備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)任意角①一條射線繞其端點(diǎn)按eq\x(\s\up1(01))逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按eq\x(\s\up1(02))順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．②如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個eq\x(\s\up1(03))零角.(2)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的eq\x(\s\up1(04))終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合eq\x(\s\up1(05))S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2．弧度的定義和公式(1)定義：長度等于eq\x(\s\up1(06))半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位記作rad.(2)公式①弧度與角度的換算：360°＝eq\x(\s\up1(07))2π弧度；180°＝eq\x(\s\up1(08))π弧度．②弧長公式：l＝eq\x(\s\up1(09))|α|r.③扇形面積公式：S扇形＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(1,2)lr＝eq\x(\s\up1(11))eq\f(1,2)|α|r2.說明：②③公式中的α必須為弧度制！3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝eq\x(\s\up1(12))y，cosα＝eq\x(\s\up1(13))x，tanα＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(y,x)(x≠0).(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．象限角3．軸線角4．重要結(jié)論若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα>α>sinα.1．給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析①中－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯誤；②中eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，②正確；③中－400°＝－360°－40°，從而③正確；④中－315°＝－360°＋45°，從而④正確．故選C．2．(多選)(2021·武漢調(diào)研)關(guān)于角度，下列說法正確的是()A．時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角度是60°B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第一或第三象限角答案BD解析對于A，時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角度是－60°，故錯誤；對于B，鈍角大于銳角，顯然正確；對于C，若三角形的內(nèi)角為90°，是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤；對于D，因為α是第二象限角，所以2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，eq\f(α,2)是第一或第三象限角，故正確．故選BD.3．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有選項C正確．4．若sinθcosθ<0，則角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角答案D解析因為sinθcosθ<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ<0，,cosθ>0.))所以角θ是第二或第四象限角．故選D.5．(2022·湖南常德月考)若角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1，2)，則sinα－cosα＋tanα＝________.答案eq\f(3\r(5)－10,5)解析由已知得r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，所以sinα－cosα＋tanα＝eq\f(y,r)－eq\f(x,r)＋eq\f(y,x)＝eq\f(2,\r(5))－eq\f(－1,\r(5))＋eq\f(2,－1)＝eq\f(3,\r(5))－2＝eq\f(3\r(5)－10,5).6．(2022·福州摸底)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________.答案eq\r(2)解析由圓的幾何性質(zhì)可知，圓內(nèi)接正方形的邊長為eq\r(2)r，故弧長為eq\r(2)r的弧所對的圓心角為eq\r(2).考向一角的概念及表示例1(1)(2021·赤峰模擬)若角α的終邊與240°角的終邊相同，則eq\f(α,2)的終邊所在象限是()A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限答案A解析由已知得α＝k·360°＋240°，k∈Z.所以eq\f(α,2)＝k·180°＋120°，k∈Z.所以eq\f(α,2)的終邊所在象限是第二或第四象限．(2)(2021·合肥模擬)若角α與β的終邊關(guān)于x軸對稱，則有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z答案C解析因為α與β的終邊關(guān)于x軸對稱，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.(3)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3)))解析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它的傾斜角是eq\f(π,3)，在[0,2π)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有兩個，分別為eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個，分別為－eq\f(2π,3)，－eq\f(5π,3).故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3))).1．終邊相同角的集合的應(yīng)用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．2．象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中作出已知角，并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．3．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)將θ的范圍用不等式(含有k，k∈Z)表示．(2)兩邊同除以n或乘n.(3)對k進(jìn)行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．提醒：注意用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)理解角的加減運(yùn)算．例如：k·180°＋60°(k∈Z)表示的角的終邊可理解為60°角的終邊逆時針(k>0)或順時針(k<0)旋轉(zhuǎn)180°的倍數(shù)而得到的．1.集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)表示的范圍一樣．故選C．2．與－2020°終邊相同的最小正角是________.答案140°解析因為－2020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°與－2020°終邊相同，又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°～360°中只有140°與－2020°終邊相同，故與－2020°終邊相同的最小正角是140°.考向二扇形的弧長、面積公式例2已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l，(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)rad，R＝10cm，∴扇形的弧長l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由題意得l＋2R＝20，∴l(xiāng)＝20－2R.∴S扇＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴當(dāng)R＝5cm時，S扇有最大值25cm2.