2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，一般以小題的形式單獨(dú)考查或以古典概型為載體進(jìn)行考查，有時(shí)也與概率相交匯以解答題的形式呈現(xiàn).數(shù)學(xué)建模、邏輯推理[學(xué)生用書P250]一、知識(shí)梳理1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．[提醒](1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事．(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．[提醒](1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事．(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏．常用結(jié)論1．完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第三冊(cè)P11練習(xí)T3改編)已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法種數(shù)為()A．16 B.13C.12 D.10解析：選C.將4個(gè)門編號(hào)為1，2，3，4，從1號(hào)門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號(hào)門進(jìn)入，同樣各有3種走法，共有不同走法4×3＝12(種)．2．(人A選擇性必修第三冊(cè)P26習(xí)題6.2T5改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是()A．12 B.24C.64 D.81解析：選B.4本不同的課外讀物選3本送給3位同學(xué)，每人一本，則不同的送法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.3.(人A選擇性必修第三冊(cè)P11習(xí)題6.1T2)如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．從甲地到丁地共有____________條不同的路線．解析：2×3＋4×2＝14.答案：14一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()答案：(1)√(2)×(3)√二、易錯(cuò)糾偏1．(混淆兩個(gè)計(jì)數(shù)原理致誤)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．12 B.8C.6 D.4解析：選C.分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6，故選C.2．(分類遺漏致誤)從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B.18C.12 D.6解析：選B.分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個(gè))；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個(gè))．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個(gè))．3．(不能正確使用分步乘法計(jì)數(shù)原理致誤)乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后共有____________項(xiàng)．答案：45[學(xué)生用書P251])考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理并能辨析、簡(jiǎn)單應(yīng)用．2．應(yīng)用時(shí)要明確分類標(biāo)準(zhǔn)和原則(不重不漏)．1．(鏈接常用結(jié)論1)如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的情況共有()A．9種 B.11種C.13種 D.15種解析：選C.按焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分類：脫落1個(gè)，有1，4，共2種；脫落2個(gè)，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6種；脫落3個(gè)，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種；脫落4個(gè)，有(1，2，3，4)，共1種．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有2＋6＋4＋1＝13(種)．故選C.2．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．18 B.36C.72 D.48解析：選B.方法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．方法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè))．3．(2022·石家莊第六中學(xué)檢測(cè))從A地到B地，每天有直達(dá)班車4班；從A地到C地，每天有5個(gè)班車；從C地到B地，每天有3個(gè)班車，則從A地到B地，每天共有____________種不同的乘車方法．解析：分兩類：第一類直接到達(dá)，A地到B地，每天有直達(dá)班車4班，共有4種方法，第二類間接到達(dá)，從A地到C地，每天有5個(gè)班車，從C地到B地，每天有3個(gè)班車，共有5×3＝15種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有4＋15＝19種方法．答案：194．(2022·保定質(zhì)檢)甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．解析：分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．答案：6分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇(1)應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理(思維發(fā)散)(鏈接常用結(jié)論2)(1)(2022·泉州科技中學(xué)月考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為()A．180 B.240C.420 D.480(2)有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有____________種不同的報(bào)名方法．【解析】(1)分兩步，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求解．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法；當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法，即當(dāng)S,A,B染好時(shí)，C,D還有7種染法．故不同的染色方法有60×7＝420種．故選C.(2)每項(xiàng)限報(bào)一個(gè)，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．【答案】(1)C(2)1201．本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？解：每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有36＝729(種)．2．本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？解：每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有63＝216(種)．分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過(guò)程來(lái)合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．|跟蹤訓(xùn)練|1．從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成____________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有____________個(gè)．(用數(shù)字作答)解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個(gè))不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個(gè))偶函數(shù)．答案：1862．已知集合A中有4個(gè)元素，B中有3個(gè)元素，C中有9個(gè)元素，則集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中的元素個(gè)數(shù)為____________．解析：分三個(gè)步驟，第一步確定x，有4種方法，第二步確定y，有3種方法，第三步確定z，有9種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中有4×3×9＝108(個(gè))元素．答案：108考點(diǎn)三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用(多維探究)角度1數(shù)值問(wèn)題用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字可以組成____________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答)【解析】要完成的“一件事”為“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個(gè)位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個(gè)數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步．