初中數(shù)學圓知識點總結(jié)歸納

初中數(shù)學圓的知識點總結(jié)歸納

學校數(shù)學學問是需要總結(jié)和歸納的，不然學問就會零零散散，而圓

又是我們學習學校數(shù)學中重要的學問點，那你知道圓的學問點哪些嗎?

下面是我為大家整理的關(guān)于學校數(shù)學圓的學問點總結(jié)，盼望對您有所

關(guān)心！

學校數(shù)學圓學問點總結(jié)

一、圓及圓的相關(guān)量的定義

L平面上到定點的距離等于定長的全部點組成的圖形叫做圓。定點

稱為圓心，定長稱為半徑。

2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)

弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過

圓心的弦叫做直徑。

3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別

與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

4,過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角

形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓

心稱為內(nèi)心。

5.直線與圓有3種位置關(guān)系:無公共點為相離;有2個公共點為相交；

圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的

公共點叫做切點。

6.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外

離，在之內(nèi)叫內(nèi)含;有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在

之內(nèi)叫內(nèi)切;有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心

距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面綻

開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

二、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

L點P與圓0的位置關(guān)系（設(shè)P是一點，則P0是點到圓心的距離）：

P在。0夕卜，POr;P在。0上，PO=r;P在。0內(nèi),POrp=

2,圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中

心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

3,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且立分弦所對的弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

4.在同圓或等圓中，假如2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦

中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

7?不在同始終線上的3個點確定一個圓。

8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形

各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等;內(nèi)切圓的圓心

是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓0的位置關(guān)系（設(shè)OP_LAB于P,則P0是AB到圓心

的距離）：AB與O0相離,POr;AB與。0相切，PO=r;AB與B0相交,

POo

10.圓的切線垂直于過切點的直徑;經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這

條直徑的直線，是這個圓的切線。

11.圓與圓的位置關(guān)系(設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且R2r,圓心距

為P)：外離PR+r;外切P=R+r;相交R-r。

三、圓的方程

L圓的標準方程

在平面直角坐標系中，以點O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方

程是：(x-a)A2+(y-b)A2=rA2

2.圓的一般方程

把圓的標準方程綻開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是：

xA2+yA2+Dx+Ey+F=0

和標準方程對比，其實AA

D=-2a,E=-2b/F=a2+b20

相關(guān)學問:圓的離心率.在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

四、圓的定理

L垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧。

推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的

兩條??；

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的

另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

2.推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周

角所對的弧也相等。

3.推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90。的圓周角所對的弦

是直徑。

4.定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是

同心圓。

5.定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的

內(nèi)對角。

學校數(shù)學圓的學問點歸納總結(jié)

一、圓的定義。

1、以定點為圓心，定長為半徑的點組成的圖形。

2、在同一平面內(nèi)，到一個定點的距離都相等的點組成的圖形。

二、圓的各元素。

1、半徑：圓上一點與圓心的連線段。

2、直徑：連接圓上兩點有經(jīng)過圓心的線段。

3、弦：連接圓上兩點線段（直徑也是弦）。

4、?。簣A上兩點之間的曲線部分。半圓周也是弧。

（1）劣?。盒∮诎雸A周的弧。

⑵優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。

5、圓心角：以圓心為頂點，半徑為角的邊。

6、圓周角：頂點在圓周上，圓周角的兩邊是弦。

7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長。

三、圓的基本性質(zhì)。

1、圓的對稱性。

(1)圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑所在的直線。

(2)圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。

(3)圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

2、垂徑定理。

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧。

⑵推論：

平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦且平分弦所對的兩條弧。

平分弧的直徑，垂直平分弧所對的弦。

3、圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對

弧度數(shù)的一半。

(1)同弧所對的圓周角相等。

(2)直徑所對的圓周角是直角;圓周角為直角，它所對的弦是直徑。

4、在同圓或等圓中，兩條弦、兩條弧、兩個圓周角、兩個圓心角、

兩條弦心距五對量中只要有一對量相等，其余四對量也分別相等。

5、夾在平行線間的兩條弧相等。

6、設(shè)。。的半徑為「，OP=do

7、(1)過兩點的圓的圓心肯定在兩點間連線段的中垂線上。

(2)不在同始終線上的三點確定一個圓，圓心是三邊中垂線的交點,

它到三個點的距離相等。

(直角三角形的外心就是斜邊的中點。)

