2025年上海青浦區(qū)高三一模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間120分鐘，滿分150分）2024.12學(xué)生注意:1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.2．已知集合，則.3．不等式的解集為．4．已知直線與直線平行，則.5．兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為.6．已知數(shù)列滿足，則.7．在中，已知，若，則的面積為.8．已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長相等.若圓柱和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為.9．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.10．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則滿足條件的函數(shù)最多有個(gè).11．若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增，則實(shí)數(shù)取值范圍是12．已知是單位圓上任意不同三點(diǎn)，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．已知且滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）.A． B．C． D．14．若點(diǎn)關(guān)于xOy的對(duì)稱點(diǎn)為A，關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱是（

）．A．關(guān)于xOz平面對(duì)稱 B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱 D．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱15．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于函數(shù)在R上的零點(diǎn)的說法正確的是（

）.A．有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上B．有4個(gè)零點(diǎn)，其中兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，另外兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上C．有5個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)正零點(diǎn)中一個(gè)在區(qū)間上，一個(gè)在區(qū)間上D．有5個(gè)零點(diǎn)，都不在上16．對(duì)于數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，給出下列兩個(gè)命題:①存在函數(shù)，使得;②存在函數(shù)，使得.則①是②的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的17．已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若，且，求的值.18．如圖，在三棱錐中，平面平面、分別為線段、上的點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)求證：平面；19．第七屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會(huì)上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表:（單位:個(gè)）產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝

180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個(gè)，其中款產(chǎn)品有30個(gè).(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中任取2個(gè)產(chǎn)品，求其中至少有一個(gè)精品裝產(chǎn)品的概率;(3)對(duì)抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10，方差為2，精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12，方差為1.8，試估計(jì)這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差（精確到0.01）.20．已知橢圓為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).

