成考一學(xué)期高等數(shù)學(xué)試卷

成考一學(xué)期高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(x)

2.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.f'(a)存在

B.f(a)存在

C.f'(a)=0

D.f(x)在x=a處連續(xù)

3.下列極限中，計(jì)算結(jié)果為0的是（）

A.lim(x→0)x^2

B.lim(x→0)x

C.lim(x→0)x^3

D.lim(x→0)1/x

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上的最大值和最小值一定存在（）

A.錯(cuò)誤

B.正確

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2，則f'(x)=（）

A.2x

B.-2x

C.2x^2

D.-2x^2

6.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則f'(a)等于（）

A.f(a)的值

B.f(a)的導(dǎo)數(shù)

C.f(a)的極限

D.f(a)的變率

7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)數(shù)（）

A.一定為正

B.一定為負(fù)

C.可能為正，也可能為負(fù)

D.不一定存在

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f'(1)=（）

A.-2

B.0

C.2

D.無(wú)解

9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)（）

A.一定存在

B.一定不存在

C.可能為存在，也可能為不存在

D.不一定存在

10.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3，則f(x)的斜率k等于（）

A.2

B.3

C.5

D.-2

二、判斷題

1.若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它們的乘積在該點(diǎn)也可導(dǎo)。（）

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在該區(qū)間上一定連續(xù)。（）

3.函數(shù)f(x)=x^2在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于2。（）

4.極限lim(x→∞)x^n存在當(dāng)且僅當(dāng)n>0。（）

5.在微積分中，導(dǎo)數(shù)和積分是互逆的運(yùn)算。（）

三、填空題

1.設(shè)函數(shù)f(x)=3x^2-4x+1，則f'(x)=_______。

2.若lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=4，則x-2在x=2處的符號(hào)為_(kāi)______。

3.函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)f'(x)=_______。

4.若f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為2，則f(x)在x=0處的切線方程為_(kāi)______。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的極值點(diǎn)為_(kāi)______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在的條件。

2.解釋什么是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并給出一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明。

3.如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)是否存在極值點(diǎn)？請(qǐng)給出判斷方法。

4.簡(jiǎn)述定積分的概念及其與原函數(shù)和反常積分的關(guān)系。

5.解釋泰勒級(jí)數(shù)的概念，并說(shuō)明泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算極限：lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)值。

3.計(jì)算定積分：∫(0toπ)sin(x)dx。

4.求函數(shù)f(x)=e^(-x^2)在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[0,4]上的定積分。

六、案例分析題

1.案例背景：

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=200x+5000，其中x為生產(chǎn)的數(shù)量。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，銷售價(jià)格為P(x)=300-0.5x，其中x為銷售的數(shù)量。求：

（1）該公司的總收入函數(shù)R(x)；

（2）該公司利潤(rùn)函數(shù)L(x)；

（3）為了最大化利潤(rùn)，公司應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品？

2.案例背景：

某城市計(jì)劃在市中心修建一座購(gòu)物中心，預(yù)計(jì)總投資為1.2億元。根據(jù)初步估算，購(gòu)物中心每年產(chǎn)生的收入為5000萬(wàn)元，運(yùn)營(yíng)成本（包括維護(hù)、人力等）為2000萬(wàn)元。假設(shè)投資回報(bào)期（即投資回收期）為n年，求：

（1）投資回報(bào)期n的表達(dá)式；

（2）若希望投資回報(bào)期為5年，需要將每年的收入和成本調(diào)整為多少才能實(shí)現(xiàn)？

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的平均變化率。

2.應(yīng)用題：

一個(gè)物體以初速度v0=10m/s沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=2m/s^2。求：

（1）物體運(yùn)動(dòng)5秒后的速度；

（2）物體在10秒內(nèi)所經(jīng)過(guò)的位移。

3.應(yīng)用題：

某商品的價(jià)格P（元/千克）與銷售量Q（千克）之間的關(guān)系為P=50-0.1Q。假設(shè)生產(chǎn)成本為每千克C=20元，求：

（1）該商品的銷售收入函數(shù)S(Q)；

（2）銷售量Q為多少時(shí)，銷售收入達(dá)到最大？

4.應(yīng)用題：

一個(gè)物體從靜止開(kāi)始沿著光滑斜面下滑，斜面的傾角為θ，重力加速度為g。求：

（1）物體下滑距離s與時(shí)間t的關(guān)系；

（2）物體下滑到斜面底部所需的時(shí)間。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.B

2.B

3.A

4.B

5.A

6.B

7.A

8.C

9.C

10.A

二、判斷題答案：

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空題答案：

1.6x-4

2.正

3.e^(-x^2)

4.y=2x+1

5.x=1或x=3

四、簡(jiǎn)答題答案：

1.連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在的條件包括：函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，且在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)相等。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，具體例子：函數(shù)f(x)=x^2在x=1處的切線斜率為2，即切線與x軸的夾角為45度。

3.判斷函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)是否存在極值點(diǎn)的方法有：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的駐點(diǎn)，再判斷駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，若符號(hào)相反，則該駐點(diǎn)為極值點(diǎn)。

4.定積分的概念是指將一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上的積分值表示為該函數(shù)在該區(qū)間上所有子區(qū)間上積分的和。定積分與原函數(shù)和反常積分的關(guān)系是：定積分可以看作是反常積分的一種特殊情況。

5.泰勒級(jí)數(shù)的概念是將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的值表示為該點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)值與相應(yīng)階數(shù)的冪次項(xiàng)的乘積之和。泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用包括：計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的值、求極限、求解微分方程等。

五、計(jì)算題答案：

1.-1/6

2.-4

3.1

4.最大值在x=2處，最小值在x=1處

5.15

六、案例分析題答案：

1.（1）R(x)=(50-0.5x)x=50x-0.5x^2

（2）L(x)=R(x)-C(x)=50x-0.5x^2-(200x+5000)=-0.5x^2-150x-5000

（3）為了最大化利潤(rùn)，公司應(yīng)生產(chǎn)x使得L'(x)=0，即-1x-150=0，解得x=150。

2.（1）投資回報(bào)期n=總投資/每年凈收入=1.2億/(5000萬(wàn)-2000萬(wàn))=6年

七、應(yīng)用題答案：

1.平均變化率=(f(3)-f(1))/(3-1)=(0-0)/2=0

2.（1）物體運(yùn)動(dòng)5秒后的速度v=v0+at=10+2*5=20m/s

（2）物體在10秒內(nèi)所經(jīng)過(guò)的位移s=v0t+(1/2)at^2=10*10+(1/2)*2*10^2=150m

3.（1）S(Q)=P*Q=(50-0.1Q)*Q=50Q-0.1Q^2