【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第03講 5.2.1 等差數(shù)列（4知識點 8題型 強化訓(xùn)練）【KS5U 高考】

.2.1等差數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念；（2）掌握等差數(shù)列通項公式的意義；（3）掌握等差數(shù)列的判定方法（4）理解并掌握等差中項的概念及其應(yīng)用；（5）理解并掌握等差數(shù)列的項與序號之間的規(guī)律及其應(yīng)用；（6）能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)問題。（1）通過對等差數(shù)列概念、通項公式的學(xué)習(xí)，達成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；（2）通過等差數(shù)列中項、性質(zhì)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)；（3）通過等差數(shù)列解決實際問題，達成數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。知識點01等差數(shù)列的概念1、文字語言：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．2、遞推公式：（為常數(shù)，）3、等差數(shù)列定義的理解（1）“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合．（2）“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調(diào)了：①作差的順序；②這兩項必須相鄰．（3）定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數(shù)，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．【即學(xué)即練1】（2022·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（）．A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a(chǎn)，a，a，aD．，，，【答案】B【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)3，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以A不合題意，對于B，因為，，即，所以此數(shù)列不是等差數(shù)，所以B符合題意，對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)0，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以C不合題意，對于D，數(shù)列，，，可表示為，，，，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)1，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，故選：B知識點02等差數(shù)列的通項公式與等差中項1、等差數(shù)列的通項公式及推廣已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則通項公式為：該式可推廣為2、等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程如果等差數(shù)列的首項是，公差是，根據(jù)等差數(shù)列的定義得到：，，，…所以，，，……由此歸納出等差數(shù)列的通項公式為．3、等差中項：如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且.在一個等差數(shù)列中，中間的每一項都是它的前一項與后一項的等差中項。【即學(xué)即練2】（2023·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)?？计谀┤舨蝗嗟鹊姆橇銓崝?shù)成等差數(shù)列且公差為，那么（）A．可能是等差數(shù)列B．一定不是等差數(shù)列C．一定是等差數(shù)列，且公差為D．一定是等差數(shù)列，且公差為【答案】B【解析】若是等差數(shù)列，則，因為成等差數(shù)列，則，則，整理得，與非零實數(shù)不全相等矛盾，所以一定不是等差數(shù)列.故選：B.知識點03等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1、等差數(shù)列與一次函數(shù)的異同點：等差數(shù)列一次函數(shù)不同點解析式公差、斜率公差斜率定義域圖像位于同一直線上的一系列孤立的點一條直線相同點等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次式2、等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列中，若公差，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差，則數(shù)列為遞減數(shù)列；若公差，則數(shù)列為常數(shù)列，不增也不減。【即學(xué)即練3】（2022·寧夏銀川·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.知識點04等差數(shù)列的性質(zhì)1、角標(biāo)和對稱性（1）若是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.特別地，當(dāng)m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時，.（2）對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即2、子數(shù)列的性質(zhì)：從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。3、由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列若，分別是公差為，的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論公差為的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）公差為的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）公差為的等差數(shù)列（k為常數(shù)，k∈N*）公差為的等差數(shù)列(p，q是常數(shù))【即學(xué)即練4】（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】設(shè)的公差為，對于①，，是等差數(shù)列，故①正確；對于②，，是等差數(shù)列，故②正確；對于③，，是等差數(shù)列，故③正確；對于④，若，則不是等差數(shù)列，故④錯誤；故選：C．【題型一：數(shù)列數(shù)列的通項與基本量】例1．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，，則的公差為（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，即，所以.故選：A.變式1-1．（2024·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，且，則.【答案】24【解析】因為是等差數(shù)列，，，設(shè)公差為d，可得，解得，所以.變式1-2．（2024·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可得，解得，，，所以.變式1-3．（2024·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，（2）由已知可得則，則數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)n為奇數(shù)時，則當(dāng)n為偶數(shù)時，則，故【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧（1）等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可；（2）等差數(shù)列的通項公式中共含有四個參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”；（3）通項公格可變形為?！绢}型二：等差數(shù)列的判斷與證明】例2．（2024·天津·高二天津第一百中學(xué)校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且，則.【答案】【解析】由得，所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項為3，故，進而.變式2-1．（2023·重慶·高二育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，若，．（1）求的通項公式；（2）證明是等差數(shù)列．【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，所以，（2）證明：因為所以是公差為的等差數(shù)列.變式2-2．（2023·湖北·高二校考期中）已知滿足，且.（1）求；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.【答案】（1）；（2）證明詳見解析，【解析】（1）依題意，，，所以，，所以.（2）依題意，，，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.變式2-3．（2023·廣東汕頭·高二潮陽實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足，，令.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）∵，∴，又，∴是首項為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，∴.【方法技巧與總結(jié)】判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法1、定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；2、中項法：是等差數(shù)列；3、通項公式法：（，為常數(shù)）是等差數(shù)列?！绢}型三：等差中項及其應(yīng)用】例3．（2022·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎?