遼寧省沈陽(yáng)市2022屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）（一模）數(shù)學(xué)試題 附答案

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共4頁(yè)）2022年沈陽(yáng)市高中三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù) 學(xué)命題： 東北育才雙語(yǔ)學(xué)校馬江寧 沈陽(yáng)市第五中學(xué)裴延峰 沈陽(yáng)市第二十七中學(xué)金紅 沈陽(yáng)市第二十中學(xué)杜偉明審題： 沈陽(yáng)市教育研究院周善富(本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡指定區(qū)域。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，，則 A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則 A． B． C． D．3．關(guān)于雙曲線(xiàn)與，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 A．它們的焦距相等 B．它們的頂點(diǎn)相同 C．它們的離心率相等 D．它們的漸近線(xiàn)相同4．夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為和，且兩地同時(shí)下雨的概率為，則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為 A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和 A． B． C． D．6．如圖，在直角梯形中，，，，，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A． B． C． D．7．已知，，，則 A． B． C． D．8．若函數(shù)，則是在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．某團(tuán)隊(duì)共有人，他們的年齡分布如下表所示，年齡28293032364045人數(shù)1335431有關(guān)這人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說(shuō)法正確的有 A．眾數(shù)是 B．眾數(shù)是 C．極差是 D．分位數(shù)是10．已知函數(shù)（），則 A．的最小值為 B．的最小正周期為 C．的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) D．的圖像關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)11．已知圓，直線(xiàn)，為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則 A．點(diǎn)到圓心的最小距離為 B．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為 C．的最小值為 D．存在點(diǎn)，使得的面積為12．若，，則下列不等關(guān)系正確的有 A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最大值為_(kāi)______．14．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______．（用數(shù)字作答）15．某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為，其中甲班中女生占，乙班中女生占．則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率是_______．16．已知三棱柱中，，，，，則四面體的體積為_(kāi)______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面已知條件中進(jìn)行解答．已知中，角的對(duì)邊分別為，且_______．（填寫(xiě)①或②，只可以選擇一個(gè)標(biāo)號(hào),并依此條件進(jìn)行解答.）（1）求；（2）若，的面積為，求．18．（12分）等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知：①；②，使．設(shè)為數(shù)列中同時(shí)滿(mǎn)足條件①和②的所有的項(xiàng)的和，求的值．19．（12分）現(xiàn)有一種需要兩人參與的棋類(lèi)游戲，規(guī)定在雙方對(duì)局時(shí)，二人交替行棋．一部分該棋類(lèi)游戲參與者認(rèn)為，在對(duì)局中“先手”（即：先走第一步棋）具有優(yōu)勢(shì)，容易贏(yíng)棋，而“后手”（即：對(duì)方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有優(yōu)勢(shì)，容易輸棋．（1）對(duì)某位該棋類(lèi)游戲參與者的場(chǎng)對(duì)局的輸贏(yíng)結(jié)果按照是否先手局進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示．請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為贏(yíng)棋與“先手局”有關(guān)？先手局后手局合計(jì)贏(yíng)棋45輸棋45合計(jì)25100（2）現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行該棋類(lèi)游戲的比賽，采用三局兩勝制（即：比賽中任何一方贏(yíng)得兩局就獲勝，同時(shí)比賽結(jié)束，比賽至多進(jìn)行三局）．在甲先手局中，甲贏(yíng)棋的概率為，乙贏(yíng)棋的概率為；在乙先手局中，甲贏(yíng)棋的概率為，乙贏(yíng)棋的概率為．若比賽中“先手局”的順序依次為：甲、乙、乙，設(shè)比賽共進(jìn)行局，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．0.100.050.012.7063.8416.635附：n=a+b+c+d20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為，點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，直線(xiàn)斜率存在且不為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為，求證：為定值.22．（12分）已知．（1）求證：對(duì)于，恒成立；（2）若對(duì)于，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)答案第2頁(yè)（共10頁(yè)）2022年沈陽(yáng)市高中三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：1．C2．D3．B4．C5．B6．B7．A8．A二、選擇題：9．ACD10．BD11．ACD12．ABD三、填空題：13．14．15．16．部分選擇和填空試題解析1．由題意，由集合交集的定義：．故選C．2．因?yàn)?，所以，故選D．（2法）：，故選D．4．（參看教材選擇性必修第二冊(cè)43頁(yè)例2）設(shè)事件為甲地下雨，事件為乙地下雨，則，，則．故選C．5．成等比數(shù)列，即，所以，得，故，則．故選B．6．如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，，所以，，，則，，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為．故選B．（2法）：設(shè)，則=====7．由得，故，則，同理得，故，則，故．故選A．8．因?yàn)?，由題意得在有兩個(gè)解．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．即當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，則是在有兩個(gè)不同零點(diǎn)充分不必要條件．故選A．（2法）：由且得．設(shè)（），得，則在處取得最小值．設(shè)，則在處取得最大值．