2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí) 第十三講 數(shù)列（四大考向） 專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十三講-數(shù)列（四大考向）-專項(xiàng)訓(xùn)練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對數(shù)列的考查，重點(diǎn)是（1）數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考杳如數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等；（2）構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和如“歸納、累加、累乘，分組、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新；（3）綜合性問題如與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)的交匯問題，與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題及與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)不良問題。等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算2024·新高考Ⅱ卷，122023·新高考Ⅰ卷，202022·新高考Ⅱ卷，17等比數(shù)列的證明、數(shù)列結(jié)合解析幾何2024·新高考Ⅱ卷，19累乘法求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和2022·新高考Ⅰ卷，17含奇偶項(xiàng)的分組求和2023·新高考Ⅱ卷，18二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新定義問題，后續(xù)專題會(huì)介紹。Ⅱ卷考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，體現(xiàn)在填空第一題中，難度較易。大題中考查了等比數(shù)列的證明，但是是結(jié)合雙曲線考查的，難度較難。數(shù)列問題特別突出對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出對考生數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng)，又通過通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練，培養(yǎng)考生邏輯恩維、運(yùn)算求解能力。從近三年的高考題可以看出，數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)鍛煉考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等。重點(diǎn)考查考生對數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)用，同時(shí)也要重視對通性通法的培養(yǎng)，所以在備考中應(yīng)把重點(diǎn)放在以下幾個(gè)方面。（1)對數(shù)列的概念及表示法的理解和應(yīng)用；（2）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式中基本量的運(yùn)算或者利用它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu)，深人剖析其特征，利用其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題；（3）會(huì)利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題；（4）通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（5）數(shù)列與不等式、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的交匯問題；（6）關(guān)注數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，有意識(shí)地培養(yǎng)考生的閱讀能力和符號使用能力，也包括網(wǎng)絡(luò)資料中與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題，與實(shí)際生活相關(guān)的數(shù)列的應(yīng)用問題；（7）結(jié)構(gòu)不良試題、舉例問題等創(chuàng)新題型。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查數(shù)列基本量的計(jì)算和數(shù)列與其他知識(shí)交匯的問題，例如數(shù)列和不等式等。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅱ卷·19）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；高考真題練一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·12）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.二、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·17）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．2．（2023新高考Ⅰ卷·20）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．3．（2022新高考Ⅱ卷·17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．4．（2023新高考Ⅱ卷·18）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2、等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．三、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．1、通項(xiàng)公式的推廣：．2、在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．特別地，若，則．3、，…仍是等差數(shù)列，公差為．4、，…也成等差數(shù)列，公差為．5、若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．6、若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．7、若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．8、若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．9、在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．五、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．六、其他衍生等差數(shù)列．1、若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．七、等比數(shù)列的有關(guān)概念1、定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．2、等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．八、等比數(shù)列的有關(guān)公式1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．推廣形式：2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為九、等比數(shù)列的性質(zhì)1、等比中項(xiàng)的推廣若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．2、①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．3、等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．4、其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．十、求數(shù)列的通項(xiàng)公式1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．2、公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．4、累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．5、構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得十一、數(shù)列求和1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④2、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（4）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【數(shù)列常用結(jié)論】1、數(shù)列的遞推公式（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則2、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列中，若，則．（2）等差數(shù)列中，若，則．（3）等差數(shù)列中，若，則．（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，則．3、等比數(shù)列（1）若，則．（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時(shí)，是成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間項(xiàng)的平方．（8）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．4、數(shù)列求和（1）裂項(xiàng)技巧①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）名校模擬練一、單選題1．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．163．（2024·天津北辰·三模）已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．60 B．54 C．42 D．364．（2024·新疆喀什·三模）已知等差數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A．18 B．24 C．27 D．455．（2024·陜西西安·三模）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．186．（2024·廣東汕頭·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．117．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．9．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個(gè)球；第2堆有2層4個(gè)球，其中第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球；…；第n堆有n層共個(gè)球，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，…．已知，則（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．287010．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題12．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除13．（2024·湖南益陽·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說法正確的有（

