2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第三章 圓錐曲線的方程章末題型歸納總結(jié)

第三章圓錐曲線的方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題題型一：求軌跡方程題型二：焦點(diǎn)三角形問題題型三：線段和差最值問題題型四：離心率取值與范圍問題題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型六：三角形與四邊形面積問題題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題題型八：斜率問題題型九：中點(diǎn)弦問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題題型一：求軌跡方程【典例1-1】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則，則，所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．則，所以，所以動圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.【典例1-2】（2024·高二·山東臨沂·階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，設(shè)，則，所以，代入圓的方程，整理得，即.故答案為：.【變式1-1】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)點(diǎn)，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于動點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?所以，化簡得.故動點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：【變式1-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知動圓與直線恒過同一定點(diǎn)，且與圓外切，求動圓圓心的軌跡方程.【解析】易得定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心為2,0，半徑為.因?yàn)閳A與圓外切，所以，所以由雙曲線定義知：動圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左半支.因?yàn)?，所?故動圓圓心的軌跡方程為.【變式1-3】（2024·高二·全國·課堂例題）動點(diǎn)在曲線上移動，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)Px,y，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以．所以點(diǎn)的軌跡方程為即.題型二：焦點(diǎn)三角形問題【典例2-1】（多選題）（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（

）A．若的周長為6，則B．若當(dāng)時，的內(nèi)切圓半徑為，則C．若存在點(diǎn)，使得，則D．若的最大值為2b，則【答案】ABD【解析】對于A,由橢圓，可得，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對于B，由，可得，當(dāng)時，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯誤；對于D，設(shè)，，又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，故時取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.【典例2-2】（多選題）（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）已知橢圓的長軸端點(diǎn)分別為，兩個焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長為C．面積的最大值為D．【答案】ABD【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓的離心率為，故A正確；對于B，的周長為，故B正確；對于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯誤；對于D，設(shè)，，因此，故D正確.故選：ABD.【變式2-1】（多選題）（2024·高二·河北張家口·期中）已知橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一動點(diǎn)，M1,1，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)使 B．的周長為16C．的最大面積為12 D．的最大值為【答案】BCD【解析】由，得.對于A：假設(shè)存在點(diǎn)使得，則，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，則，因?yàn)闄E圓上的任一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離是短軸頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，由可知，圓與橢圓沒有交點(diǎn)，所以假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)使得，故A錯誤；對于B：的周長為，故B正確；對于C：當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時，點(diǎn)到的距離最大，則的面積最大，所以，故C正確；對于D：，又M1,1，所以，所以，故D正確.故選：BCD.【變式2-2】（多選題）（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且不與的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（

）A．若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是B．若，則的面積等于C．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率大于3D．以為直徑的圓與以的實(shí)軸為直徑的圓外切【答案】BCD【解析】當(dāng)且時，的漸近線斜率為，選項(xiàng)A錯誤；，故選項(xiàng)B正確；把點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程得：，選項(xiàng)C正確；如圖，兩圓的圓心距是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，選項(xiàng)D正確.故選：BCD【變式2-3】（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓半徑為，設(shè)內(nèi)切圓圓心，則（

）A． B．為直角三角形C．的面積為 D．的離心率為【答案】BD【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)，則，，由雙曲線的定義得，設(shè)，所以，所以，A錯誤；設(shè)的中點(diǎn)為，由，知．因?yàn)?，，所以為直角三角形，B正確；在中，，C錯誤；在中，，由為直角三角形，，知，由，得，D正確．故選：BD【變式2-4】（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為在上且不在軸上，則（