若在有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，得，則是在有兩個(gè)不同零點(diǎn)充分不必要條件．故選A．9．見(jiàn)教材必修第二冊(cè)88頁(yè)第3題．10．，最小值為，最小正周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸．故選BD．11．選項(xiàng)A中，即為圓心到直線(xiàn)的距離等于，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B中，由的最小值為，且，可得的最小值為，故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C中，設(shè)，則，設(shè)，且，則， ，故，即，且，故當(dāng)時(shí)，最小值為，故選項(xiàng)正確．（2法）：，當(dāng)增大時(shí)，增大，減小，且，所以隨之增大，則當(dāng)時(shí)，的最小值為3．故選項(xiàng)正確．選項(xiàng)D中，設(shè)（為銳角），與交于，，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)最小時(shí)，即時(shí)，，易求得的值域?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確．（2法）：當(dāng)時(shí)，可以求得，當(dāng)向無(wú)限遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，趨向于，因?yàn)檫B續(xù)變化，所以必存在，故選項(xiàng)D正確．故選ACD．12．依題意，，則，，．，A正確．，B正確．，C錯(cuò)誤．由，，D正確．故選ABD．13．，當(dāng)時(shí)，取得最大值．14．根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，可得，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．15．見(jiàn)選擇性必修教材第二冊(cè)48頁(yè)例316．如圖，由，，，得，由勾股定理得，，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，即平面，連接，則由三垂線(xiàn)定理的逆定理可知，，，且，故點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，設(shè)交于點(diǎn)連接，則，，在中，，則，設(shè)到平面的距離為，則，四面體的體積．（2法）：如圖，由，，，得，由勾股定理得，，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，即平面，連接，則由三垂線(xiàn)定理的逆定理可知，，，且，故點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，由得，再由最小角定理，得，在中，，，，得，故四面體的體積．四、解答題17．選條件①.（1）由正弦定理得，,因?yàn)椋?，所以?……………3分又，故． ……………5分（2）,所以． ……………7分由余弦定理及，有,所以． ……………9分由得出． ……………10分選條件②.（1）由余弦定理,知， ……………3分又．故． ……………5分（2）解法同選條件①18．（1）設(shè)公差為，則，得， ……………2分則，設(shè)公比為，且，則，得， ………………4分則． ………………6分（2）由（1）得且條件①，則， ………………8分又，若滿(mǎn)足條件②，使，則必有，即需是被除余的正整數(shù)，又由符合，且，不符合，，符合，故所有奇數(shù)項(xiàng)均符合條件②，【通過(guò)列舉得到前10項(xiàng)中符合的有第1、3、5、7、9項(xiàng)也得分】……………10分所以．……………12分19．（1）先手局后手局合計(jì)贏(yíng)棋451055輸棋301545合計(jì)7525100 ………………2分． ………………4分，所以有的把握認(rèn)為贏(yíng)棋與“先手局”有關(guān)．………………6分（2）的取值范圍為，，，………………8分則的分布列為 ……………10分則． ……………12分20．（1）方法一：由題意得，四邊形是直角梯形，，，，，所以，可知，所以，則． ………………2分又有平面，平面，則, ………………4分且，故平面． ………………6分方法二：由題意平面，，分別以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，又由四邊形是直角梯形，，，，如圖所示，則，，，，，則，，，即， ………………2分又，，即， ………………4分且，故平面． ………………6分方法三：由題意平面，，分別以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又由四邊形是直角梯形，，，，則，，，，， ………………2分在平面中，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以 ………………4分由，得，故平面． ………………6分（2）由題意平面，，分別以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，在平面中，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，得，所以． …………8分在平面中，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令得，，所以． ………………10分則，設(shè)二面角大小為，………11分由圖可知，． ………………12分21．（1）由題意得，，，得，，所以橢圓方程為． …4分（2）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，由消去，整理得：，所以， …5分又，所以直線(xiàn)的方程為：，其與直線(xiàn)的交點(diǎn)為；同理，………………6分所以的中點(diǎn)為， …7分因此的斜率為 …10分因此，即為定值． …12分方法二：高觀(guān)點(diǎn)下的曲線(xiàn)系解法.（參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生可能這樣解答）設(shè)，則，.A點(diǎn)處的切線(xiàn)為，.…6分過(guò)A、M、N三點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系為：.……8分待定系數(shù)得y的系數(shù)為,為，而要求，…10分等式左側(cè)項(xiàng)系數(shù)為,項(xiàng)系數(shù)為，項(xiàng)系數(shù)為.，項(xiàng)系數(shù)比為，解得.所以.…12分（考后來(lái)洪臣老師提供方法，對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）（2）設(shè)直線(xiàn)，得到，，則，所以設(shè)直線(xiàn)，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)得到，所以，所以.因?yàn)闄E圓方程可化為，齊次化為，兩邊同時(shí)除以,得，則為的兩根，所以.所以.22．（1）由，得，令，得． …2分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，即為最小值，故對(duì)于恒成立． …4分（2）方法一：由，得．由，則，即，得． …5分設(shè)，，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，即為最小值，即對(duì)恒成立， …7分設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，而，則恒成立． …9分當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，而，故時(shí)，，即不恒成立． …11分綜上，的取值范圍為． …12分方法二：當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，設(shè)，且，則，…5分則當(dāng)時(shí)，由，， 由（1）得，，即， …7分所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故在的最小值為，即恒成立． …9分而當(dāng)時(shí)，設(shè)，，令，得，由，故.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，，則單調(diào)遞減，而，即時(shí)，，故不成立， …11分綜