【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解（九大題型）

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 3【思維導(dǎo)圖】 3【知識點梳理】 3【典型例題】 5題型一：求函數(shù)的零點 5題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù) 7題型三：零點存在性定理的應(yīng)用 8題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍 10題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍 13題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍 17題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍 19題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍 24題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 27

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點個數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.（2）定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；②兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù).4、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；（3）若符號為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。5、已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點【典例1-1】（2024·高一·四川達州·期中）“”是“函數(shù)只有一個零點”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點12；當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點1；若函數(shù)只有一個零點，則或．所以“”是“函數(shù)只有一個零點”的充分不必要條件．故選：C.【典例1-2】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)的零點為（

）A．1， B．， C．2， D．，【答案】B【解析】令，即，解得：，，所以函數(shù)的零點為和.故選：B【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點就是求相應(yīng)方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.【變式1-1】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對任意恒有，則函數(shù)的零點為（

）A． B． C．9 D．27【答案】A【解析】設(shè)，即，因為，可得，所以，解得，所以，令，可得，即，解得.故選：A.【變式1-2】（2024·高一·遼寧朝陽·期末）函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)是.故選：C.【變式1-3】（2024·高一·江蘇宿遷·階段練習(xí)）函數(shù)的零點為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得或，故的零點為.故選：A【變式1-4】（2024·高一·北京海淀·階段練習(xí)）若，是二次函數(shù)的兩個零點，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【解析】由，是二次函數(shù)的兩個零點，，所以，是的兩個實數(shù)根，所以，故，故選：C題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)【典例2-1】（2024·高一·江蘇鹽城·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則a的值是.【答案】0或【解析】函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點,即只有一個根.當(dāng)，解得，滿足題意.當(dāng)，解得，此時方程有兩個相同的實數(shù)根，滿足題意.綜上，a的值是0或.故答案為：0或.【典例2-2】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一個零點，則實數(shù)m的值為．【答案】/【解析】由時函數(shù)的一個零點，可得，解得.故答案為：.【變式2-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)的兩個零點是2和3，則函數(shù)的零點是．【答案】1和【解析】∵函數(shù)的兩個零點是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零點為1和.故答案為：1和【變式2-2】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為【答案】【解析】（1）若，即時，①當(dāng)時，此時，此時沒有零點，②當(dāng)時，此時，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.【變式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）已知函數(shù)的零點是2，則【答案】3【解析】由題意得，解得，故答案為：3題型三：零點存在性定理的應(yīng)用【典例3-1】（2024·高一·北京·期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因和都是上的增函數(shù)，故也是上的增函數(shù)，又，由零點存在定理，可得函數(shù)fx的零點所在的區(qū)間是.故選：B.【典例3-2】（2024·高一·湖南·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于，則fx為上的增函數(shù)，而，，，，，由于，根據(jù)零點存在性定理，知道函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案．【變式3-1】（2024·高一·上?！ふn堂例題）下列區(qū)間中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)零點存在定理可得1,2存在方程的根.故選：B【變式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下部分對應(yīng)值表：123456136.115.610.9判斷函數(shù)的零點個數(shù)至少有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由數(shù)表知，，因此函數(shù)在區(qū)間上分別至少有1個零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)至少為3個.故選：C【變式3-3】（2024·高一·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【解析】當(dāng)時，設(shè)，則，故在0,+∞上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為2,3.故選：C.【變式3-4】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】B【解析】因為函數(shù)定義域為，且在上單調(diào)遞增，且，，即，由零點存在定理可得，的零點區(qū)間為，所以.