）A．面積的最大值為 B．直線與的斜率之積可能為C．存在點(diǎn)使得 D．的取值范圍是【答案】AD【解析】對于A，易知當(dāng)點(diǎn)位于的上（下）頂點(diǎn)時，的面積最大為，A正確；對于B，設(shè)，則，又點(diǎn)在上，則，即，所以，由得，所以，因此不可能為，B錯誤；對于C，滿足的點(diǎn)在以為原點(diǎn)，1為半徑的圓上，易知其與橢圓無公共點(diǎn)，因此不存在上的點(diǎn)，使得，C錯誤；對于D，由橢圓的定義可得，，易知，則，D正確．故選：AD題型三：線段和差最值問題【典例3-1】（2024·高二·上海閔行·期末）設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】4【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，圓心，圓心到準(zhǔn)線的距離為，則，則，則的最小值為4.故答案為：4.【典例3-2】（2024·高二·甘肅白銀·期中）已知曲線恒過點(diǎn)，且在拋物線上．若是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為．【答案】7【解析】曲線可變形為令，解得，可知曲線恒過點(diǎn)，因?yàn)樵趻佄锞€上，則，解得，所以的方程為，可知的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)與的準(zhǔn)線垂直時，等號成立，所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為7．故答案為：7.【變式3-1】（2024·高二·四川遂寧·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為.【答案】3【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)為F0,1，準(zhǔn)線方程為，過兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖所示：由可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立；則有，可得；所以的中點(diǎn)到軸距離為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立；即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為.故答案為：【變式3-2】（2024·高二·河北秦皇島·開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)是曲線右支上一動點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，則的最小值是．【答案】8【解析】由雙曲線的方程可得，，則，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，圓的圓心，半徑，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時取等號，即的最小值為．故答案為：．【變式3-3】（2024·高二·河北保定·期中）已知P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，過點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，該直線交l于點(diǎn)A，是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為，如圖：連接，過點(diǎn)做于點(diǎn)，結(jié)合題意：為直角三角形，且，所以，因?yàn)榈綕u近線的距離為，結(jié)合雙曲線的定義可得：.故答案為：.【變式3-4】（2024·高二·全國·課堂例題）雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，則.【答案】4【解析】由題意.如圖，連接，，則點(diǎn)Q在雙曲線C的左支上，由雙曲線的對稱性知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以由雙曲線的定義得.故答案為：4【變式3-5】（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)周長最大時，直線的方程為.【答案】【解析】橢圓方程：，，，，如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，，則，，如圖，當(dāng)，，共線時取等號，的周長，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時取等號．則直線的方程：，整理得.故答案為：【變式3-6】（2024·高二·安徽六安·期中）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，由于滿足：，故在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，由于動點(diǎn)在橢圓上，則，從而，因?yàn)?，?dāng)共線，且在線段上時取等號，故的最小值為，故答案為：【變式3-7】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）動點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，，則，，由已知可得，，即，整理可得，.所以，點(diǎn)的軌跡方程為（）.所以，，，，所以.則為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義有，所以，所以，.①當(dāng)時，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，即位于圖中點(diǎn)時，有最大值為，所以，；②當(dāng)時，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，即位于圖中點(diǎn)時，有最小值為，所以，.綜上所述，.故答案為：.【變式3-8】（2024·高二·浙江金華·階段練習(xí)）已知Q是圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓上的左焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值.【答案】【解析】因?yàn)閳A，化為標(biāo)準(zhǔn)式為，即圓心，半徑，且橢圓，則，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時，取得等號，所以的最小值為.故答案為：題型四：離心率取值與范圍問題【典例4-1】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）已知雙曲線C:（，）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為.【答案】/【解析】如圖所示，由題意可知，，，，，設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則，又，，解得，.故答案為：.【典例4-2】（2024·高二·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動時，至少有兩個位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【解析】因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，所以在以為直徑的圓上.又因?yàn)樵跈E圓上運(yùn)動時，至少有兩個位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：【變式4-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在一點(diǎn)，使得順次連接構(gòu)成平行四邊形，則雙曲線的離心率為．【答案】3【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危耘c互相平分，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在漸近線上，所以，化簡得，所以離心率.故答案為：3【變式4-2】（2024·高二·上?！卧獪y試）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則橢圓C的離心率為．【答案】/【解析】以線段為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，該圓與直線相切，則圓心到直線的距離，整理可得，所以．故答案為：【變式4-3】（2024·高二·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【解析】圓，雙曲線的漸近線為，圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離，，，即，．故答案為：．【變式4-4】（2024·湖南衡陽·三模）如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交雙曲線C于兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l的垂線交雙曲線C于點(diǎn)G，

