【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第09講 6.1.1【KS5U 高考】

.1.1函數(shù)的平均變化率6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解函數(shù)平均變化率的函數(shù)，會(huì)求函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率；（2）領(lǐng)會(huì)以直代曲的思想方法；（3）會(huì)求位移函數(shù)在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度，理解平均變化率的物理意義；（4）了解理解瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（1）通過對(duì)平均變化率的理解與運(yùn)用，達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、直觀抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；（2）掌握曲線上某點(diǎn)附近的平均變化率求法；（3）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題；（4）正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程。知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的平均變化率1、平均的變化率的定義：一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，，則稱為自變量的改變量；稱（或者）為相應(yīng)的因變量的改變量；稱（或）為函數(shù)在以，為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的平均變化率，其中“以，為端點(diǎn)的閉區(qū)間”，在時(shí)指的是，而是指的是。2、平均變化率的實(shí)際意義：在以，為端點(diǎn)的閉區(qū)間上，自變量每增加1個(gè)單位，因變量平均將增加個(gè)單位。因此，如果自變量增加個(gè)單位，那么因變量將增加個(gè)單位。3、平均變化率的幾何意義：設(shè)，是曲線上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)在上的平均變化率為割線的斜率，如圖所示?！炯磳W(xué)即練1】（22-23高二下·遼寧阜新·期末）若函數(shù)，則函數(shù)從到的平均變化率為（）A．6B．3C．2D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，故函?shù)從到的平均變化率為，故選：B.知識(shí)點(diǎn)02平均速度與平均變化率1、平均速度的定義：如果函數(shù)運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系為，則物理在（時(shí)）或（時(shí)）這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為2、平均變化率的實(shí)質(zhì)與作用：（1）實(shí)質(zhì)：物理在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于在該段時(shí)間內(nèi)的平均變化率；（2）作用：物理學(xué)中，平均速度可以刻畫物體在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢?！炯磳W(xué)即練2】（2024高二下·全國·專題練習(xí)）物體甲、乙在時(shí)間到范圍內(nèi)，路程的變化情況如圖所示，下列說法正確的是（）A．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】C【解析】在到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故AB錯(cuò)誤；在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因?yàn)?，，所以，則在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C.知識(shí)點(diǎn)03瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1、物理運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與事件的關(guān)系是，當(dāng)趨近于0時(shí)，函數(shù)在到之間的平均變化率趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)稱為時(shí)刻的瞬時(shí)速度。2、函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在處的改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)，那么常數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。記作：當(dāng)時(shí)，還可以說：當(dāng)時(shí)，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在的瞬時(shí)變化率,記作3、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，通常稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并記作，即【即學(xué)即練3】（22-23高二下·浙江嘉興·期中）函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，函?shù)在處的瞬時(shí)變化率為.故選：C.知識(shí)點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、割線斜率與切線斜率一般地，如圖所示，設(shè)是平面上的一條曲線，是曲線上的一個(gè)頂點(diǎn)，是曲線上附近的點(diǎn)，則稱直線為曲線的割線，如果無限接近于時(shí)，割線無限接近于通過的一條直線，則稱直線為曲線在點(diǎn)處的切線。依據(jù)切線的定義可知，如果將函數(shù)的圖象看成曲線（稱為曲線，下同），而且曲線在點(diǎn)處的切線為，則很小時(shí)，是附近的一點(diǎn)，割線的斜率是，則當(dāng)無限接近于0時(shí)，割線的斜率將無線趨近于切線的斜率。2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處（也稱在處）的切線的斜率。也就是說，曲線在處的切線的斜率是。相應(yīng)的，切線方程為【即學(xué)即練4】（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】與分別表示在和處切線的斜率，由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，所以，故選：A【題型一：求函數(shù)的平均變化率】例1．（22-23高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所?故選：C.變式1-1．（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A．1B．2C．D．