價x（元/件），每件商品的利潤為：元；銷售量y（件）為：，利潤w和售價x之間的函數關系為：，；，，有最大值，當時，取最大值，最大值為500；故答案為：；20．【點睛】此題考查二次函數的應用，正確讀懂題意、列出函數關系式，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．16.【答案】①③④【解析】【分析】對于①②③都利用待定系數法先求解函數的解析式，再利用一次函數與二次函數的性質可判斷，對于④先利用函數過，可得函數解析式為再結合題意建立不等式組模型即可解決問題．【詳解】解：設過，兩點的直線為，∴解得：∴直線為：當時，∴函數經過故①符合題意；此函數的圖象為拋物線且經過，，，則解得：∴拋物線為：∴拋物線的開口向上，故②不符合題意；當函數的解析式為，且經過，，，同理設拋物線則解得：∴拋物線為：∴對稱軸為直線而故③符合題意，二次函數過，，則解得：所以拋物線為：∴開口向下，且，而∴而即∴即故④符合題意；故答案為：①③④【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數與二次函數的解析式，二次函數的性質，理解題意建立方程或不等式組模型解題是關鍵．三、解答題（本題共12小題，第17，18題每題4分，第19題8分，第20，22，25題5分，第21，23，24，26，27題6分，第28題7分，共68分）17.【答案】【解析】【分析】利用因式分解法或公式法或配方法解此一元二次方程即可．【詳解】解：方法1（因式分解法）：移項并提取公因式，得，或，；方法2（公式法）：先移項，得，，，方程有兩個不相等的實數根，；方法3（配方法）：移項，得，兩邊同時加上，得，配方，得，開平方，得，．【點睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法、公式法、配方法等方法是解題的關鍵．18.【答案】【解析】【分析】先把方程化為即再利用直接開平方法解方程即可．詳解】解：，∴∴∴解得：【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本題的關鍵．19.【答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）．【解析】【分析】（1）用待定系數法求解，即將A、B兩點坐標代入解析式求出b、c即可；（2）先補充列表，然后描點畫二次函數的圖像即可；（3）結合函數圖像，利用二次函數的性質求解．【小問1詳解】解：二次函數圖像經過點，，，，此二函數的解析式為：；【小問2詳解】解：補全表格如下：x…-10123…y…03430…如下圖所示：拋物線為所求；【小問3詳解】解：如圖所示，當時，；故當時，y的取值的范圍是：．【點睛】此題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、描點法作二次函數的圖像、二次函數的性質等，熟練運用待定系數法求解析式和數形結合的思想方法是解題的關鍵．20.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由方程有實數根，得到判別式大于等于零，由此求出的取值范圍；（2）由①知，得的最大整數為4，即可得到方程②為，根據?得到方程②有兩個不等根，設為方程②的兩個實數根，利用根與系數的關系證得結論．【小問1詳解】解：∵一元二次方程有實數解，∴?，解得【小問2詳解】∵，∴的最大整數為4，∴方程②為，∴?，即方程有兩個不等根，設為方程②的兩個實數根，∵，∴方程②兩根異號．【點睛】此題考查了已知一元二次方程根的情況求參數，判斷一元二次方程根的情況，根與系數的關系，熟練掌握知識點并綜合應用是解題的關鍵．21.【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）根據垂徑定理和圓的性質，等弧的圓周角相等，即可求證．

（2）根據勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．【小問1詳解】∵為直徑，是弦，且于點E，∴，∴；小問2詳解】連接，如圖，設的半徑為R，則，

又，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．22.【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】（1）①根據要求作出圖形即可．②根據要求作出圖形即可．（2）證明△DFB≌△DCB可得結論．【小問1詳解】解：①如圖，直線DE，線段AD，線段CD即為所求．②如圖，點F，線段CD，BD，BF即為所求作．【小問2詳解】證明：連接，，，∵為的垂直平分線∴∴又∵四邊形為圓的內接四邊形∴又∵∴又∵∴∴∴(AAS)∴．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，正確尋找全等三角形解決問題．23.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）配方得到，推出頂點坐標為；（2）分二次函數的圖象左側經過，右側講過兩種情況討論：根據二次函數的圖象左側經過，得到，解得，得到，根據，推出，解得；根據二次函數的圖象右側經過，推出，解得，得到，根據，推出，解得．得到．【小問1詳解】∵，∴頂點坐標為；【小問2詳解】當二次函數的圖象左側經過時，，解得，，∵對稱軸是直線，∴，∵，∴，∴，當二次函數的圖象右側經過時，，解得，，∴，∵，∴，∴．綜上，．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與線段的綜合等，解決問題的關鍵是熟練掌握配方法將二次函數解析式的一般式化成頂點式，二次函數圖象與線段的位置關系，解一元二次方程，解不等式．24.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，證明四邊形是矩形，從而可得結論；（2）證明結合三角形的外角的性質可得：再求解從而可得答案．【小問1詳解】證明：連接交于點，∵為的直徑，∴∵點是的中點，∴∵，∴∴四邊形是矩形，∴而是半徑，∴直線是的切線；【小問2詳解】如圖，過點O作于F，延長交于M，∵B為的中點，∴∵∴而∴∴∴而半徑為，∴【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質，圓周角定理的應用，弧，圓心角之間的關系，垂徑定理的應用，圓的切線的判定，熟練的運用圓的基本性質與圓中基本定理是解本題的關鍵．25.【答案】（1）；（2）不能．【解析】【分析】（1）如圖建立平面直角坐標系，首先找出拋物線的頂點坐標，設拋物線解析式為頂點式，再將點A坐標代入即可得解；（2）根據題意，求出樹的頂端點的縱坐標，然后求當時，拋物線線上點的縱坐標，然后比較兩個縱坐標的大小即可得解．【小問1詳解】解：以點A坐標原點，以所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖3，依題，，最高點即拋物線的頂點，設此拋物線的解析式為：，將代入上式，得，，拋物線的解析式為：；【小問2詳解】解：斜坡上有一棵高2.5米的樹，它與噴頭A的水平距離為2米，如圖4，，在中，，設，則，，，又當時，故從A噴出的水柱不能越過這棵樹．【點睛】此題是二次函數的實際應用題，主要考查了待定系數法求拋物線的解析式、直角三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握待定系數法、勾股定理、二次函數的圖像與性質是解此題的關鍵．26.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出拋物線的對稱軸，解得m的值，再把點Q坐標代入即可求得b的值；（2）先由，是直線和拋物線的公共點得到，，再把點M、N坐標代入拋物線解析式求出和表達式，結合，利用作差法比較b，，的大小即可.【小問1詳解】解：由題意得：的對稱軸為，解得m=，拋物線C的解析式為：，在拋物線上，；【小問2詳解】解：點，是拋物線與直線的公共點，，，，，都在拋物線上，，，，>0，，，，.【點睛】此題考查了作差法比較二次函數的函數值大小以及二次函數的性質，掌握作差法比較大小是解答此題的關鍵