）A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若，且，，則時(shí)取最小值14．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則15．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項(xiàng)為三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.17．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則18．（2024·湖南邵陽·三模）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則.19．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時(shí)，.20．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.21．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.22．（2024·四川·三模）在數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和．23．（2024·浙江紹興·三模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則；．四、解答題24．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．25．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．26．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．27．（2024·新疆·三模）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值組成的新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個(gè)二階等比數(shù)列，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.28．（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.29．（2024·湖南長沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.30．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．31．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．32．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列，的所有項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在的前面；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，放在的前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列：，，，，，，，…，求數(shù)列的前7項(xiàng)和及前項(xiàng)和；(3)是否存在數(shù)列，滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，若不存在，請說明理由．33．（2024·黑龍江·三模）如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?②若，且，求的最小值參考答案與詳細(xì)解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對數(shù)列的考查，重點(diǎn)是（1）數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考杳如數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等；（2）構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和如“歸納、累加、累乘，分組、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新；（3）綜合性問題如與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)的交匯問題，與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題及與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)不良問題。等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算2024·新高考Ⅱ卷，122023·新高考Ⅰ卷，202022·新高考Ⅱ卷，17等比數(shù)列的證明、數(shù)列結(jié)合解析幾何2024·新高考Ⅱ卷，19累乘法求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和2022·新高考Ⅰ卷，17含奇偶項(xiàng)的分組求和2023·新高考Ⅱ卷，18二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新定義問題，后續(xù)專題會(huì)介紹。Ⅱ卷考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，體現(xiàn)在填空第一題中，難度較易。大題中考查了等比數(shù)列的證明，但是是結(jié)合雙曲線考查的，難度較難。數(shù)列問題特別突出對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出對考生數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng)，又通過通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練，培養(yǎng)考生邏輯恩維、運(yùn)算求解能力。從近三年的高考題可以看出，數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)鍛煉考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等。重點(diǎn)考查考生對數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)用，同時(shí)也要重視對通性通法的培養(yǎng)，所以在備考中應(yīng)把重點(diǎn)放在以下幾個(gè)方面。（1)對數(shù)列的概念及表示法的理解和應(yīng)用；（2）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式中基本量的運(yùn)算或者利用它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu)，深人剖析其特征，利用其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題；（3）會(huì)利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題；（4）通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（5）數(shù)列與不等式、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的交匯問題；（6）關(guān)注數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，有意識(shí)地培養(yǎng)考生的閱讀能力和符號使用能力，也包括網(wǎng)絡(luò)資料中與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題，與實(shí)際生活相關(guān)的數(shù)列的應(yīng)用問題；（7）結(jié)構(gòu)不良試題、舉例問題等創(chuàng)新題型。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查數(shù)列基本量的計(jì)算和數(shù)列與其他知識(shí)交匯的問題，例如數(shù)列和不等式等。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅱ卷·19）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時(shí)，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.高考真題練一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·12）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.二、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·17）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴2．（2023新高考Ⅰ卷·20）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.3．（2022新高考Ⅱ卷·17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．4．（2023新高考Ⅱ卷·18）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2、等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．三、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．1、通項(xiàng)公式的推廣：．2、在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．特別地，若，則．3、，…仍是等差數(shù)列，公差為．4、，…也成等差數(shù)列，公差為．5、若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．6、若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．7、若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．8、若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．9、在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．五、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．六、其他衍生等差數(shù)列．1、若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．七、等比數(shù)列的有關(guān)概念1、定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．2、等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．八、等比數(shù)列的有關(guān)公式1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．推廣形式：2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為九、等比數(shù)列的性質(zhì)1、等比中項(xiàng)的推廣若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．2、①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．3、等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．4、其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．十、求數(shù)列的通項(xiàng)公式1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．2、公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．4、累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．5、構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得十一、數(shù)列求和1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④2、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（4）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【數(shù)列常用結(jié)論】1、數(shù)列的遞推公式（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則2、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列中，若，則．（2）等差數(shù)列中，若，則．（3）等差數(shù)列中，若，則．（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，則．3、等比數(shù)列（1）若，則．（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時(shí)，是成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間項(xiàng)的平方．（8）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．4、數(shù)列求和（1）裂項(xiàng)技巧①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）名校模擬練一、單選題1．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的定義得出；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，化簡即可解答.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡得，即，所以.故選：A.2．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故選：D．3．（2024·天津北辰·三模）已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．60 B．54 C．42 D．36【答案】C【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出，然后得出等差數(shù)列的，最后再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，所?