，，則、的等差中項為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】、的等差中項為.故選：B.變式3-1．（2023·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（）A．5B．6C．8D．9【答案】A【解析】由是等差數(shù)列，則是和的等差中項，所以，則，.故選：A變式3-2．（2023·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（）A．16B．17C．18D．19【答案】C【解析】由題意，得，所以，故C正確，故選：C.變式3-3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，因為，得，所以，所以，故A項正確，故選:A.【方法技巧與總結(jié)】三個數(shù)稱等差數(shù)列的條件是（或），可用來解決等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項的計算問題。如若證為等差數(shù)列，可證（）【題型四：利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算】例4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，已知，，則等于（）A．42B．43C．44D．45【答案】A【解析】由，可得，所以，故，故選：A變式4-1．（2024·全國·高二期末）已知數(shù)列滿足，則等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵，∴是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，∴，，∴．故選：B變式4-2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知為遞增等差數(shù)列，，，則的公差（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，又，所以或，又為遞增等差數(shù)列，所以，則.故選：C變式4-3．（2023·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則.【答案】20【解析】在等差數(shù)列中，，所以，所以.【方法技巧與總結(jié)】1、在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【題型五：等差數(shù)列的單調(diào)性及最值】例5．（2023·上海·高二洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A．4B．5C．4或5D．5或6【答案】A【解析】由，即，解得，因為,故.故選：A.變式5-1．（2022·陜西渭南·高二瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】C【解析】依題意可得公差，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，，，，，，又當(dāng)時，，且，即，所以當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列無最大項，數(shù)列有最小項，故選：C變式5-2．（2023·高二課時練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列的公差，則下列四個命題中真命題為（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】對于A，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，由于等差數(shù)列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：AD變式5-3．（2023·高二課時練習(xí)）已知，是等差數(shù)列的圖象上的兩點．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）畫出數(shù)列的圖象；（3）判斷數(shù)列的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）為遞減數(shù)列．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d．因為，是等差數(shù)列的圖象上的兩點，所以，，即，解得．因此，．（2）等差數(shù)列的圖象是均勻分布在直線上的一系列離散的點，如下圖所示：（3）因為公差，所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】利用等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式可知：等差數(shù)列中，若公差，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差，則數(shù)列為遞減數(shù)列；若公差，則數(shù)列為常數(shù)列，不增也不減?！绢}型六：設(shè)元法巧解等差數(shù)列】例6．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列，且四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，則此等差數(shù)列的和是（）A．14B．13C．或14D．或13【答案】C【解析】設(shè)這四個數(shù)分別為，由題意得，即，解得或或或，當(dāng)時，等差數(shù)列為-1，2，5，8；當(dāng)時，等差數(shù)列為8，5，2，-1；等差數(shù)列的和是14；當(dāng)時，等差數(shù)列為-8，-5，-2，1；當(dāng)時，等差數(shù)列為1，-2，-5，-8，等差數(shù)列的和是．故選：C．變式6-1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知五個數(shù)成等差數(shù)列，這五個數(shù)之和為100，其中較大的三個數(shù)之和的是較小的兩個數(shù)之和，則這五個數(shù)中最大的數(shù)為（）A．B．20C．D．【答案】C【解析】設(shè)這五個數(shù)分別為，，由題意可得，解得，且，解得，則最大的數(shù)為.故選：C變式6-2．（2023·高二課時練習(xí)）三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為－24，求這三個數(shù).【答案】三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.【解析】設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d.由題意可得解得或∴所求三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.變式6-3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列．【答案】或【解析】設(shè)這四個數(shù)依次為(公差為)．因為四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，所以，解得：或，∴這個數(shù)列為或【方法技巧與總結(jié)】設(shè)元法巧解等差數(shù)列中常見的設(shè)元技巧1、某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個數(shù)為：，，公差為；2、三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為。【題型七：由等差數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】例7．（2024·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀?shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于.【答案】【解析】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因為所以當(dāng)時，，即，又，所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.變式7-1．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第項為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，則新的等差數(shù)列的公差為，故新數(shù)列的首項為，故通項公式為，故.變式7-2．（2022·高二課時練習(xí)）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求：（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？【答案】（1）第45項；（2）第8項．【解析】（1）設(shè)新數(shù)列為，則，，根據(jù)，有，即，所以，所以．又因為，所以．即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第項．當(dāng)時，，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項．（2）由（1），令，得，即新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．變式7-3．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，.（1）證明:數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（2）若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，求新數(shù)列的第41項.【答案】（1）證明見解析；（2）31.【解析】（1）證明：設(shè)數(shù)列的公差為，∵，，∴，得，∴，設(shè)，則，∴，即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得，設(shè)新數(shù)列為，其公差為，則，，∴，得，∴.【方法技巧與總結(jié)】（1）從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。（2）在數(shù)列中插入幾個數(shù)構(gòu)成新的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義確定新數(shù)列的項數(shù)以及公差?！绢}型八：等差數(shù)列的實際應(yīng)用】例8．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.6℃，已知山頂?shù)臍鉁厥?5.8℃，山腳的氣溫是26℃．