八省聯(lián)考福建數(shù)學(xué)試卷

八省聯(lián)考福建數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.3

B.$\sqrt{2}$

C.$\pi$

D.$\frac{1}{3}$

2.已知$a>b>0$，則下列不等式正確的是（）

A.$\frac{1}{a}<\frac{1}$

B.$a^2<b^2$

C.$a+b<2\sqrt{ab}$

D.$a-b<2\sqrt{ab}$

3.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間（）上單調(diào)遞減。

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的奇數(shù)項(xiàng)之和為（）

A.$1+3+5+\ldots+2019$

B.$2+4+6+\ldots+2020$

C.$1+3+5+\ldots+2019+2021$

D.$2+4+6+\ldots+2020+2022$

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=5$的對稱點(diǎn)為（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

6.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z+1|=|z-1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的軌跡是（）

A.以$(1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

B.以$(-1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

C.以原點(diǎn)為圓心，以$1$為半徑的圓

D.線段$[-2,2]$

7.若函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值為$10$，則函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$在區(qū)間$[1,3]$上的最小值為（）

A.$\frac{1}{10}$

B.$\frac{1}{5}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{10}$

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2-3n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）

A.$a_n=4n^2-3n$

B.$a_n=8n-3$

C.$a_n=4n-1$

D.$a_n=8n+3$

9.在$\triangleABC$中，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\sinB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{7}{25}$

D.$\frac{24}{25}$

10.若函數(shù)$f(x)=\log_2(2x-1)$在區(qū)間$[1,3]$上的圖象與直線$y=x$有$3$個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$(2,3]$

B.$(2,3)$

C.$[2,3)$

D.$[2,3]$

二、判斷題

1.平面向量$\vec{a}$與$\vec$垂直的充要條件是$\vec{a}\cdot\vec=0$。（）

2.如果一個(gè)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2-3n$，那么這個(gè)等差數(shù)列的公差為$4$。（）

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,0)$到直線$x+y=1$的距離為$\frac{1}{2}$。（）

4.復(fù)數(shù)$z=1+i$的模長是$\sqrt{2}$。（）

5.如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則它在該定義域內(nèi)一定連續(xù)。（）

三、填空題

1.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-2n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的第$4$項(xiàng)$a_4=\_\_\_\_\_\_\_。

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(-2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為$\_\_\_\_\_\_\_。

3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)值為$\_\_\_\_\_\_\_。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P(2,3)$到直線$x+2y-5=0$的距離公式是$\_\_\_\_\_\_\_。

5.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的軌跡方程是$\_\_\_\_\_\_\_。

二、選擇題

1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為1，公差為2，則第10項(xiàng)為（）

A.19

B.20

C.21

D.22

2.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間（）上單調(diào)遞減。

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和為（）

A.1+3+5+\ldots+2019

B.2+4+6+\ldots+2020

C.1+3+5+\ldots+2019+2021

D.2+4+6+\ldots+2020+2022

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=5$的對稱點(diǎn)為（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

5.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z+1|=|z-1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的軌跡是（）

A.以$(1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

B.以$(-1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

C.以原點(diǎn)為圓心，以$1$為半徑的圓

D.線段$[-2,2]$

6.若函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值為$10$，則函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$在區(qū)間$[1,3]$上的最小值為（）

A.$\frac{1}{10}$

B.$\frac{1}{5}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{3}$

7.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的軌跡是（）

A.以$(1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

B.以$(-1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

C.以原點(diǎn)為圓心，以$1$為半徑的圓

D.線段$[-2,2]$

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和為（）

A.1+3+5+\ldots+2019

B.2+4+6+\ldots+2020

C.1+3+5+\ldots+2019+2021

D.2+4+6+\ldots+2020+2022

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=5$的對稱點(diǎn)為（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

10.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的軌跡是（）

A.以$(1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

B.以$(-1,0)$為圓心，以$1$為半徑的圓

C.以原點(diǎn)為圓心，以$1$為半徑的圓

D.線段$[-2,2]$

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列極限：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$$

2.解下列方程：

$$2x^2-4x+3=0$$

3.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n-3$，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和$S_5$。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線$y=2x+1$與圓$(x-1)^2+(y-2)^2=1$相交于點(diǎn)$A$和$B$，求線段$AB$的長度。

六、案例分析題

1.案例分析題：某學(xué)校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，決定開展一次數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)。以下是競賽活動(dòng)的部分安排：