故選：C4．（2024·新疆喀什·三模）已知等差數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A．18 B．24 C．27 D．45【答案】D【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得，即可由等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由可得，所以，故選：D5．（2024·陜西西安·三模）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得，，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，則，所以．故選：B.6．（2024·廣東汕頭·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，再結(jié)合前項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即得.【詳解】由，，得，解得，則等差數(shù)列的公差，于是，由，得，所以.故選：B7．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，分和兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，所以“”是“”的充要條件，故選：C．8．（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，可得數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可求出.【詳解】因?yàn)椋?，由于，則，所以，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D9．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個(gè)球；第2堆有2層4個(gè)球，其中第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球；…；第n堆有n層共個(gè)球，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，…．已知，則（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D【分析】由題意總結(jié)規(guī)律得，再利用累加法求得的通項(xiàng)公式，然后再進(jìn)分組求和，建立一個(gè)關(guān)于的方程，解方程可得.【詳解】在第堆中，從第2層起，第n層的球的個(gè)數(shù)比第層的球的個(gè)數(shù)多n，記第n層球的個(gè)數(shù)為，則，得，其中也適合上式，則，在第n堆中，，當(dāng)時(shí)，，解得.故選：D.10．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推關(guān)系，然后記，利用構(gòu)造法求得，然后分組求和可得.【詳解】因?yàn)椋?，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記的前n項(xiàng)和為，則.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于先分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推公式，然后再并項(xiàng)得的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項(xiàng)，將問題轉(zhuǎn)化為求的前50項(xiàng)和.11．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，推出，得到答案.【詳解】由題意得，故，故，故，由于，故.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：二、多選題12．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除【答案】BCD【分析】利用構(gòu)造法得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)，就可以判斷選項(xiàng)，對于數(shù)列求和，可以用分組求和法，等比數(shù)列公式求和完成，對于冪的整除性問題可以轉(zhuǎn)化為用二項(xiàng)式定理展開后，再加以證明.【詳解】由可得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即，則顯然有，所以不成等比數(shù)列，故選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；由數(shù)列是等比數(shù)列可得：，即，故選項(xiàng)B是正確的；由可得：前項(xiàng)和，故選項(xiàng)C是正確的；由，故選項(xiàng)D是正確的；方法二：由，1024除以3余數(shù)是1，所以除以3的余數(shù)還是1，從而可得能補(bǔ)3整除，故選項(xiàng)D是正確的；故選：BCD．13．（2024·湖南益陽·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說法正確的有（

）A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若，且，，則時(shí)取最小值【答案】ACD【分析】對于A，由題意易得，，可判斷結(jié)論；對于B，在時(shí)，通過取反例即可排除B；對于C，分析時(shí)數(shù)列的特征即可判斷；對于D，先求出的表示式，通過作商分析的大小關(guān)系即得.【詳解】對于A，設(shè)數(shù)列的公比為，由可得，，因，則得，解得或，因是正項(xiàng)數(shù)列，故，，故是單調(diào)遞增數(shù)列，即A正確；對于B，由上分析知，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，若為偶數(shù)，則都是0，故不符合，即B錯(cuò)誤；對于C，若，則是遞增數(shù)列，此時(shí)不存在，使對都成立；若時(shí)，易得，故存在，使得對都成立，此時(shí)為常數(shù)列，故是公差為0的等差數(shù)列，故C正確；對于D，因，，故由上分析知，則，由，當(dāng)時(shí)，，故，數(shù)列遞減，且；當(dāng)時(shí)，，故，數(shù)列遞增，且；則當(dāng)時(shí)，取最小值，故D正確.故選：ACD.14．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則【答案】BC【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)和為求出判斷B；由遞推公式探討數(shù)列的特性判斷C；求出判斷A；由求出，再利用裂求和法求解即得.【詳解】由，得，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由，得，，解得，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，于是，兩式相加得，整理得，因此數(shù)列是等差數(shù)列，C正確；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的公差為1，通項(xiàng)，，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC15．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項(xiàng)為【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時(shí)，；時(shí)，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故A錯(cuò)誤由，可得到，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差計(jì)算求出，再根據(jù)等比中項(xiàng)求出即可.【詳解】實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，則，由于等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)同號，所以，所以，則.故答案為：.17．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則【答案】105【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】等差數(shù)列中，，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．故答案為：．18．（2024·湖南邵陽·三模）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則.【答案】1012【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)可設(shè)，結(jié)合題意可得，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列與均為等差數(shù)列，可設(shè)，則，可知，即，則，則，解得，即，所以.故答案為：1012.19．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時(shí)，.【答案】6【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可求出，再由、、成等比數(shù)列，可求出，從而可求出，配方后可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，由、、成等比數(shù)列，得，解得，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.故答案為：620．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.【答案】255【分析】根據(jù)題意結(jié)合通項(xiàng)公式求，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，所以.故答案為：255.21．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.【答案】5【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，，，，成等比?shù)列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：22．（2024·四川·三模）在數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和．【答案】【分析】由，得到，利用累乘法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因此，故答案為?23．（2024·浙江紹興·三模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則；．【答案】22025【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.【詳解】根據(jù)題意令，可知，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正，即；解得；由可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；因此，所以.故答案為：2；2025.四、解答題24．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由裂項(xiàng)相消法求和，即可求解,根據(jù)單調(diào)性，即可求證.【詳解】（1）由得，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．25．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，有②，①②可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則有，即，解得，所以，所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且．26．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助與的關(guān)系可消去，得到，借助將其轉(zhuǎn)換為后結(jié)合等比數(shù)列定義即可得證；（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【詳解】（1），即，即，則，即，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.27．（2024·新疆·三模）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值組成的新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個(gè)二階等比數(shù)列，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用累乘法求出通項(xiàng)公式即可；（2）裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意得數(shù)列是等比數(shù)列，，，則，即，由累乘法得：，于是，故.（2）由（1）得，令，則，∴.28．（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可得的通項(xiàng)公式；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以；（2）由（1