故選：B題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍【典例4-1】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意知函數(shù)在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，又因，又因在上是連續(xù)不中斷的，所以根據(jù)零點存在定理即可得知存在使得.故選：C【典例4-2】（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）為函數(shù)的兩個零點，其中，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，由，得，因此直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，其橫坐標(biāo)為，而當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，于是，對于A，由，得，即，A正確；對于B，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，B正確；對于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：C【變式4-1】（2024·高一·江蘇南京·期末）已知的零點在區(qū)間，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，在R上單調(diào)遞增，因為，，則零點在區(qū)間上，可得.故選：C.【變式4-2】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】當(dāng)時，，不存在零點；當(dāng)時，是一次函數(shù)，必然單調(diào)，故只需即可，即，解得或，即的取值范圍是∪，故選：D【變式4-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A【變式4-4】（2024·高一·重慶九龍坡·期末）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.【變式4-5】（2024·高一·江蘇南京·期末）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知,,函數(shù)的零點為，可得,函數(shù)的零點為，則又因為,這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時，,解得.故選:D.題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【典例5-1】（2024·高一·江蘇無錫·期中）若二次函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由題意可得方程在上存在一個根，，由函數(shù)，則其對稱軸為直線，當(dāng)時，，可得，解得；當(dāng)時，，可得，顯然無解.綜上所述，.故選：A.【典例5-2】（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，則，解得或.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．【變式5-1】（2024·高一·北京·期中）已知函數(shù)的圖象與直線恰有2個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，由題意有兩個零點，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.故選：A.【變式5-2】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)滿足，且有8個不同的解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時fx=x2令，則，則，又所以，則，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，對于A，當(dāng)時，函數(shù)沒有實數(shù)根，不滿足題意；對于B，當(dāng)時，函數(shù)有四個根，其中，，，；作出與、、與的圖象，如圖，顯然幾個函數(shù)恰有8個交點，則有8個不同的解，故B正確；對于CD，當(dāng)時，函數(shù)有兩個根，其中，，與選項B同理可知與、各有一個交點，則只有2個不同的解，不滿足題意，故CD錯誤.故選：B.【變式5-3】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】關(guān)于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則直線與的圖象至少兩個不同的交點，作出函數(shù)的圖象如下，直線恒過1,0，當(dāng)直線與相切時，，由可得，此時與平行，所以此時方程只有一個根，不合題意；當(dāng)時，與有兩個交點，符合題意；當(dāng)時，與y=fx有三個交點，符合題意；當(dāng)時，經(jīng)過點時，與y=fx有兩個交點，此時，若，與y=fx有三個交點，綜上可知，方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【變式5-4】（2024·高一·安徽蕪湖·開學(xué)考試）若函數(shù)存在兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上，與都單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上，與都單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由函數(shù)有兩個零點，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：C題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍【典例6-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】當(dāng)a＝0時，f（x）＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.【典例6-2】（2024·高二·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)的值有正也有負(fù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)零點存在定理進行求解即可..當(dāng)時，，函數(shù)值恒為正，不符合題意；當(dāng)時，要想函數(shù)的值有正也有負(fù)，只需，即.綜上所述：.故選：C【變式6-1】（2024·高一·福建廈門·期中）已知函數(shù)f（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在零點，則（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】因為函數(shù)f（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在零點，又因為f（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）單調(diào)，所以，即，解得或，故選：C【變式6-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)在上單調(diào)，利用零點存在性定理即可求解.∵在區(qū)間上單調(diào)且存在零點，∴，∴或．故選：C【變式6-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】C【解析】因為函數(shù)為一次函數(shù)，要使其在區(qū)間上存在零點，要保證其兩端點分別在軸的兩側(cè)，所以即，解得或，故選項.題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍【典例7-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間恰有一個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】若，則，它的零點為，故符合題意．若，函數(shù)在區(qū)間恰有一個零點，則需滿足：①或②或③解①得，或；解②得，解集為；解③得；綜上，的取值范圍是．