《平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)》課件

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)by課程概述隨機(jī)信號(hào)處理本課程將介紹隨機(jī)信號(hào)處理的基本概念和方法，重點(diǎn)介紹平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的定義、性質(zhì)、分析和應(yīng)用。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)我們將深入研究平穩(wěn)過(guò)程的定義、分類、統(tǒng)計(jì)特性以及自相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)等關(guān)鍵概念。實(shí)踐應(yīng)用課程內(nèi)容將結(jié)合實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，例如通信系統(tǒng)、金融市場(chǎng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等，幫助學(xué)生理解平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。隨機(jī)信號(hào)的概念不確定性隨機(jī)信號(hào)的取值無(wú)法事先確定，在任何時(shí)刻，信號(hào)的取值都具有隨機(jī)性。統(tǒng)計(jì)規(guī)律盡管隨機(jī)信號(hào)的取值不確定，但其統(tǒng)計(jì)特性是可以描述的，比如平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。時(shí)間依賴性隨機(jī)信號(hào)的取值通常是時(shí)間相關(guān)的，不同時(shí)刻的信號(hào)取值可能存在相關(guān)性。平穩(wěn)過(guò)程的定義時(shí)間不變性平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化。換句話說(shuō)，無(wú)論何時(shí)觀察過(guò)程，其均值、方差和自相關(guān)函數(shù)都保持不變。統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性完全由其均值和自相關(guān)函數(shù)決定。數(shù)學(xué)定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)稱為平穩(wěn)的，如果對(duì)于任意時(shí)間t和時(shí)間偏移量τ，X(t)和X(t+τ)的聯(lián)合概率分布保持不變。平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)統(tǒng)計(jì)特性不變平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不會(huì)隨著時(shí)間的推移而改變。預(yù)測(cè)性平穩(wěn)過(guò)程的未來(lái)值可以根據(jù)過(guò)去的值進(jìn)行預(yù)測(cè)。平穩(wěn)過(guò)程的分類嚴(yán)格平穩(wěn)任意時(shí)刻的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間推移而改變廣義平穩(wěn)一階和二階矩不隨時(shí)間推移而改變第二階矩描述信號(hào)在不同時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)表達(dá)式E[X(t)X(t+τ)]用途描述信號(hào)的功率和相關(guān)性自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)反映了隨機(jī)信號(hào)自身在不同時(shí)間點(diǎn)的相關(guān)性。譜密度函數(shù)1頻率分布描述信號(hào)能量在不同頻率上的分布2能量譜用于分析信號(hào)的頻率成分3功率譜用于分析信號(hào)的功率成分帕薩瓦爾定理能量守恒帕薩瓦爾定理表明信號(hào)的能量在時(shí)域和頻域中是相等的。頻譜分析該定理在頻譜分析中具有重要作用，可以將信號(hào)能量分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)。信號(hào)處理帕薩瓦爾定理廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理，如濾波、壓縮和通信系統(tǒng)。功率譜密度的性質(zhì)1非負(fù)性功率譜密度函數(shù)始終為非負(fù)值。2對(duì)稱性對(duì)于實(shí)值平穩(wěn)過(guò)程，功率譜密度函數(shù)關(guān)于頻率軸對(duì)稱。3積分性質(zhì)功率譜密度函數(shù)的積分等于信號(hào)的平均功率。滿足平穩(wěn)性的信號(hào)生成1隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列2濾波對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行濾波3平穩(wěn)性檢驗(yàn)驗(yàn)證信號(hào)是否平穩(wěn)白噪聲定義在任何頻率上都有相同功率的隨機(jī)信號(hào)。特征自相關(guān)函數(shù)為狄拉克函數(shù)，功率譜密度為常數(shù)。應(yīng)用通信系統(tǒng)、噪聲測(cè)試、語(yǔ)音識(shí)別等領(lǐng)域。高斯白噪聲概率分布高斯白噪聲的幅度服從高斯分布。時(shí)間特性高斯白噪聲在時(shí)間上是隨機(jī)的，無(wú)規(guī)律可循。頻譜特性高斯白噪聲在整個(gè)頻率范圍內(nèi)具有平坦的功率譜密度。平穩(wěn)過(guò)程的功率譜估計(jì)1周期圖法2相關(guān)圖法3自回歸功率譜估計(jì)周期圖法1數(shù)據(jù)采集首先，從信號(hào)中采集一定長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)。2傅里葉變換對(duì)采集到的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，得到信號(hào)的頻譜。3功率譜估計(jì)通過(guò)頻譜的平方來(lái)估計(jì)信號(hào)的功率譜密度。