第11講 圓（含答案詳解）-全國重點(diǎn)高中自主招生大揭秘

圓一、填空題1．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競賽）如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為______．2．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競賽）古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底曾研究過如圖所示的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為的斜邊，直角邊，．若以，為直徑的兩個(gè)半圓的弧長總長度為，則以斜邊為直徑的半圓面積的最小值為________．3．（2018·全國·九年級(jí)競賽）已知是內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，則__________．4．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考競賽）如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，依此類推，圖10中有10個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=______．5．（2016秋·山東泰安·九年級(jí)競賽）如圖是“橫店影視城”的圓弧形門，妙可同學(xué)到影視城游玩，很想知道這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)．于是她從景點(diǎn)管理人員處打聽到：這個(gè)圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，cm，cm，且與水平地面都是垂直的．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你幫助妙可同學(xué)計(jì)算這個(gè)圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的高度是_________．6．（2015秋·山東臨沂·九年級(jí)競賽）已知正六邊形的邊心距為，則它的周長是______．7．（2015秋·山東臨沂·九年級(jí)競賽）如果圓錐的底面周長是20π，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則圓錐的母線長是________．8．（2015秋·山東泰安·九年級(jí)競賽）如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F是⊙O上三個(gè)點(diǎn)，EF//AB，若EF=2，則∠EDC的度數(shù)為__________二、單選題9．（2016秋·山東臨沂·九年級(jí)競賽）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O直徑BE上，連結(jié)AE，若∠E=36°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．44° B．53° C．72° D．54°10．（2017秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)競賽）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，且為半圓的，設(shè)扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積分別為、、，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．11．（2016秋·山東泰安·九年級(jí)競賽）在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（-1,2）,B（3,2），若點(diǎn)C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為(

)A．3 B．4 C．5 D．612．（2015秋·山東臨沂·九年級(jí)競賽）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）A．2 B．2 C．2 D．813．（2015秋·山東泰安·九年級(jí)競賽）如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成圖2所示的一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）.A．cm B．4cm C．cm D．cm14．（2015秋·山東泰安·九年級(jí)競賽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）.A．（3，5） B．（4，5） C．（5，3） D．（5，4）15．（2016·全國·九年級(jí)競賽）如圖，⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，CE．若AB=8，CD=2，則△BCE的面積為（）A．12 B．15 C．16 D．18三、解答題16．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考競賽）如圖1，菱形ABCD的邊長為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫出t的取值范圍．17．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競賽）已知矩形ABCD的邊AB=21，BC=19，r是給定的小于1的正實(shí)數(shù)．(1)在矩形ABCD內(nèi)任意放入114個(gè)直徑為1的圓．證明：在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)圓的內(nèi)部）；(2)在矩形ABCD內(nèi)任意放入95個(gè)單位正方形（邊長為1的正方形）．證明：在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部）．18．（2012·全國·九年級(jí)競賽）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是的外接圓的切線．設(shè)，若，求拋物線的解析式．19．（2013·全國·九年級(jí)競賽）在中，，、分別是的外心和內(nèi)心，且滿足．求證：（1）；（2）．20．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競賽）已知的兩邊分別與圓相切于點(diǎn)，，圓的半徑為．（1）如圖1，點(diǎn)在點(diǎn)，之間的優(yōu)弧上，，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，要使四邊形為菱形，的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由；（3）若交圓于點(diǎn)，求第（2）問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長（用含的式子表示）．21．（2015秋·山東臨沂·九年級(jí)競賽）如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)C．（1）求證：CT為⊙O的切線；（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．參考答案：1．【分析】連接，并延長交圓于點(diǎn)，連接，，可得，從而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的長，從而可求出圓O的面積．【詳解】解：如圖，連接，并延長交圓于點(diǎn)，連接，．則，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圓的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角是解答本題的關(guān)鍵．2．【分析】設(shè)AB=a，AC=b，由題意可得．根據(jù)勾股定理可得：．以斜邊BC為直徑的半圓面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：設(shè)AB=a，AC=b，∵以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓的弧長總長度為2π，則，化簡為：a+b=4．∵∠，∴．∴以斜邊BC為直徑的半圓面積，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．∴以斜邊BC為直徑的半圓面積的最小值為π．故答案為：π．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力．3．4【分析】延長至，使，則有A，F(xiàn)，B，四點(diǎn)共圓，得到△BCF是等腰三角形，利用三線合一可得，進(jìn)而用勾股定理求出，再利用中位線性質(zhì)求出．【詳解】延長至，使，則且，∴，∴A，F(xiàn)，B，四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴．又，∴，∴．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)建四點(diǎn)共圓．