0【答案】A【解析】在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A變式1-2．（23-24高二下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則從1到的平均變化率為（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)從1到的平均變化率為.故選：B變式1-3．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．【答案】【解析】在區(qū)間上的平均變化率為.【方法技巧與總結(jié)】1、求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟：第一步：求自變量的增量；第二步：求函數(shù)值的增量；第三步：求平均變化率2、求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)附近的平均變化率，可用的形式?！绢}型二：求平均速度與瞬時(shí)速度】例2．（23-24高二上·湖南·期末）某物體運(yùn)動(dòng)后，其位移（單位：）為．在這段時(shí)間里，該物體的平均速度為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，位移為，當(dāng)時(shí)，位移為，在這段時(shí)間里，該物體的平均速度為：．故選：A.變式2-1．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移s是時(shí)間t的函數(shù)，且.（1）求這個(gè)物體t從3秒到3.1秒的平均速度；（2）求這個(gè)物體t從3秒到3.01秒的平均速度.【答案】（1）30.5(m/s)；（2）30.05(m/s)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.變式2-2．（22-23高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3t做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度是（）A．2m/sB．6m/sC．4m/sD．11m/s【答案】D【解析】質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)位移的平均變化率為＝＝11＋2Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于11m/s.故選：D.變式2-3．（22-23高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）某一運(yùn)動(dòng)物體，在時(shí)離開出發(fā)點(diǎn)的距離（單位：m）是.（1）求在第s內(nèi)的平均速度；（2）求在第s末的瞬時(shí)速度；（3）經(jīng)過多少時(shí)間該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到m/s?【答案】（1）m/s；（2）m/s；（3）m/s【解析】（1）物體在第s內(nèi)的平均變化率（即平均速度）為m/s；（2）當(dāng)時(shí)，，所以物體在第s末的瞬時(shí)速度為m/s；（3）當(dāng)時(shí)，，令，解得，即經(jīng)過s該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到m/s.【方法技巧與總結(jié)】求運(yùn)動(dòng)物體平均速度的兩個(gè)步驟：1、求時(shí)間改變量和位移改變量；2、求平均速度【題型三：導(dǎo)數(shù)定義中極限的應(yīng)用】例3．（23-24高二上·云南昭通·期末）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A．2B．1C．D．6【答案】B【解析】由已知有，則.故選：B變式3-1．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，故A項(xiàng)正確.故選：A.變式3-2．（22-23高二下·河北廊坊·開學(xué)考試）函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則（）A．12B．9C．6D．3【答案】A【解析】．故選：A變式3-3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知，則的值為（）A．－2aB．2aC．a(chǎn)D．【答案】B【解析】.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】導(dǎo)數(shù)的形式化計(jì)算主要考查對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。需要說明的是導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與無關(guān)?！绢}型四：求導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)】例4．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)自變量在處的改變量為時(shí)，平均變化率.可以看出，當(dāng)無限接近于0時(shí)，無限接近于，因此.故選：C.變式4-1．（22-23高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為．【答案】2【解析】導(dǎo)數(shù)的定義可知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為：=.變式4-2．（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知，，則的值為．【答案】1【解析】∵，∴．變式4-3．（22-23高二·全國·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為．【答案】【解析】，所以，當(dāng)時(shí)，．故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為．【方法技巧與總結(jié)】先求出導(dǎo)函數(shù)，再把代入得【題型五：求曲線“過”與“在”某點(diǎn)的切線】例5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，所以.因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.故選：C.變式5-1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則曲線在處切線的方程為．【答案】【解析】因?yàn)?，又因?yàn)椋运笄芯€方程為，即．變式5-2．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的切線方程為．【答案】或【解析】，∵點(diǎn)不在曲線上，∴點(diǎn)P不是切點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)為，則.∴切線的斜率為.又∵切線過和兩點(diǎn)，所以.解得或.∴過的切線的斜率為或，切線方程為或，即或.故答案為：或.變式5-3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線，則曲線過點(diǎn)的切線方程為.【答案】或【解析】點(diǎn)不在曲線上．