此時l＝20－2×5＝10(cm)，α＝eq\f(l,R)＝eq\f(10,5)＝2rad.∴當(dāng)α＝2rad時，扇形面積最大．弧長和扇形面積的計算方法(1)在弧度制下，記住下列公式①弧長公式：l＝|α|r；②扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角，r是扇形的半徑)．(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量．3.(多選)(2021·青島模擬)已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，下列說法正確的有()A．扇形的半徑可能為2B．扇形的半徑可能為1C．圓心角的弧度數(shù)可能是1D．圓心角的弧度數(shù)可能是2答案ABC解析設(shè)扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為α，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.4．(2021·黑龍江省實(shí)驗中學(xué)三模)密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四個數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫，密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如密位7寫成“0-07”，478密位寫成“4-78”.1周角等于6000密位，記作1周角＝60-00,1直角＝15-00.如果一個半徑為2的扇形，它的面積為eq\f(7π,5)，則其圓心角用密位制表示為()A．12-50 B．17-50C．21-00 D．35-00答案C解析設(shè)扇形所對的圓心角為α，則eq\f(1,2)α×22＝eq\f(7π,5)，解得α＝eq\f(7π,10)，由題意可知，其密位大小為6000×eq\f(\f(7π,10),2π)＝2100，故其圓心角用密位制表示為21-00.故選C．多角度探究突破考向三三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用角度利用定義求三角函數(shù)的值例3(1)函數(shù)y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P，且角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P，則sinα＋cosα的值為()A．eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(3\r(5),5)答案D解析因為函數(shù)y＝loga(x－3)＋2的圖象過定點(diǎn)P(4,2)，且角α的終邊過點(diǎn)P，所以x＝4，y＝2，r＝2eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3\r(5),5).故選D.(2)若角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．解設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(－4a,3a)，a≠0，當(dāng)a>0時，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；當(dāng)a<0時，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).角度判斷三角函數(shù)值的符號例4(1)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2cos3tan4＜0.故選A．(2)(2020·全國Ⅱ卷)若α為第四象限角，則()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0答案D解析當(dāng)α＝－eq\f(π,3)時，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0，A錯誤；當(dāng)α＝－eq\f(π,6)時，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＞0，B錯誤；由α為第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，則sin2α＝2sinαcosα＜0，C錯誤，D正確．故選D.角度利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)例5(1)(2021·重慶市模擬)角α終邊上有一點(diǎn)P(m,2)，則“cosα＝－eq\f(1,3)”是“m＝－eq\f(\r(2),2)”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析角α終邊上有一點(diǎn)P(m,2)，cosα＝eq\f(m,\r(m2＋22))＝－eq\f(1,3)<0，解得m＝－eq\f(\r(2),2)，所以“cosα＝－eq\f(1,3)”是“m＝－eq\f(\r(2),2)”的充要條件．故選C．(2)(2022·山東泰安高三月考)已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.答案－eq\f(\r(6),4)eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點(diǎn))，即r＝eq\r(3＋m2)，所以sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，所以r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).當(dāng)m＝eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).1．用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解．2．要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在的象限，那就要進(jìn)行分類討論求解．5.已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因為點(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))所以角α的終邊在第二象限．6．若角α的終邊過點(diǎn)P(2sin30°，－2cos30°)，則sinα的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)答案C解析∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－eq\r(3)，∴r＝|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝2，∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(\r(3),2).故選C．7．(2021·中衛(wèi)三模)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(eq\r(2)，a)，若θ＝－eq\f(π,3)，則a＝()A．eq\r(6) B．eq\f(\r(6),3)C．－eq\r(6) D．－eq\f(\r(6),3)答案C解析由已知得tanθ＝eq\f(a,\r(2))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，所以eq\f(a,\r(2))＝－eq\r(3)，所以a＝－eq\r(6).一、單項選擇題1．(2021·江西紅色七校聯(lián)考)“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)θ為第一或第四象限角時，cosθ>0，當(dāng)θ＝2kπ(k∈Z)時，cosθ＝1>0，所以“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要條件．故選A．2.(2022·江蘇常州模擬)如圖，兩個互相嚙合的齒輪，大輪有64齒，小輪有24齒．當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時，小輪轉(zhuǎn)動的角度為()A．eq\f(8π,3) B．eq\f(10π,3)C．eq\f(14π,3) D．eq\f(16π,3)答案D解析因為大輪有64齒，小輪有24齒，所以當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時，小輪轉(zhuǎn)動的角度為2π×eq\f(64,24)＝eq\f(16π,3)，故選D.3．