4．π.【詳解】圖1,過點(diǎn)O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足為E.F,則∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四邊形OECF為矩形∵OE=OF∴矩形OECF為正方形設(shè)圓O的半徑為r,則OE=OF=r,AD=AE=3?r,BD=4?r∴3?r+4?r=5,r==1∴S1=π×12=π圖2,由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD=,BD=5?=，由(1)得：⊙O的半徑=,⊙E的半徑=，∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.圖3,由S△CDB=××=×4×MD∴MD=，由勾股定理得：CM=,MB=4?=，由(1)得：⊙O的半徑=,⊙E的半徑=，∴⊙F的半徑=，∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π5．520cm．【詳解】試題解析：連接OF，交AD于點(diǎn)E，∵BC是⊙O的切線，∴OF⊥BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴OE⊥AD，EF=AB，設(shè)圓O的半徑為R，在Rt△AOE中，AE==100OE=R-AB=R-20，∵AE2+OE2=OA2，∴1002+（R-20）2=R2，解之R=260．260×2=520（cm）．答：這個(gè)圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的高度為520cm．考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．6．12【分析】首先由題意畫出圖形，易證得△OAB是等邊三角形，又由正六邊形的邊心距利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得OA的長，即可得AB的長，繼而求得它的周長．【詳解】如圖，連接OA，OB，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=×360°=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAH=60°，∵OH⊥A，OH=，∴，∴AB=OA=2，∴它的周長是：2×6=12考點(diǎn)：正多邊形和圓點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7．30【分析】圓錐的底面周長即為側(cè)面展開后扇形的弧長，已知扇形的圓心角，所求圓錐的母線即為扇形的半徑，利用扇形的弧長公式求解．【詳解】解：∵圓錐的底面周長是20π∴側(cè)面展開后所得的扇形的弧長是20π∵側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°∴側(cè)面展開后所得的扇形的半徑為：∵圓錐的母線就是側(cè)面展開后所得的扇形的半徑∴圓錐的母線長度為30.故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算．關(guān)鍵是體現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．8．【詳解】分析：連接OC、OE，由切線的性質(zhì)知OC⊥AB，而EF∥AB，則OC⊥EF；設(shè)OC交EF于M，在Rt△OEM中，根據(jù)垂徑定理可得到EM的長，OE即⊙O的半徑已知，即可求出∠EOM的正弦值，進(jìn)而可求得∠EOM的度數(shù)，由圓周角定理即可得到∠EDC的度數(shù)．解：連接OE、OC，設(shè)OC與EF的交點(diǎn)為M；∵AB切⊙O于C，∴OC⊥AB；∵EF∥AB，∴OC⊥EF，則EM=MF=；Rt△OEM中，EM=，OE=2；則sin∠EOM=，∴∠EOM=60°；∴∠EDC=∠EOM=30°．9．D【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠BAE=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可得解.【詳解】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠BAE=90°，根據(jù)∠E=36°可得∠B=54°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ADC=∠B=54°.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì).10．D【分析】連接AC，根據(jù)△AOC的面積=△BOC的面積，得S2＜S1，再由S1占半圓面積的，可得S3大于半圓面積的，即可求解．【詳解】解：連接AC，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴△AOC的面積=△BOC的面積，∵S1大于△AOC的面積，∴S2＜S1，∵S1占半圓面積的，∴S2小于半圓面積的∴S3大于半圓面積的，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)題意得到△AOC的面積=△BOC的面積是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】分三種情況考慮：即當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，分別畫圖，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：分三種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C1，連接BC1，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C1；當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C2，連接AC2，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C2；當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，由A（-1，2），B（3，2），得到AB=4，可得此圓與x軸相切，∴此圓與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，分別為C3，C4，C5，如圖所示，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得此3點(diǎn)滿足題意，綜上，所有滿足題意的點(diǎn)C有5個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．12．B【詳解】試題分析：由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=4，設(shè)AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根據(jù)勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可計(jì)算出CE．試題解析：連結(jié)BE，如圖，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，設(shè)AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直徑，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位線，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE=．考點(diǎn)：1、垂徑定理；2、勾股定理；3、三角形中位線定理；4、圓周角定理13．C【詳解】利用已知得出底面圓的半徑為：1，周長為2π，進(jìn)而得出母線長，即可得出答案．解：∵半徑為1cm的圓形，∴底面圓的半徑為：1，周長為2π，扇形弧長為：2π=，∴R=4，即母線為4cm，∴圓錐的高為：=（cm）．故選C．此題主要考查了圓錐展開圖與原圖對(duì)應(yīng)情況，以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出母線長是解決問題的關(guān)鍵．14．D【詳解】試題分析：連接AB，作AE⊥BC于點(diǎn)E，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求得OE的長，即可得到AB，再根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果.連接AB，作AE⊥BC于點(diǎn)E∵B（2，0）、C（8，0）∴OE=5，BE=3∴AB=5∴∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，4）故選D.考點(diǎn)：勾股定理，垂徑定理點(diǎn)評(píng)：勾股定理與垂徑定理的結(jié)合使用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考中比較常見的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.15．A【詳解】∵⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，AB=8，∴AC=BC=AB=4．