-競賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段。

-初賽采用閉卷考試，時(shí)間為90分鐘，滿分為100分。

-初賽結(jié)束后，將根據(jù)成績排名選出前20%的學(xué)生進(jìn)入決賽。

-決賽采用現(xiàn)場作答，時(shí)間為60分鐘，滿分為120分。

-最終成績?yōu)槌踬惡蜎Q賽成績的平均值。

問題：

-分析該數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)和可能存在的不足。

-提出改進(jìn)建議，以使競賽活動(dòng)更有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

2.案例分析題：某教師在教授“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”這一章節(jié)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念方面存在困難。以下是該教師的教學(xué)案例：

-教師首先通過實(shí)例引入導(dǎo)數(shù)的概念，并解釋其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-隨后，教師讓學(xué)生通過觀察圖形和計(jì)算導(dǎo)數(shù)來理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

-在講解導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則時(shí)，教師采用了大量的練習(xí)題來幫助學(xué)生鞏固知識。

問題：

-分析該教師在教學(xué)過程中采用的教學(xué)方法和策略。

-提出改進(jìn)措施，以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某公司計(jì)劃投資一項(xiàng)新項(xiàng)目，預(yù)計(jì)投資額為100萬元。根據(jù)市場調(diào)研，該項(xiàng)目在第一年將帶來50萬元的收益，之后每年收益遞增10%。求該項(xiàng)目在第5年的總收益（包括投資額）。

2.應(yīng)用題：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為$a$、$b$、$c$，且$a<b<c$。求長方體的體積$V$與表面積$S$之比。

3.應(yīng)用題：一個(gè)圓的半徑增加了20%，求新圓的面積與原圓面積之比。

4.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是前一天的1.2倍。如果第1天生產(chǎn)100個(gè)產(chǎn)品，求第5天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.D

10.A

二、判斷題

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.9

2.(-2,-3)

3.0

4.$\frac{|2\times2+2\times3-5|}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{1}{2}$

5.$(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$

四、簡答題

1.優(yōu)點(diǎn)：競賽活動(dòng)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)能力；可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，發(fā)現(xiàn)他們的不足之處。不足：競賽可能導(dǎo)致學(xué)生過分關(guān)注成績，忽視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和方法；可能加劇學(xué)生的焦慮情緒，影響他們的心理健康。

建議：將競賽與日常教學(xué)相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力；提供多樣化的競賽內(nèi)容，滿足不同學(xué)生的需求；關(guān)注學(xué)生的心理狀態(tài)，確保競賽活動(dòng)的順利進(jìn)行。

2.教學(xué)方法和策略：實(shí)例引入、圖形觀察、計(jì)算練習(xí)。

改進(jìn)措施：結(jié)合實(shí)際生活情境，讓學(xué)生通過解決實(shí)際問題來理解導(dǎo)數(shù)的概念；利用多媒體教學(xué)，展示導(dǎo)數(shù)的幾何意義；減少機(jī)械練習(xí)，增加探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

五、計(jì)算題

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.$2x^2-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=\frac{3}{2}$

3.$f'(x)=3x^2-6x+4$

4.$S_5=2(1)+3(2)+5(3)+7(4)+9(5)=120$

5.圓心到直線的距離$d=\frac{|1\times1+2\times2-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$AB=2\sqrt{1-d^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

六、案例分析題

1.優(yōu)點(diǎn)：激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果。不足：過分關(guān)注成績，加劇焦慮情緒。

建議：結(jié)合日常教學(xué)，提供多樣化競賽內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生心理。

2.教學(xué)方法和策略：實(shí)例引入、圖形觀察、計(jì)算練習(xí)。

改進(jìn)措施：結(jié)合實(shí)際情境，利用多媒體，增加探究性學(xué)習(xí)。

七、應(yīng)用題

1.第5年總收益=$50+50\times(1+0.1)+50\times(1+0.1)^2+50\times(1+0.1)^3+50\times(1+0.1)^4+100=312.5$萬元

2.$V=abc$，$S=2(ab+bc+ac)$，$V:S=\frac{abc}{2(ab+bc+ac)}=\frac{c}{2(a+b)}$

3.新圓面積：$\pi(1.2r)^2=1.44\pir^2$，面積之比：$\frac{1.44\pir^2}{\pir^2}=1.44$

4.第5天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量：$100\times1.2^4=207.36$（約等于207個(gè)）

知識點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋的知識點(diǎn)主要包括：

1.數(shù)列與極限

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

3.復(fù)數(shù)與幾何

4.平面幾何與解析幾何

5.應(yīng)用題求解方法

6.教學(xué)案例分析與改進(jìn)措施

各題型所考察的知識點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對基