相關(guān)圖法計(jì)算自相關(guān)函數(shù)通過(guò)計(jì)算信號(hào)樣本的自相關(guān)函數(shù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。繪制相關(guān)圖將自相關(guān)函數(shù)的值繪制成相關(guān)圖，以觀察信號(hào)的自相關(guān)性。分析相關(guān)圖根據(jù)相關(guān)圖的形狀和特性，推斷信號(hào)的平穩(wěn)性、周期性等信息。自回歸功率譜估計(jì)1模型參數(shù)估計(jì)AR模型的參數(shù)2功率譜估計(jì)根據(jù)參數(shù)估計(jì)功率譜3自回歸模型使用自回歸模型擬合信號(hào)馬氏過(guò)程定義馬氏過(guò)程是一種隨機(jī)過(guò)程，其未來(lái)的狀態(tài)僅取決于當(dāng)前狀態(tài)，而與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，給定現(xiàn)在，過(guò)去與未來(lái)是獨(dú)立的。應(yīng)用馬氏過(guò)程廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，包括金融建模、信號(hào)處理、圖像分析和機(jī)器學(xué)習(xí)。自回歸模型通過(guò)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)。建模時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)演變。用于預(yù)測(cè)和分析趨勢(shì)。平穩(wěn)性檢驗(yàn)1自相關(guān)函數(shù)(ACF)觀察自相關(guān)函數(shù)的衰減速度和趨勢(shì)，判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)。2偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)偏自相關(guān)函數(shù)可以揭示時(shí)間序列中不同滯后之間的關(guān)系，并幫助判斷自回歸模型的階數(shù)。3單位根檢驗(yàn)檢驗(yàn)時(shí)間序列是否具有單位根，這是平穩(wěn)性的一個(gè)重要條件。單位根檢驗(yàn)1時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)時(shí)間序列是否具有平穩(wěn)性2單位根時(shí)間序列中存在單位根，表明序列非平穩(wěn)3檢驗(yàn)方法ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)時(shí)間序列分析數(shù)據(jù)分析時(shí)間序列分析是研究隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，試圖發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律和趨勢(shì)。預(yù)測(cè)未來(lái)利用時(shí)間序列分析的結(jié)果，可以預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)走向，為決策提供參考。模型構(gòu)建構(gòu)建合適的模型來(lái)描述時(shí)間序列數(shù)據(jù)，并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)。ARIMA模型自回歸移動(dòng)平均模型ARIMA模型是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，用于分析和預(yù)測(cè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)。模型參數(shù)ARIMA模型包含三個(gè)參數(shù)：自回歸階數(shù)(p)、差分階數(shù)(d)和移動(dòng)平均階數(shù)(q)。預(yù)測(cè)能力通過(guò)估計(jì)模型參數(shù)，ARIMA模型可以對(duì)未來(lái)時(shí)間點(diǎn)的序列值進(jìn)行預(yù)測(cè)。差分與季節(jié)調(diào)整1差分消除趨勢(shì)和周期性2季節(jié)調(diào)整去除季節(jié)性影響3平穩(wěn)化使時(shí)間序列平穩(wěn)自回歸濾波器概念自回歸濾波器是一種基于過(guò)去數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)值的線性濾波器。應(yīng)用它廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、時(shí)間序列分析和控制系統(tǒng)。優(yōu)勢(shì)自回歸濾波器能夠有效地去除噪聲并預(yù)測(cè)信號(hào)的未來(lái)趨勢(shì)。維納濾波器最小均方誤差維納濾波器通過(guò)最小化輸入信號(hào)與濾波輸出信號(hào)之間的均方誤差來(lái)估計(jì)信號(hào)。濾波器設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)基于信號(hào)和噪聲的自相關(guān)函數(shù)，以優(yōu)化信號(hào)恢復(fù)。應(yīng)用領(lǐng)域維納濾波器廣泛應(yīng)用于圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、金融預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。卡爾曼濾波器狀態(tài)估計(jì)卡爾曼濾波器通過(guò)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)系統(tǒng)的行為，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。最優(yōu)估計(jì)它利用當(dāng)前測(cè)量值和先前狀態(tài)估計(jì)值，計(jì)算出最有可能的狀態(tài)，從而提供更準(zhǔn)確的信息。應(yīng)用廣泛卡爾曼濾波器廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航、目標(biāo)跟蹤、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。小結(jié)與總結(jié)課程內(nèi)容我們深入了解了平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的概念，并探討了它