(1)若直線垂直于軸，求橢圓的弦的長度；(2)設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)，記、的斜率分別為和，求的取值范圍.21．已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，問:函數(shù)的圖像上是否存在三點(diǎn)，使得它們的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，且直線的斜率等于在點(diǎn)處的切線的斜率?若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，說明理由;(3)證明:函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)都不落在函數(shù)圖像的下方答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．四【分析】求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故答案為：四2．【分析】利用交集的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案?.3．【分析】化不等式一邊為0，再轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即得.【詳解】不等式化為：，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：4．1【分析】根據(jù)平行關(guān)系列出等式求解的值并檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)榕c平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線平行.當(dāng)時(shí)，直線，直線，化簡為，此時(shí)兩直線重合，不符合要求，舍去.故答案為：1.5．【分析】求出兩漸近線方程，得到，從而得到離心率.【詳解】兩條漸近線互相垂直，由對(duì)稱性可知，兩漸近線的傾斜角分別為，漸近線方程為，故，所以漸近線的離心率為.故答案為：6．【分析】由所給等式得，兩式相減可求得的通項(xiàng)公式，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，①②得，所以，所以.故答案為：7．【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】在中，，，由余弦定理得，解得，所以的面積為.故答案為：8．3【分析】求出圓柱的體積，設(shè)圓錐的底面半徑為，求出圓錐的高為，從而得到圓錐的體積，得到方程，求出答案.【詳解】圓柱的體積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長為，故圓錐的高為，則，故，解得，故圓錐的底面半徑為3.故答案為：39．【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)求出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，，所以含的項(xiàng)為，即項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：10．14【分析】由函數(shù)的概念及分類加法計(jì)數(shù)原理、組合數(shù)計(jì)算得解.【詳解】由函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為給安排對(duì)應(yīng)的自變量，每一種對(duì)應(yīng)方式，即為一個(gè)函數(shù)，給取3個(gè)自變量，則對(duì)應(yīng)1個(gè)自變量，有種，給取2個(gè)自變量，則對(duì)應(yīng)2個(gè)自變量，有種，給取1個(gè)自變量，則對(duì)應(yīng)3個(gè)自變量，有種，所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的對(duì)應(yīng)方式，故答案為：1411．【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，求出在區(qū)間上的范圍結(jié)合可得答案.【詳解】令，則，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增，由函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，則在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且，則由在區(qū)間上恒成立，得在區(qū)間上恒成立，因?yàn)闀r(shí)，，所以.且由，得，則實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：.12．【分析】由等價(jià)于在上的投影，故可結(jié)合投影性質(zhì)，得到當(dāng)與反向共線時(shí)，在上的投影取最小，當(dāng)與同向共線時(shí)，在上的投影取最大，再結(jié)合的范圍，即可得到相應(yīng)投影的最小、最大值，即可得解.【詳解】等價(jià)于在上的投影，如圖1，在單位圓圓上任取兩點(diǎn)、，則對(duì)任意的，當(dāng)與反向共線時(shí)，在上的投影取最小，作于點(diǎn)，設(shè)，取中點(diǎn)，有，則，，則，由，故；如圖2，在單位圓圓上任取兩點(diǎn)、，則對(duì)任意的，當(dāng)與同向共線時(shí)，在上的投影取最大，作于點(diǎn)，設(shè)，取中點(diǎn)，有，則，，則，由，故；綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于得到表示在上的投影，從而數(shù)形結(jié)合，借助投影性質(zhì)解題.13．D【分析】利用不等式的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)A，取，則，A錯(cuò)誤；對(duì)B，取，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)C，取，滿足，但，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)閮绾瘮?shù)在定義域R上單調(diào)遞增，且，所以，D正確；故選：D.14．D【分析】運(yùn)用空間向量坐標(biāo)表示以及對(duì)稱中的坐標(biāo)特點(diǎn)可解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于xOy的對(duì)稱點(diǎn)為A，則A坐標(biāo)；點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則B坐標(biāo)；則根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)知道A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：D．15．D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)的定義可判斷時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，然后結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到時(shí)的零點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，即0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即此時(shí)函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故函數(shù)在和也內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，綜合上述可知函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，都不在上故選：D16．B【分析】取特例可知①推不出②，根據(jù)反函數(shù)可知滿足②能推出①，結(jié)合充分條件、必要條件的概念得解.【詳解】取，存在，使得成立，此時(shí)由函數(shù)定義知，不存在函數(shù)，使得，當(dāng)存在函數(shù)，使得成立時(shí)，由于與為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以就可以寫成的反函數(shù)，即可以用表示，即存在函數(shù)，所以存在，綜上可知，①是②的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新概念問題需要去理解，本題理解了之后，可以根據(jù)函數(shù)的概念去判斷①②之間的推出關(guān)系得解.17．（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】第（Ⅰ）題，化簡函數(shù)解析式為最簡形式，利用公式求出周期和最值．第（Ⅱ）題，是給值求角問題，要先限定范圍．（Ⅰ），因?yàn)樗缘淖钚≌芷跒?，最大值?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，?所以，故.【考點(diǎn)定位】本題考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的性質(zhì).考查了三角函數(shù)式的化簡、求值，故考查了運(yùn)算求解能力.18．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形等比例性質(zhì)，根據(jù)線面平行的判定推理即得.（2）連接，根據(jù)給定條件，根據(jù)勾股定理及余弦定理求得，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?、分別為線段、上的點(diǎn)，且，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋?，所以，，連接，又，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平?19．(1)100；(2)；(3).【分析】（1）由分層隨機(jī)抽樣的抽樣比直接計(jì)算即可；（2）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；（3）根據(jù)分層抽樣總體的方差公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個(gè)，其中B款產(chǎn)品有30個(gè)，則，解得.（2）設(shè)所抽取的樣本中有個(gè)精品裝產(chǎn)品，則，解得所以容量為5的樣本中，有3個(gè)精品裝產(chǎn)品，2個(gè)普通裝產(chǎn)品.因此從樣本中任取2個(gè)產(chǎn)品，至少有1個(gè)精品裝產(chǎn)品的概率為（3）由題意，某項(xiàng)指標(biāo)總體的平均數(shù)為，所以由分層抽樣的總體方差公式可得20．(1)(2)或(3)【分析】（1）可根據(jù)橢圓定義和弦長公式求解；（2）利用點(diǎn)P和點(diǎn)F的中點(diǎn)為可知中點(diǎn)坐標(biāo)為左焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后利用橢圓的定義求得點(diǎn)A坐標(biāo)；（3）第三問需分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接求坐標(biāo)和斜率，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)斜率為，設(shè)點(diǎn)A,B坐標(biāo)，寫出直線方程，最終將轉(zhuǎn)化為與斜率的關(guān)系，可通過直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和基本不等式最終解決該題。【詳解】（1）由題意可知，，∴F1,0,又∵當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，由得，，∴弦AB的長為.（2）∵，且直線過點(diǎn)F，∴，在中，，∴斜邊PF的中點(diǎn)，恰為橢圓的左焦點(diǎn),∴,又由橢圓的定義可得，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，又在橢圓上，∴為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，∴或.（3）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，∴，故；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線AB：y=kx?1，設(shè)Ax由得，，∴，∴，化簡得，①當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立；②當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立；③當(dāng)，；綜上所述可得，的取值范圍為.21．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用反證法，先假設(shè)存在，化簡后得出矛盾即可證明；（3）構(gòu)造新函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為求證新函數(shù)的最小值不小0即可.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，顯然在上嚴(yán)格增，且.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的單調(diào)遞減區(qū)