2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第五章三角函數(shù)解三角形解三角形理

PAGEPAGE1解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．測量中的有關(guān)幾個術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ概念方法微思索1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sinα>sinβ？在△ABC中，A>B是否可推出sinA>sinB?提示第一象限的角α>β不能推出sinα>sinβ.在△ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2．在△ABC中，已知a，b和銳角A，探討a，b，sinA滿意什么條件時，三角形無解，有一解，有兩解．提示圖形關(guān)系式a<bsinAbsinA<a<ba＝bsinA或a≥b解的個數(shù)無解兩解一解1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，可得，，則．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，解得，．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，，則．故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．的面積為，，，，．故選．6．（2024?山東）在中，角，，的對邊分別為，，，若為銳角三角形，且滿意，則下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，角，，的對邊分別為，，，滿意，可得：，因為為銳角三角形，所以，由正弦定理可得：．故選．7．（2024?浙江）在中，，，，點在線段上，若，則___________，___________．【答案】，【解析】在直角三角形中，，，，，在中，可得，可得；，，即有，故答案為：，．8．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為___________．【答案】【解析】由余弦定理有，，，，，，，故答案為：．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，則___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，，，可得：，可得：，，．故答案為：．10．（2024?上海）在中，，，且，則___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案為：．11．（2024?江蘇）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為___________．【答案】9【解析】由題意得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故答案為：9．12．（2024?浙江）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，，則___________，___________．【答案】，3【解析】在中，角，，所對的邊分別為，，．，，，由正弦定理得：，即，解得．由余弦定理得：，解得或（舍，，．故答案為：，3．13．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為___________．【答案】【解析】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，則由于，則：，①當(dāng)時，，解得，所以．②當(dāng)時，，解得（不合題意），舍去．故：．故答案為：．14．（2024?北京）若的面積為，且為鈍角，則___________；的取值范圍是___________．【答案】；【解析】的面積為，可得：，，可得：，所以，為鈍角，，，，．．故答案為：；．15．（2024?天津）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理以及，，，則，，；（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；（Ⅲ）由，及，可得，則，，．16．（2024?北京）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面積．條件①：，；條件②：，．注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，聯(lián)立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．選擇條件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，17．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）若，，求的面積；（2）若，求．【解析】（1）中，，，，，（負(fù)值舍去），，．（2），即，化簡得，，，，，．18．（2024?山東）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，_______？注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】①．中，，即，，，，，，．②．中，，．，即，．，．③．，即，又，，與已知條件相沖突，所以問題中的三角形不存在．19．（2024?江蘇）在中，角、、的對邊分別為、、．已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的值．【解析】（1）因為，，．，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因為，所以，在三角形中，易知為銳角，由（1）可得，所以在三角形中，，因為，所以，所以．20．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，證明：是直角三角形．【解析】（1），，解得，，；（2）證明：，，由正弦定理可得，，，，，，可得，可得是直角三角形，得證．21．（2024?浙江）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮娜≈捣秶窘馕觥浚á瘢?，，，，為銳角三角形，，（Ⅱ）為銳角三角形，，，，為銳角三角形，，，解得，，，，的取值范圍為，．22．（2024?上海）如圖，為海岸線，為線段，為四分之一圓弧，，，，．（1）求的長度；（2）若，求到海岸線的最短距離．（精確到【解析】（1）由題意可得，，弧所在的圓的半徑，弧的長度為；（2）依據(jù)正弦定理可得，，，，，到海岸線的最短距離為23．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）的內(nèi)角、、的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】（1），即為，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若為銳角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形為銳角三角形，可得且，且，解得，可得面積，．24．（2024?天津）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在三角形中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因為，得，，由余弦定理可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，從而，，故．25．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ），，．由余弦定理，得，，；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，，，，為銳角，，．26．（2024?江蘇）在中，角，，的對邊分別為，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）在中，角，，的對邊分別為，，．，，，由余弦定理得：，解得．（2），由正弦定理得：，，，，，．27．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（1），，．由余弦定理，得，，；（2）在中，，，由正弦定理有：，，．28．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．29．（2024?全國）在中，角、、對應(yīng)邊、、，外接圓半徑為1，已知．（1）證明；（2）求角和邊．【解析】（1）在中，角、、對應(yīng)邊、、，外接圓半徑為1，由正弦定理得：，，，，，，化簡，得：，故．解：（2），，解得，．30．（2024?天津）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）設(shè)，，求和的值．【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，又．，即，，又，．（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理得，由，得，，，，，．31．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求邊上的高．