①第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個(gè)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除首位數(shù)字外的任意一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．【答案】420角度2涂色問(wèn)題如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有____________種不同的著色方法．【解析】方法一(直接法)：第一步：對(duì)Ⅰ著色，不同的選擇有5種，第二步：對(duì)Ⅱ著色，不同的選擇有4種，第三步：對(duì)Ⅲ著色，不同的選擇有3種，第四步：對(duì)Ⅳ著色，因?yàn)棰襞cⅡ，Ⅲ相接，故著色與Ⅱ，Ⅲ都不能同色，不同的選擇有3種．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法有5×4×3×3＝180(種)．方法二(根據(jù)所用顏色種數(shù)分類討論)：由題圖知Ⅰ與Ⅳ不相鄰，故這兩個(gè)地區(qū)可以同色，所以需要顏色的種數(shù)最少為3種，最多為4種．若使用3種顏色，即Ⅰ與Ⅳ同色，此時(shí)不同的著色方法有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)；若使用4種顏色，即Ⅰ與Ⅳ不同色，此時(shí)不同的著色方法有Aeq\o\al(4,5)＝120(種)，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的著色方法有60＋120＝180(種)．【答案】180角度3幾何圖形問(wèn)題如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B.48C.36 D.24【解析】長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.【答案】B兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用要點(diǎn)(1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步．在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么．選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．(2)①分類要做到“不重不漏”．②分步要做到“步驟完整”．③混合問(wèn)題一般是先分類再分步．(3)解題時(shí)可以畫出示意圖或樹狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．|跟蹤訓(xùn)練|1．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3 B.4C.6 D.8解析：選D.以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4和1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個(gè))．2.現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．120 B.140C.240 D.260解析：選D.由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．故選D.[學(xué)生用書P439(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A．6 B.5C.3 D.2解析：選B.5個(gè)人中每一個(gè)都可以主持，所以共有5種選法．2．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B.13C.12 D.10解析：選B.方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的情況應(yīng)分類討論．①當(dāng)a＝0時(shí)，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解．此時(shí)b的取值有4個(gè)，故此時(shí)有4個(gè)有序數(shù)對(duì)．②當(dāng)a≠0時(shí)，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個(gè)有序數(shù)對(duì)不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2)．a(chǎn)≠0時(shí)，(a，b)共有3×4＝12(個(gè))實(shí)數(shù)對(duì)，故a≠0時(shí)滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)有12－3＝9(個(gè))，所以答案應(yīng)為4＋9＝13.3．(2022·青島模擬)中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有()A．50種 B.60種C.80種 D.90種解析：選C.根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時(shí)乙的選法有2種，丙的選法有10種，共有2×10＝20種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時(shí)甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，共有2×3×10＝60種不同的選法．綜上共有20＋60＝80種選法．4．為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有()A．48種 B.36種C.24種 D.12種解析：選B.由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2×3×6＝36不同的選取方法，故選B.5．某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號(hào)碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有()A．180種 B.360種C.720種 D.960種解析：選D.按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法．因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．6．從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個(gè) B.34個(gè)C.36個(gè) D.38個(gè)解析：選A.將和等于11的數(shù)放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個(gè)，有Ceq\o\al(1,2)＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個(gè)子集．7．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A．48 B.18C.24 D.36解析：選D.第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．8．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn))．解析：分三類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O，2種不同的走法；第三類，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O，2種不同的走法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．答案：59．有10種不同的玩具汽車，9種不同的洋娃娃，8種不同的閃光球，從中任取兩種不同類的玩具，共有________種不同的取法．解析：任取兩種不同類的玩具，有三類，第1類，取玩具汽車、洋娃娃各一種；第2類，取洋娃娃、閃光球各一種；第3類，取玩具汽車、閃光球各一種．第1類中根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有10×9＝90(種)不同的取法；第2類中有9×8＝72(種)不同的取法；第3類中有10×8＝80(種)不同的取法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有90＋72＋80＝242(種)不同的取法．答案：24210．在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個(gè)．解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213，214，312，314，412，413，共6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有324，423，共2個(gè)，所以共有6＋2＝8(個(gè))．答案：8[B綜合應(yīng)用]11．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個(gè) B.15個(gè)C.12個(gè) D.9個(gè)解析：選B.依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個(gè)數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個(gè)數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個(gè)數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個(gè)數(shù)分別為211，121，112.共有3＋6＋3＋3＝15(個(gè))．12．(多選)下列各問(wèn)題正確的是()A．某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時(shí)間里，火車有4趟，輪船有3次，此人的走法有7種B