設(shè)OA=r，則OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE=，∴△BCE的面積=BC?BE=×4×6=12．故選A．16．(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②(3)CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE(4)當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)易證△ACD為等邊三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到∠APE的度數(shù)；（2）①先找出⊙O與AD相切時(shí)的情況，根據(jù)切線長定理即可證明⊙O與CD相切；②根據(jù)切線長定理和菱形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，求出即可；（4）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙O相切，∴∠ADO=∠ADC=30°，∴AO==，∴；（3）由圖可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，∵點(diǎn)O為△APC外接圓圓心，∴OA=OC=OP==6cm，∵∠ACB=60°，∴CF==3cm，綜上：CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE．（4）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵四邊形APCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，當(dāng)0<t<1時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，當(dāng)點(diǎn)E與帶你N重合時(shí)，CE=CN=BP=12-4=8cm，此時(shí)t==9+8=17s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，t=21s，當(dāng)17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；綜上：當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，切線長定理，以及和圓相關(guān)的內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．注意在解題過程中靈活運(yùn)用“同弧所對(duì)的圓周角相等”這一定理．17．(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）將矩形的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)得到矩形，再把直徑為1的小圓縮小為一點(diǎn)O進(jìn)行考慮，將原直徑為1的圓擴(kuò)大，即以原圓心為圓心，直徑為2作114個(gè)新的圓，計(jì)算可得114個(gè)新圓的面積和小于矩形的面積，即可證明在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)圓的內(nèi)部）；（2）將矩形的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)得到矩形，再把直徑為1的小圓縮小為一點(diǎn)O進(jìn)行考慮，把每個(gè)小正方形加框，即在小正方形的每條邊的外部加一個(gè)長和寬分別為1和的矩形，4個(gè)角上加上一個(gè)直徑為1的四分之一圓弧，計(jì)算此時(shí)95個(gè)加框圖形的面積總和小于矩形的面積，即可證明在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部）．(1)解：將矩形的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)，得到一個(gè)長和寬分別為20和18的矩形(如圖1所示)，則矩形的面積為．對(duì)矩形內(nèi)任意放入的114個(gè)直徑為1的圓，分別以這114個(gè)圓的圓心為圓心，直徑為2作114個(gè)新的圓(如圖2所示)．因?yàn)檫@114個(gè)新圓的面積和等于小于矩形的面積．所以在矩形內(nèi)，一定存在一點(diǎn)，它在這114個(gè)新的圓的外部．因?yàn)辄c(diǎn)到矩形每條邊的距離都大于，且點(diǎn)到每個(gè)舊圓圓心的距離都大于1，所以以點(diǎn)為圓心，直徑為的圓一定在矩形內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的114個(gè)直徑為1的個(gè)圓都沒有交點(diǎn)，也不在某個(gè)圓的內(nèi)部．所以在矩形內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)(也不在某個(gè)圓的內(nèi)部)．

圖1

圖2(2)將矩形的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)，得到一個(gè)長和寬分別為20和18的矩形，則矩形的面積為．對(duì)矩形內(nèi)任意放入的95個(gè)單位正方形，將這95個(gè)單位小正方形的每一個(gè)都加一個(gè)框：在小正方形的每條邊的外部加一個(gè)長和寬分別為1和的矩形，4個(gè)角上加上一個(gè)直徑為1的四分之一圓弧(如圖3所示)．圖3因?yàn)檫@95個(gè)加框的圖形的面積和等于小于矩形的面積．所以在矩形內(nèi)，一定存在一點(diǎn)，它在這95個(gè)加框的圖形的外部．因?yàn)辄c(diǎn)到矩形每條邊的距離都大于，且點(diǎn)到每個(gè)單位正方形的邊上的點(diǎn)的距離都大于，所以以點(diǎn)為圓心，直徑為的圓一定在矩形內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的95個(gè)單位正方形都沒有交點(diǎn)，也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部．所以在矩形內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)(也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是使用“縮”、“放”的構(gòu)思作為證題技巧．18．【分析】利用公式法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再令x=0，求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的y值，即C的縱坐標(biāo)，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3b，m）．再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AE的值，利用射影定理和切線的性質(zhì)即可求出m的值，進(jìn)而求出c的值，最后利用相似三角形的性質(zhì)求出b的值，從而求出拋物線的解析式．【詳解】解：∵拋物線中，，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，令x=0，則y=c，∴點(diǎn)C（0，c），設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3b，m）．∴x1，x2是一元二次方程的兩根，∴，又∵AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3b，0），∴．∵PA為⊙D的切線，∴PA⊥AD，又∵AE⊥PD，∴由射影定理可得AE2=PE?DE，即，又易知m＜0，∴可得m=-6，又∵DA=DC得DA2=DC2，即，把m=-6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）．又∵AM∥BC，∴，即．把c=-6代入，解得，（另一解舍去）．∴拋物線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題綜合性的考查了二次函數(shù)的各種性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、射影定理的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的難度非常大．19．（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】證明（1）作于，于．設(shè)，，．易求得，，所以，又恰好是兩條平行線，之間的垂線段，所以也是兩條平行線，之間的垂線段，所以，所以．（2）由（1）知是矩形，連接，，設(shè)（即為的內(nèi)切圓半徑），則．20．（1）50°；（2）當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC為菱形，理由見解析；（3）．【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后結(jié)合已知求得∠AOB，最后根據(jù)圓周角定理即可解答；（2）連接OA、OB，先觀察發(fā)現(xiàn)