(2022·遼寧大連月考)若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(3π,4)，k∈Z))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))答案D解析由圖知，角α的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2nπ＋\f(3π,4)，n∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2nπ－\f(π,4)，n∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2n＋1π－\f(π,4)，n∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2nπ－\f(π,4)，n∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)).4．(2022·山東威海月考)已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(11π,6) D．eq\f(5π,3)答案C解析因為點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(11π,6).5．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長是()A．2 B．2sin1C．eq\f(2,sin1) D．sin2答案C解析∵2Rsin1＝2，∴R＝eq\f(1,sin1)，l＝|α|R＝eq\f(2,sin1).故選C．6．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)答案B解析因為r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m>0，eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，因此m＝eq\f(1,2).7．(2021·遼寧鐵嶺六校高三模擬)已知θ是第四象限角，則sin(sinθ)()A．大于0 B．大于等于0C．小于0 D．小于等于0答案C解析∵θ是第四象限角，∴sinθ∈(－1,0)．令sinθ＝α，當(dāng)－1<α<0時，sinα<0.故sin(sinθ)<0.故選C．8．(2021·畢節(jié)市模擬)中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀．從半徑為R的圓面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為eq\f(\r(5)－1,2)，再從扇形OAB中剪下扇環(huán)形ABDC制作扇面，使扇環(huán)形ABDC的面積與扇形OAB的面積比值為eq\f(\r(5)－1,2).則一個按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品(如圖)的面積與圓面積的比值為()A．eq\f(\r(5)－1,2) B．eq\f(\r(5)－1,4)C．eq\f(3－\r(5),2) D．eq\r(5)－2答案D解析設(shè)扇形OAB的圓心角為α，由題意可得eq\f(2π－αR,2πR)＝eq\f(\r(5)－1,2)，解得α＝(3－eq\r(5))π，所以扇形OAB的面積為eq\f(1,2)αR2＝eq\f(3－\r(5)π,2)R2.則一個按題中方法制作的扇環(huán)形裝飾品(如題圖)的面積與圓面積的比值為eq\f(\f(\r(5)－1,2)·\f(3－\r(5)π,2)R2,πR2)＝eq\r(5)－2.故選D.二、多項選擇題9．(2021·海南調(diào)研)已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)的終邊所在的象限可能是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案BD解析∵α為第三象限角，∴π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k＝2m，m∈Z時，eq\f(π,2)＋2mπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)＋2mπ，m∈Z，此時eq\f(α,2)在第二象限，當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時，eq\f(3π,2)＋2mπ<eq\f(α,2)<eq\f(7π,4)＋2mπ，m∈Z，此時eq\f(α,2)在第四象限．綜上，eq\f(α,2)的終邊在第二或第四象限．10．(2021·泰安模擬)已知x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)，k∈Z))，則函數(shù)y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)的值可能為()A．3 B．－3C．1 D．－1答案BC解析x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)，k∈Z))，當(dāng)x在第一象限時，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝1＋1－1＝1；當(dāng)x在第二象限時，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝1－1＋1＝1；當(dāng)x在第三象限時，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝－1－1－1＝－3；當(dāng)x在第四象限時，y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)－eq\f(tanx,|tanx|)＝－1＋1＋1＝1.故選BC．11．(2021·濰坊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1，m)(m>0)，則下列各式的值一定為負(fù)的是()A．sinα＋cosα B．sinα－cosαC．sinαcosα D．eq\f(sinα,tanα)答案CD解析由已知得r＝|OP|＝eq\r(m2＋1)，則sinα＝eq\f(m,\r(m2＋1))>0，cosα＝－eq\f(1,\r(m2＋1))<0，tanα＝－m<0，∴sinα＋cosα的符號不確定，sinα－cosα>0，sinαcosα<0，eq\f(sinα,tanα)＝cosα<0.故選CD.12．(2021·山東菏澤模擬)已知點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，則x的區(qū)間可能是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4)))答案BD解析由已知，點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－eq\f(3π,4)＋2kπ<x<eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.當(dāng)k＝0時，x所在的一個區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))；當(dāng)k＝1時，x所在的一個區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))).三、填空題13．已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))解析∵在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，∴所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)).14.如圖所示，角的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓)交于第二象限的點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(3,5)))，則cosα－sinα＝________.答案－eq\f(7,5)解析由題意得cos2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1，cos2α＝eq\f(16,25).又cosα<0，所以cosα＝－eq\f(4,5)，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).15．(2022·廣東肇慶質(zhì)檢)給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；③若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；④若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的序號是________.答案②解析舉反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯誤；②正確；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的終邊不相同，故③錯誤；當(dāng)θ＝π時，cosθ＝－1<0，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故④錯誤．綜上可