【解析】（Ⅰ），，即是銳角，，，由正弦定理得得，則．（Ⅱ）由余弦定理得，即，即，得，得或（舍，則邊上的高．32．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．1．（2024?武昌區(qū)校級模擬）珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的．這種擠壓始終在進(jìn)行，珠穆朗瑪峰的高度也始終在改變．由于地勢險峻，氣候惡劣，通常采納人工攀登的方式為珠峰“量身高”．攀登者們肩負(fù)高精度測量儀器，采納了分段測量的方法，從山腳起先，直到到達(dá)山頂，再把全部的高度差累加，就會得到珠峰的高度年5月，中國珠峰高程測量登山隊8名隊員起先新一輪的珠峰測量工作．在測量過程中，已知直立在點處的測量覘標(biāo)高10米，攀登者們在處測得到覘標(biāo)底點和頂點的仰角分別為，，則、的高度差約為A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【答案】C【解析】依據(jù)題意畫出如圖的模型，則，，，所以，，所以，所以在中，（米．故選．2．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，為測得河對岸鐵塔的高，先在河岸上選一點，使在鐵塔底的正東方向上，測得點的仰角為，再由點沿北偏東方向走到位置，測得，則鐵塔的高為A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，．，解得．在中，．故選．3．（2024?平陽縣模擬）在中，，點在線段上，且滿意，則的最小值為A．0 B． C． D．【答案】D【解析】如圖：令，且．所以，．，易知．可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，．又因為在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知．故選．4．（2024?焦作四模）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為4，是方程的一個根，則的最小值為A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得或．因為，所以，所以．由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．因為的面積為4，所以，所以，所以，所以的最小值為．故選．5．（2024?長春四模）如圖，為測量某公園內(nèi)湖岸邊，兩處的距離，一無人機(jī)在空中點處測得，的俯角分別為，，此時無人機(jī)的高度為，則的距離為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，由題意作，可得，，，則，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故選．6．（2024?邯鄲二模）如圖，在中，．是邊上的高，若，則的面積為A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】．故選．7．（2024?武昌區(qū)模擬）一艘海輪從處動身，以每小時24海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處視察燈塔，其方向是南偏東，在處視察燈塔，其方向是北偏東，那么，兩點間的距離是A．6海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】由題意可知：．，，．又．在中，由正弦定理得，即，．故選．8．（2024?山東模擬）泉城廣場上聳立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)記和象征．為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點向北偏東前進(jìn)到達(dá)點，在點處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，畫出圖形為：所以，，，設(shè)，所以，，在中，利用余弦定理的應(yīng)用，，解得．故選．9．（2024?開封三模）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則___________，的面積為___________．【答案】，【解析】由正弦定理得．將代入上式得：，故．所以．故答案為：，．10．（2024?昆明一模）在中，，，，在線段上，若與的面積之比為，則___________．【答案】1【解析】因為與的面積之比為，故；故；；；故答案為：1．11．（2024?貴州模擬）如圖所示，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走146.4米到達(dá)，在測得山頂?shù)难鼋菫?，則山高_(dá)__________米．，，結(jié)果保留小數(shù)點后1位）【答案】282.8【解析】，．，在中，由正弦定理得，即，（米．故答案為：282.8．12．（2024?香坊區(qū)校級二模）在中，、、所對的邊分別為、、，且滿意，，則___________；若，則的面積___________．【答案】1；【解析】依題意及正弦定理得，且，因此，，當(dāng)時，，．又，因此，，則的面積．故答案為：1；．13．（2024?海南模擬）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．，分別為方程的兩根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ）方程可化為，解得，；因為，，所以，，所以，；因為，所以．（結(jié)果寫成也對）（Ⅱ）由正弦定理，所以，所以的面積為．（結(jié)果寫成也對）14．（2024?北京模擬）已知，，，分別為內(nèi)角，，，的對邊，若同時滿意下列四個條件中的三個：①；②；③；④．（Ⅰ）滿意有解三角形的序號組合有哪些？（Ⅱ）在（Ⅰ）全部組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積．【解析】由①可得，，由②可得，解可得，（舍或，由為三角形的內(nèi)角可得，①②不能同時成立，所以滿意有解三角形的序號組合有①③④或②③④，（Ⅱ）選擇①③④，由余弦定理可得，，所以，即，解可得，，，選②③④，由余弦定理可得，，，解可得，，．15．（2024?大興區(qū)一模）在中，，，且的面積為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若為上一點，且______，求的值．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【解析】（Ⅰ）由于，，，解得；由余弦定理得，解得；（Ⅱ）若選①，則當(dāng)時，在中，由正弦定理，即，所以；因為，所以；所以，即．若選②，則當(dāng)時，在中，由余弦定理知，．因為，所以，所以，所以，即．16．（2024?楊浦區(qū)二模）已知三角形中，三個內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為，，，且，．（1）若，求；（2）設(shè)點是邊的中點，若，求三角形的面積．【解析】（1）中，，，，由余弦定理得，，即，整理得，解得或（不合題意，舍去），所以；（2）如圖所示，點是邊的中點，，，所以，即，解得，所以，的面積．故答案為：．17．（2024?福州模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．【解析】（1）因為．由正弦定理得．明顯，所以．所以，．所以，．（2）依題意，．所以時取等號．又由余弦定理得．．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的周長最小值為．18．（2024?紹興一模）在中，已知內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ），；；所以：．（三角形內(nèi)角）（Ⅱ）因為；（負(fù)值舍）；．19．（2024?中衛(wèi)三模）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且．（1）求角的大??；（2）若向量與共線，求的周長．【解析】（1），，，，，，又為的內(nèi)角，；（2）向量與共線，，由正弦定理可知，，由（1）結(jié)合余弦定理可知，，即，，的周長為．20．（2024?丹東一模）已知同時滿意下列四個條件中的三個：①；②；③；④．（Ⅰ）請指出這三個條件，并說明理由；（Ⅱ）求的面積．【解析】（Ⅰ）同時滿意①，③，④．理由如下：若同時滿意①，②．因為，且，所以．所以，沖突．所以只能同時滿意③，④．因為，所以，故不滿意②．故滿意①，③，④．（Ⅱ）解：因為，所以．解得，或（舍．所以的面積．21．（2024?北辰區(qū)模擬）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，又，，，，解得；（Ⅱ）由，所以，由正弦定理得：，得，又，所以，所以，，所以，故答案為：．22．（2024?江蘇模擬）在中，角、、的對邊分別為、、．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求的面積．【解析】（1）法一：由可得依據(jù)正弦定理可得，（法二）：由可得依據(jù)余弦定理可得，整理可得，（2）由（1）可知，的面積23．（2024?南通模擬）在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ），由正弦定理，得