設(shè)所求切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，故所求的切線方程為，將及代入上式，得，解得或，所以切點(diǎn)為或．從而所求切線方程為或.【方法技巧與總結(jié)】1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．【題型六：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】例6．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且增速變緩慢，，表示直線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，故選：B變式6-1．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，由圖可得，而，故，故選：C.變式6-2．（22-23高二下·廣東梅州·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依次作出函數(shù)在處的切線，如圖所示：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.變式6-3．（22-23高二下·上海浦東新·期末）在區(qū)間上，若，則下列四個(gè)圖中，能表示函數(shù)的圖像的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與切線斜率的關(guān)系可知，在區(qū)間上時(shí)，函數(shù)圖象在任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于1，則顯然BCD不合題意，對(duì)A選項(xiàng)，函數(shù)在處的切線斜率等于1，且在上，切線斜率不斷增大，則恒成立，故A正確.故選：A.變式6-4．（2022高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，則在和附近符合條件的的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，可知的圖象在處切線的斜率為正，在處切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)A：的圖象在和處切線的斜率都為負(fù)；選項(xiàng)B：的圖象在處切線的斜率為負(fù)，在處切線的斜率為正；選項(xiàng)C：的圖象在處切線的斜率為零，在處切線的斜率為正；選項(xiàng)D：的圖象在處切線的斜率為正，在處切線的斜率為負(fù)；故選：D【方法技巧與總結(jié)】1、曲線在附近的變化情況可通過處切線刻畫說明曲線在處的切線的斜率為正值，從而得出在附近曲線是上升的；說明在附近曲線是下降的。2、曲線在某點(diǎn)出的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由曲線的傾斜程度可以判斷出曲線升降的快慢情況。一、單選題1．（2023高二下·全國·專題練習(xí)）函數(shù)，則自變量從變到時(shí)函數(shù)值的增量為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.2．（22-23高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線，當(dāng)時(shí)割線的斜率為（）A．B．3C．1D．【答案】A【解析】∵，∴，∴割線斜率為，當(dāng)時(shí)，割線的斜率為.故選：A．3．（23-24高二上·河北石家莊·期末）設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A．2B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴.故選：B4．（20-21高二下·浙江嘉興·期中）某物體做直線運(yùn)動(dòng)，若它所經(jīng)過的位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，則這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為（）A．2B．C．3D．【答案】B【解析】.故選：B.5．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度單位：）是，則運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度即為，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，，所以，故運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：A．6．（23-24高二上·北京·期中）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得到，由導(dǎo)數(shù)的定義知，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為，即，故選：D.8．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，所以其斜率，所以，解得，所以點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為，故選：D.二、多選題9．（22-23高二下·山東日照·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時(shí)，下列說法正確的是（）A．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0B．函數(shù)值的改變量為C．函數(shù)在上的平均變化率為D．函數(shù)在上的平均變化率【答案】ABD【解析】由平均變化率的定義可知自變量的改變量不能為零，可以為正數(shù)或負(fù)數(shù)，函數(shù)值的改變量為，平均變化率為函數(shù)值的改變量比自變量的改變量，即A、B、D正確；故選：ABD10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且，下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，由導(dǎo)數(shù)的定義知C對(duì)；，故D對(duì)；故選：BCD11．（22-23高二下·山東德州·階段練習(xí)）如果曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以，故A正確；而為切線上的點(diǎn)，不一定為切點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由切線經(jīng)過和可得切線斜率，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，故B正確D錯(cuò)誤.故選：CD三、填空題12．（22-23高二下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．【答案】【解析】由題意可得平均變化率為：．13．（23-24高二上·湖北武漢·期末）若上的可導(dǎo)函數(shù)在處滿足，則．【答案】6【解析】，則.14．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）曲線過點(diǎn)的切線方程為.【答案】或【解析】，因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切線的切點(diǎn)是，則切線的斜率，又切線過點(diǎn)和，所以，所以