七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（浙教版）第04講 平行線的性質(zhì)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類(lèi)題型）（原卷版）

第04講平行線的性質(zhì)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類(lèi)題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.兩直線平行同位角相等；2.兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；3.兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；4、平行線的判定與性質(zhì)綜合；1.掌握兩直線平行同位角相等；2.掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；3.掌握兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；4、掌握平行線的判定與性質(zhì)綜合；知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)1性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等。幾何語(yǔ)言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)2性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。幾何語(yǔ)言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)3性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。幾何語(yǔ)言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）【即學(xué)即練1】1．（2023上·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直尺一邊與量角器的零刻度線平行，已知的讀數(shù)為，設(shè)與交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于()A． B． C． D．【即學(xué)即練2】2．（2022下·浙江寧波·七年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，，EF分別截于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)AIA． B．C． D．【即學(xué)即練3】3．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中、兩點(diǎn)分別落在直線，上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【即學(xué)即練4】4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，的直角頂點(diǎn)C在直線b上，若，，則等于（

）

A． B． C． D．題型01兩直線平行同位角相等1．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，點(diǎn)、分別在、上，若，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2022下·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線a，b被直線c所截，，，則的度數(shù)是．

3．（2022下·廣東東莞·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，求證：．

題型02兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等1．（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）如圖，已知，直線與分別交于點(diǎn)A，B，直線平分且交于點(diǎn)C，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是；3．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，一條直線分別交、于點(diǎn)E、F，，，點(diǎn)Q在上，連接．(1)已知，直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)求證：平分．題型03兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)，平分，且，則．3．（2023上·內(nèi)蒙古烏海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}：如圖，直線、、兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)．請(qǐng)將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并填空理由或數(shù)學(xué)式解：∵，∴______（______），∵，∴______（______），∴（______），∵，∴．探究：如圖2，直線、、兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（2）在圖2中，若，求的度數(shù)并說(shuō)明理由．（3）猜想：如果的兩邊分別平行于的兩邊，直接寫(xiě)出與這兩個(gè)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？題型04根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系1．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，表示圖中三個(gè)角的角度，則，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是．3．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，點(diǎn)分別為上一點(diǎn)．(1)如圖1，在之間有一點(diǎn)（點(diǎn)不在線段上），連接，試探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；②選其中一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．(2)如圖2，在之間有兩點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，，存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．題型05根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（2023上·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州國(guó)本中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒(méi)有一條直線截與，所以無(wú)法直接運(yùn)用平行線的性質(zhì)，這時(shí)需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段右側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．題型06平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用1．（2023上·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一條街道有兩個(gè)拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023下·貴州黔南·七年級(jí)校考期中）如圖，的一邊是平面鏡，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)C射出，經(jīng)過(guò)平面鏡上的點(diǎn)D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

3．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．題型07根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）如圖，直線，和的數(shù)量關(guān)系是（

）

A． B． C． D．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖為一盞可折疊臺(tái)燈及其平面示意圖，其中支架與底座垂直，支架，為固定支撐桿，當(dāng)燈體與底座平行時(shí)，，，則的度數(shù)為．3．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知，交于點(diǎn)，．(1)（如圖1）求證：．(2)若在射線上取一點(diǎn)，連接、，使得，且（如圖2），求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作，且比大，求的度數(shù)．題型08根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明1．（2023上·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，M為平行線之間一點(diǎn)，連接，N為上方一點(diǎn)，連接，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若分別平分，則∠M、∠N滿足的關(guān)系式是3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數(shù)為_(kāi)_________．(2)探究問(wèn)題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時(shí)、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．題型09求平行線間的距離1．（2023下·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點(diǎn)，若，，則平行線b，c之間的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023下·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)C在上．若，的面積為27，的面積為18，則．

3．（2022上·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．題型10利用平行線間距離解決問(wèn)題1．（2022下·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，定直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)下列各值：①的周長(zhǎng)；②的面積；③點(diǎn)到的距離；④的大小.其中會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③2．（2023下·廣西北?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖：已知，點(diǎn)在上，，的面積為6，則平行四邊形的面積為．

3．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線，點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在直線上，與交于點(diǎn)E．與的面積相等嗎？為什么？

解：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，直角三角形的直角頂點(diǎn)在直線上，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是；4．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)，平分，且，則．5．（2024上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，平分交線段于點(diǎn)E，，．求的度數(shù)．6．（2023下·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平分，，，則也是的平分線，完成下列推理過(guò)程．

證明：是的平分線（已知），（）．（已知），（）．（）．又（已知），（）．（）．（）．B能力提升1．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小穎繪制一個(gè)潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023下·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖直線被直線所截，且，已知比大，則．

4．（2024上·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)為．

5．（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，，(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．6．（2022上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數(shù)為_(kāi)_________．(2)探究問(wèn)題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時(shí)、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．C綜合素養(yǎng)1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點(diǎn)D，E，射線直線c，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023上·四川遂寧·七年級(jí)射洪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，為上一點(diǎn)，，且平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：；；平分；平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖為一盞可折疊臺(tái)燈及其平面示意圖，其中支架與底座垂直，支架，為固定支撐桿，當(dāng)燈體與底座平行時(shí)，，，則的度數(shù)為．4．（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）已知直線，現(xiàn)將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為