2024-2025學年高中數(shù)學第一章解三角形1.2.1距離問題課時作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE8課時作業(yè)4距離問題時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了三種測量方案：(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)：①測量A，B，b②測量a，b，C③測量A，B，a則肯定能確定A，B間距離的全部方案的個數(shù)為(A)A．3B．2C．1D．0解析：對于①，利用內(nèi)角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)解出C，對于②，干脆利用余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)即可解出C，對于③，先利用內(nèi)角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)解出C.故選A.2．如圖，甲、乙二人同時從A點動身，甲沿著正東方向走，乙沿著北偏東30°方向走，當乙走了2千米到達B點時，兩人距離恰好為eq\r(3)千米，那么這時甲走的距離是(D)A．2eq\r(3)千米 B．2千米C.eq\r(3)千米 D．1千米解析：假設(shè)甲走到了C，則在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°，即(eq\r(3))2＝22＋AC2－2×2AC·eq\f(1,2)，解得AC＝1.故選D.3.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(B)A．a(chǎn)kmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm解析：如題圖，∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2.∴AB＝eq\r(3)a.4.如圖，某炮兵陣地位于A點，兩視察所分別位于C，D兩點．已知△ACD為正三角形，且DC＝eq\r(3)km，當目標出現(xiàn)在B點時，測得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，則炮兵陣地與目標的距離是(C)A．1.1km B．2.2kmC．2.9km D．3.5km解析：∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(\r(6)＋\r(2)2,4)＋2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝5＋2eq\r(3).∴AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈2.9(km)．∴炮兵陣地與目標的距離約為2.9km.5．某人在地上畫了一個角∠BDA＝60°，他從角的頂點D動身，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點N，則N與D之間的距離為(C)A．14米B．15米C．16米D．17米解析：如圖，設(shè)CD＝10，則CN＝14，∠D＝60°.在△CDN中，由余弦定理得cosD＝eq\f(CD2＋DN2－CN2,2CD·DN)＝eq\f(100＋DN2－196,20DN)＝eq\f(1,2)，解得DN＝16(負值舍去)．故選C.6.如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為140°的方向航行，為了確定船的位置，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行eq\f(1,2)h到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，與燈塔A的距離是(B)A．10kmB．10eq\r(2)kmC．15kmD．15eq\r(2)km解析：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．二、填空題7．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為(eq\r(6)－1)km.解析：如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3km，AC＝2km.設(shè)BC＝akm.由余弦定理，得cos120°＝eq\f(a2＋4－9,4a)，解得a＝eq\r(6)－1或a＝－eq\r(6)－1(舍去)，即B到C的距離為(eq\r(6)－1)km.8．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為30eq\r(2)km.解析：如圖，在△ABC中，AC＝4×15＝60，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°.∴BC＝eq\f(AC·sin30°,sin45°)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝30eq\r(2)(km)．9．臺風中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40km處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為1小時．解析：設(shè)t小時時，B城市恰好處于危急區(qū)，則由余弦定理，得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°＝302，即4t2－8eq\r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).故|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(2\r(2)2－4×\f(7,4))＝1.三、解答題10.為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)．如圖，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出須要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M、N間距離的步驟．解：①須要測量的數(shù)據(jù)有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)．②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；其次步：計算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：計算MN.由余弦定理MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1).11.如圖，某炮兵陣地位于地面A處，兩視察所分別位于地面C處和D處，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標出現(xiàn)于地面B處，測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵陣地與目標的距離．解：由∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，得∠CAD＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin60°)＝eq\f(AD,sin45°)，則AD＝eq\f(\r(6),3)CD.在△BCD中，可得∠CBD＝135°，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD.又∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝75°＋15°＝90°，連接AB，則在△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝eq\f(\r(42),6)×6000＝1000eq\r(42)(m)．故炮兵陣地與目標的距離為1000eq\r(42)m.——實力提升類——12．在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50°，且到A的距離為2，C點的俯角為70°，且到A的距離為3(點B、C在點A所在鉛垂線的同側(cè))，則B，C間的距離為(D)A.eq\r(16)B.eq\r(17)C.eq\r(18)D.eq\r(19)解析：在△ABC中，∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝eq\r(19).13．如圖所示為起重機裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為(B)A．30m B.eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．45m解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，所以∠ACB＝120°，∠ACD＝180°－120°＝60°.然后由正弦定理eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，可得AD＝ACsin60°＝eq\f(15\r(3),2)(m)．故選B.14．某人在汽車站M的北偏西20°方向上的A處，視察到點C處有一輛汽車沿馬路向M站行駛．馬路的走向是汽車站M的北偏東40°.起先時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米．此時汽車離汽車站的距離是15千米．解析：由題設(shè)，畫出示意圖，如圖．設(shè)汽車前進20千米后到達B處．在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(23,31)，則sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(12\r(3),31)，所以sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin120°cosC－cos120°sinC＝eq\f(35\r(3),62).在△MAC中，由正弦定理，得MC＝eq\f(ACsin∠MAC,sin∠AMC)＝eq\f(31,\f(\r(3),2))×eq\f(35\r(3),62)＝35(千米)．從而有MB＝MC－BC＝15千米，所以此時汽車離汽車站的距離是15千米．15.如圖，已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A，B相距10海里，小船甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動，同時小船乙從海島A動身沿北偏西15°方向也以2海里/小時的速度移動．(1)經(jīng)過1小時后，甲、乙兩小船相距多少海里？(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，懇求出所需時間，若不行能，請說明理由．解：(1)經(jīng)過1小時后，甲船到達M點，乙船到達N點，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以經(jīng)過1小時后，甲、乙兩小船相距2eq\r(13)海里．(2)設(shè)經(jīng)過t(0<t<5)小時小船甲處于小船乙的正東方向，則甲船與A距