8、直線與圓的位置關(guān)系。d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半

徑。

直線與圓有兩個交點，直線與圓相交;直線與圓只有一個交點，直

線與圓相切；

直線與圓沒有交點，直線與圓相離。

9、平面直角坐標系中，A(xl,yl)、B(x2,y2)。

則AB=(xl+x2zyl+y2)

10、圓的切線判定。

(l)d=r時，直線是圓的切線。

切點不明確：畫垂直，證半徑。

(2)經(jīng)過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線。

切點明確：連半徑，證垂直。

11、圓的切線的性質(zhì)(補充)。

⑴經(jīng)過切點的直徑肯定垂直于切線。

(2)經(jīng)過切點并且垂直于這條切線的直線肯定經(jīng)過圓心。

12、切線長定理。

(1)切線長：從圓外一點引圓的兩條切線，切點與這點之間連線段的

長叫這個點到圓的切線長。

(2)切線長定理。

*/PA、PB切。0于點A、B

PA=PB,Z1=Z2o

13、內(nèi)切圓及有關(guān)計算。

(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離

相等。

(2)如圖，△ABC中，AB=5,BC=6,AC=7,OO切^ABC三邊于點D、

E、Fo

求：AD、BE、CF的長。

分析：設(shè)AD=x,貝ijAD二AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.

可得方程：5-x+7-x=6,解得x=3

(3)AABC中,ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=Co

求內(nèi)切圓的半徑r。

分析：先證得正方形ODCE,

得CD=CE=r

AD=AF=b-r,BE=BF=a-r

b-r+a-r=c

得r=(b+a-c)/2

(4)SAABC=abc/4r

14、(補充)

(1)弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓

的弦。

如圖，BC切。0于點B,AB為弦，NABC叫弦切角，NABCtND。

⑵相交弦定理。

圓的兩條弦AB與CD相交于點P,則PAPB二PCPD。

⑶切割線定理。

如圖，PA切。。于點A,PBC是。0的割線，則PA2=PBPC。

⑷推論：如圖，PAB、PCD是。0的割線，則PAPB二PCPD。

15、圓與圓的位置關(guān)系。

⑴外離:drl+r2,交點有。個；

外切：d=rl+r2,交點有1個;

相交：rl-r2

內(nèi)切：d=rl-r2,交點有1個;

內(nèi)含：

⑵性質(zhì)。

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。

相切兩圓的連心線必經(jīng)過切點。

16、圓中有關(guān)量的計算。

⑴弧長有L表示，圓心角用n表示，圓的半徑用R表示。

L=n（圓心角）xn（圓周率）xr伴徑）/180

⑵扇形的面積用S表示。

S=lr/2

⑶圓錐的側(cè)面綻開圖是扇形。

r為底面圓的半徑，a為母線長。

扇形的圓心角a=l/r

SftJ=arS全=ar+r2

圓的學問點總結(jié)

L不在同始終線上的三點確定一個圓。

2.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的

另一條弧

推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

4,圓是定點的距離等于定長的點的集合

5.圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

6.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

7,同圓或等圓的半徑相等

8.到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半

徑的圓

9.定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等

10.推論在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等。

11定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它

的內(nèi)對角

12.①直線L和相交d

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離dr

13.切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

是圓的切線

14.切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

15.推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

16.推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

17.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等,

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

18.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等外角等于內(nèi)對角

19.假如兩個圓相切，那么切點肯定在連心線上

20.①兩圓外離dR+r②兩圓外切d=R+r

③.兩圓相交R-rr)

④.兩圓內(nèi)切d二R-r(Rr)⑤兩圓內(nèi)含dr)

21.定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

22.定理把圓分成n(nN3):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這

個圓的外切正n邊形

23.定理任何正多邊形都有