那么，此山相對于山腳的高度是（）．A．1500mB．1600mC．1700mD．1800m【答案】C【解析】山頂與山腳的溫度差為，因為每升高100m，氣溫降低，所以山頂相對于山腳的高度為（m）.故選：C.變式8-1．（2023·廣東佛山·高三佛山一中開學(xué)考試）哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（）A．2041年～2042年B．2061年～2062年C．2081年～2082年D．2101年～2102年【答案】B【解析】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構(gòu)造成一個首項是1682，公差為76的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項公式為，，，可預(yù)測哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．故選：B．變式8-2．（2024·北京順義·高二統(tǒng)考期末）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣.立竿測影，得其最短日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節(jié)氣中后六個（春分至芒種）日影長之和為（）A．8.5尺B．30尺C．66尺D．96尺【答案】B【解析】設(shè)這個等差數(shù)列為，公差為，首項為冬至日最短日影長，根據(jù)題意有即，解得所以.故選:B變式8-3．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）潮涌杭州，亞運來了！2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國繼北京奧運會、廣州亞運會后再次舉辦的大型國際體育賽事.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網(wǎng)站舉辦了一場針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物一套；②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網(wǎng)站的會員共有2023人（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數(shù)為.【答案】135【解析】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數(shù)按從小到大排列，所得的數(shù)列記為，由已知得是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，所以為15的倍數(shù)，所以是首項為0，公差為15的等差數(shù)列，所以，令，可得，又，解得且，故獲得精品吉祥物的人數(shù)為135.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列的實際應(yīng)用1、解決實際應(yīng)用問題，首先要認真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列。2、合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵的問題一、單選題1．（2024·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）若等差數(shù)列中，，則（）A．12B．14C．D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得；因此可得數(shù)列的通項公式為，所以.故選：A2．（2023·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，若，是方程的兩根，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，是方程的兩根，，是等差數(shù)列，.故選：D.3．（2024·廣東·高二校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，若，則（）A．4B．6C．8D．3【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，故，解得.故選：B4．（2022·高二課時練習(xí)）已知點，是等差數(shù)列圖象上的兩點，則數(shù)列為（）A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．無法確定【答案】B【解析】等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率，則直線呈下降趨勢，故數(shù)列單調(diào)遞減.故選：B.5．（2023·高二課時練習(xí)）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（）A．不是原數(shù)列的項B．是原數(shù)列的第項C．是原數(shù)列的第項D．是原數(shù)列的第項【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列為，則，，，，設(shè)，則，，，，由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，令，解得，因此，新數(shù)列的第項為原數(shù)列的第項，故選：C.6．（2023·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與，組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則這個數(shù)列共有項，設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.故選：B.7．（2023·山東泰安·高二泰安第二中學(xué)校考階段練習(xí)）首項為的等差數(shù)列，從第項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，由從第項起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故D正確.故選：D.8．（2023·云南昆明·高二云南師大附中?？计谀┮阎獢?shù)列中，且，則為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，又，數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：A．二、多選題9．（2022·福建漳州·高二華安縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中，，公差，依次取出項的序號被4除余3的項組成新數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因為，，所以，數(shù)列中序號被4除余3的項是第3項，第7項，第11項，，所以故A錯誤，BC正確；設(shè)數(shù)列中的第項是數(shù)列中的第項，則，所以當(dāng)時，，故，所以D正確，故選：BCD10．（2023·甘肅白銀·高二靖遠縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若正項數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．當(dāng)時，B．的取值范圍是C．當(dāng)為整數(shù)時，的最大值為29D．公差的取值范圍是【答案】ABC【解析】當(dāng),時，公差，，故A正確；因為是正項等差數(shù)列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，故D錯誤；因為，所以的取值范圍是，故B正確；，當(dāng)為整數(shù)時，的最大值為29，故C正確；故選：ABC.11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差，則下列對數(shù)列的判斷正確的是（）A．若，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C．若，則數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AD【解析】由且，A：由，即數(shù)列是遞減數(shù)列，對；B：由，若時，如，不單調(diào)，錯；C：由，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，錯；D：由，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，對.故選：AD12．（2023·山東煙臺·高二?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”.關(guān)于這個問題，下列說法正確的是（）A．戊得錢是甲得錢的一半B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的3倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢【答案】AD【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得錢，乙得錢，丙得錢，丁得錢，戊得錢，則有如下結(jié)論：戊得錢是甲得錢的一半，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C錯誤；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D正確．故選：AD.三、填空題13．（2023·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將到這個自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)為．【答案】【解析】由題知，滿足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項數(shù)為.14．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值為.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由，，，，，解得，.15．（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列，則通過該數(shù)列圖象上所有點的直線的斜率為．【答案】3【解析】由，得數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列公差的幾何意義知，通過該數(shù)列圖象上所有點的直線的斜率.16．（2024·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列、是等差數(shù)列，其中且，那么．【答案】