上海市金山區(qū)2022屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷 附答案

高三數(shù)學(xué)高三數(shù)學(xué)第頁2021學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷(滿分：150分，完卷時間：120分鐘)（答題請寫在答題紙上）一、填空題考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知集合，，則．2．函數(shù)的定義域是．3．若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則．4．的展開式中的系數(shù)為．(結(jié)果用數(shù)值表示)5．已知，則行列式的值為．6．某小區(qū)共有住戶2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余為青少年等人群，為了調(diào)查該小區(qū)的新冠疫苗接種情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數(shù)為．7．設(shè)為直線上的一點，且位于第一象限，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則點的坐標(biāo)為．8．已知，，且，則的最小值為．9．有身高全不相同的6位同學(xué)一起拍畢業(yè)照，若6人隨機排成兩排，每排3人，則后排每人都比前排任意一位同學(xué)高的概率是．(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)10．已知、、、…、是拋物線上不同的點，點，若，則．11．若數(shù)列滿足…（，），則稱數(shù)列為“階相消數(shù)列”．已知“2階相消數(shù)列”的通項公式為，記…，，，則當(dāng)=___________時，取得最小值．12．已知點、和，記線段的中點為，取線段和線段中的一條，記其端點為、，使之滿足；記線段的中點為，取線段和線段中的一條，記其端點為、，使之滿足；依次下去，得到點、、…、、…，則．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知，則“”是“”的()．(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件14．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()．(A)(B)(C)(D)15．如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是棱、、的中點，以△為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為()．(A)(B)(C)(D)16．已知向量與的夾角為，且，向量滿足()，且.記向量在向量與方向上的投影分別為、.現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若，則；②的最大值為，則正確的判斷是()．(A)①成立，②成立(B)①成立，②不成立(C)①不成立，②成立(D)①不成立，②不成立三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面是等邊三角形，點為半圓弧的中點，點為母線的中點.（1）求此圓錐的表面積；（2）求異面直線與所成角的大?。?8．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知函數(shù).（1）設(shè)是的反函數(shù)，若，求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)．若存在，求的值，并證明此時在上單調(diào)遞增；若不存在，請說明理由.19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）落戶上海的某休閑度假園區(qū)預(yù)計于2022年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點處，出口在點處.游客可從入口沿著觀景通道到達出口，其中米，米,也可以沿便捷通道到達出口（為內(nèi)一點）.（1）若是以為直角頂點的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）（2）園區(qū)計劃將區(qū)域修建成室外游樂場，若，該如何設(shè)計使室外游樂場的面積最大，請說明理由.20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知為橢圓內(nèi)一定點，為直線上一動點，直線與橢圓交于、兩點(點位于、兩點之間)，為坐標(biāo)原點.（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求直線的斜率；（2）當(dāng)△的面積為時，求點的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知有窮數(shù)列的各項均不相等，將的項從大到小重新排序后相應(yīng)的項數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱為的“序數(shù)列”.例如：數(shù)列滿足，則其“序數(shù)列”為1，3，2.若兩個不同數(shù)列的“序數(shù)列”相同，則稱這兩個數(shù)列互為“保序數(shù)列”.（1）若數(shù)列，，的“序數(shù)列”為2，3，1，求實數(shù)的取值范圍；（2）若項數(shù)均為2021的數(shù)列、互為“保序數(shù)列”，其通項公式分別為，（為常數(shù)），求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，其中、是實常數(shù)，且，記數(shù)列的前項和為.若當(dāng)正整數(shù)時，數(shù)列的前項與數(shù)列的前項(都按原來的順序)總是互為“保序數(shù)列”，求、滿足的條件.2021學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷評分標(biāo)準一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．；2．；3．2；4．160； 5.；6．200；7．； 8．25； 9．；10．40; 11．2020;12．.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.D14.A15.C16.C三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：(1)由，得．…………3分又，故．…………6分即此圓錐的表面積為．(2)取的中點，連接．因點為母線的中點，故．所以為異面直線與所成的角．…………9分在中，，故．由點為半圓弧的中點，知，在中，．…………12分由底面，知底面，在中，，故，即異面直線與所成角的大小為．…………14分18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）因為函數(shù)，所以，．…………2分．…………6分（2）由題意得：．解法一：因為為奇函數(shù)，所以，即，…8分整理得：，故．…………12分解法二：因為是定義域為的奇函數(shù)，故，即，解得．…………8分此時，定義域為關(guān)于原點對稱，且．故當(dāng)時，為奇函數(shù)．………12分任取，則．因為，所以且，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．…………14分19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）若游客走觀景通道，則所需時間為分鐘；……2分由是以為直角頂點的等腰直角三角形，可得且．在中，由余弦定理可得：，．……4分故游客若走便捷通道，所需時間為分鐘；……5分因此，游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快大約3分鐘．……6分（2）解法一：．……8分在中，由余弦定理可得：，即，……10分當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．……12分所以當(dāng)時，可使室外游樂場的面積最大．……14分解法二：可設(shè)，在中，，即．……8分故……10分．……12分所以當(dāng)，即時，可使室外游樂場的面積最大．……14分20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）解：(1)當(dāng)直線的傾斜角為時，其斜率，直線的方程為.…2分聯(lián)立，解得，即.從而，即直線的斜率為.…4分(2)由題意，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得.設(shè)、，則…………5分從而由，得解得，.……8分故直線的方程為.令，得點的橫坐標(biāo)為.……10分(3)①當(dāng)直線與軸重合時，，，故.…………12分②當(dāng)直線不與軸重合時，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由(2)知從而……14分,即.………16分綜上，為定值.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解：（1）由題意得，即，……2分解得．……4分（2）．……5分當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，……7分故，又，，，因此的序數(shù)列為…，2021．……8分又因、互為“保序數(shù)列”，故，只需滿足，解得：．……10分(3)解：①當(dāng)或時，數(shù)列中有相等的項，不滿足題意.……11分②當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，故也應(yīng)單調(diào)遞增，從而對且恒成立.又數(shù)列單調(diào)遞增，故.……13分③當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，故也應(yīng)單調(diào)遞減，從而對且恒成立.又數(shù)列單調(diào)遞減，故.