故選：D．【典例7-2】（2024·高一·河南·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是.【答案】【解析】易知，令，則滿足條件需關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，由解得.故答案為：.【變式7-1】（2024·高一·浙江寧波·階段練習(xí)）若函數(shù)在-1,1內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時，，解得，符合題意，則；當(dāng)時，二次函數(shù)的判別式為：，若，即時，函數(shù)的零點為，符合題意，則；當(dāng)，即時，由，解得且，則且；當(dāng)時，，方程另一根，當(dāng)時，，方程中一根，則或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【變式7-2】（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間有零點，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可得在1,4上有解，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在1,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故當(dāng)時，，故的取值范圍是.故答案為：.【變式7-3】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）若三個方程，和中至少有一個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)三個方程均無實根時，有，，，故三個方程均無實根時，的取值范圍為，三個方程中至少有一個方程有實根時，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【變式7-4】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程的兩個根均大于1，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，因為的兩個實數(shù)根均大于1，所以，解得，所以m的取值范圍為．故答案為：.【變式7-5】（2024·高一·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由方程有三個不同的實數(shù)根，等價于方程與直線的圖象有3個不同的交點，當(dāng)時，顯然不符合題意，所以，令，直線過定點且斜率為（1）當(dāng)時，如圖所示，要使得與有3個交點，則滿足，即，由，整理得，因為直線與拋物線相交，所以，解得，所以；（2）當(dāng)時，如圖所示，要使得與有3個交點，則滿足，即，由，整理得，因為直線與拋物線相交，所以，解得，所以；綜上可得，實數(shù)的取值范圍為,故答案為：.【變式7-6】（2024·高一·四川成都·期末）若關(guān)于的方程恰好有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知時，，即不是該方程的解，故令，則即為，作出函數(shù)的圖象如圖示：結(jié)合圖象可知，若只有一個解，則最多有2個解，不合題意；故要使得恰好有四個不同的實數(shù)根，需有2個不等正數(shù)根，且兩根分別處于內(nèi)，由可得，設(shè)，作出其圖象：當(dāng)時，，故，故答案為：題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍【典例8-1】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個公共點，且點、關(guān)于直線對稱，則，且，故.故答案為：.【典例8-2】（2024·高一·廣東東莞·期中）已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，，，且，，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】的圖象如圖所示，因為的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)有四個不同的零點，，，所以，，所以，因為，所以，得，即實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【變式8-1】（2024·高一·安徽阜陽·期末）已知函數(shù)，若存在且，使得，則的取值范圍為.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知，且，所以，則，所以，故的取值范圍為．故答案為：．【變式8-2】（2024·高一·上海松江·期末）已知函數(shù)y=fx的表達式為，若方程有四個不相等的實根，且，則取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有四個不相等的實根，函數(shù)與有4個交點，由函數(shù)的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數(shù)的圖象可知：，，且，，，，，，令，，，設(shè)，則，，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性其單調(diào)遞增，則，又，設(shè)，，對稱軸為，則即，即范圍為故答案為：．【變式8-3】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若方程有四個根，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】因為方程有四個根，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，它們的橫坐標(biāo)分別為，如圖所示，當(dāng)時，，且，故，當(dāng)時，，且，所以，解得，因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，由圖可得，，故，所以，令，，在單調(diào)遞增，所以，，故的取值范圍是.故答案為：.題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【典例9-1】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）對于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點．(1)求二次函數(shù)的不動點；(2)若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點，且，求的最小值．【解析】（1）由題知，設(shè)的不動點為，則，即，解得或，即的不動點為或.（2）由題知，設(shè)的不動點為，則，即，所以，，因為，所以，，解得則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.【典例9-2】（2024·高一·湖南湘潭·期末）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，在上有零點.(2)當(dāng)時，關(guān)于x的方程在上沒有實數(shù)解，求m的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，因為，所以，因此在上有零點.（2）當(dāng)時，，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.又，故在上的值域為，且關(guān)于x的方程在上沒有實數(shù)解，故或，即或所以m的取值范圍為.【變式9-1】（2024·高一·四川樂山·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求的解析式；(2)若方程有三個不同的根，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，因為時，fx=x2可得，又因為函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的解析式為.（2）要使得方程有三個不同的根，即函數(shù)y=fx與的圖象有三個不同的交點，如圖所示