【答案】【解析】設(shè)另一個焦點(diǎn)，連接，設(shè)則再根據(jù)雙曲線的定義可知：由雙曲線的對稱性可知，是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以可得，所以由勾股定理得：，化簡得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案為?【變式4-5】（2024·高二·上?！て谥校┤?，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為．【答案】/【解析】由橢圓可得，由雙曲線可得，所以，又，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；故答案為：【變式4-6】（2024·高二·湖北武漢·期末）如圖所示，設(shè)點(diǎn)F是雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)，B是上的一點(diǎn)，若雙曲線一條漸近線恰好垂直平分BF，雙曲線的離心率為e，則【答案】【解析】由題意可得，所以，設(shè)，的斜率為，中點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線一條漸近線恰好垂直平分BF，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【變式4-7】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.若有最大值，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由雙曲線的定義，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得，即，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最大值，由點(diǎn)為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得直線的斜率小于漸近線的斜率，即，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例5-1】（2024·高二·上海·課堂例題）已知動點(diǎn)在橢圓C：之外，作直線l：．證明：直線l與橢圓C有兩個不同的公共點(diǎn)．【解析】由消去得，，（*），因?yàn)樵跈E圓之外，所以，即，所以，方程（*）有兩個不等的實(shí)根，即直線與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)；【典例5-2】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）能否從圖形的直觀分析中判斷出直線：與橢圓C：的交點(diǎn)個數(shù)？若存在交點(diǎn)，則求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在交點(diǎn)，則求橢圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，即，整理得，，因?yàn)?，所以直線與橢圓無交點(diǎn).設(shè)與直線平行的直線為：，聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，得，整理得，，當(dāng)與橢圓相切時，即，解得：，橢圓C上的點(diǎn)到直線的最小距離即為直線與直線之間的距離，橢圓C上的點(diǎn)到直線的最小距離為.【變式5-1】（2024·高三·江西撫州·期中）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C及圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P，且與橢圓C相切，與圓M相交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，試判斷直線與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）由對稱知：都在橢圓C上，若在橢圓上，則，顯然方程組無解.若三點(diǎn)在橢圓上，由在橢圓上則，代入點(diǎn)得：，則所以橢圓C方程為，則圓M方程為.（2）直線與橢圓C相切.證明如下：由題意可得，點(diǎn)B在圓M上，且線段為圓M的直徑，所以，當(dāng)直線軸時，此時直線過橢圓長軸的頂點(diǎn)，直線的方程為，則直線的方程為，顯然直線與橢圓C相切.同理，當(dāng)直線軸時，直線也與橢圓C相切.當(dāng)直線與x軸既不平行也不垂直時，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為k，則，直線的斜率為，所以直線方程為：，直線方程為：，由，消去y得：.因?yàn)橹本€與橢圓C相切，所以，即

①.同理，由直線與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得：即

②因?yàn)辄c(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，所以，即

③.將③代入①式，得將③代入②式，得所以此時直線與橢圓C相切，綜上所述，直線與橢圓C相切.【變式5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)．若①，②，③，④，問此時直線共有幾條？由此你能探索總結(jié)出一般性結(jié)論嗎？若能，請給予歸納；若不能，請說明理由．【解析】由雙曲線，可得，過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若交點(diǎn)位于雙曲線的兩支時，此時最短距離為，過左焦點(diǎn)的直線，若與軸垂直時，可得，所以，當(dāng)時，這樣的直線不存在；當(dāng)時，這樣的直線僅有1條；當(dāng)時，這樣的直線僅有2條；當(dāng)時，這樣的直線僅有4條，由此歸納出一般性結(jié)論如下表所示：焦點(diǎn)弦長直線的條數(shù)不存在1條3條2條4條不存在2條4條不存在1條2條3條4條【變式5-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點(diǎn)的個數(shù)．【解析】由方程組，消去，可得（*），（i）當(dāng)，即時，方程（*）為，此時直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn)．（ii）當(dāng)，即時，，①若，即且時，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)．②若，即時，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)．③若，即或時，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)．由以上討論可知，當(dāng)且時，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)．【變式5-4】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時，點(diǎn)A,B在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時，點(diǎn)A,B分別在雙曲線的兩支上？【解析】聯(lián)立得.由題意知解得且.若點(diǎn)A,B在雙曲線的同一支上，則>0，解得或，所以或若點(diǎn)A,B分別在雙曲線的兩支上，則，解得.【變式5-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）當(dāng)k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)？僅有一個公共點(diǎn)？無公共點(diǎn)？【解析】由，得.當(dāng)時，方程化為一次方程，該方程只有一解，原方程組只有一組解，∴直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，二次方程的判別式，當(dāng)時，得，，∴當(dāng)或時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)；由得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點(diǎn)；由得或，此時直線與拋物線無公共點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時，直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與拋物線無公共點(diǎn)．【變式5-6】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線上有一個動點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點(diǎn)P在直線l上，且，記點(diǎn)P的軌跡為C．

(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且．試判斷直線PB與曲線C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所?所以．∴點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）直線PB與曲線C相切，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．所以直線PB的斜率為．因?yàn)樗裕灾本€PB的方程為代入，得.因?yàn)樗灾本€PB與曲線C相切．題型六：三角形與四邊形面積問題【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn)．(1)求的方程．(2)記和分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．設(shè)是橢圓上一個動點(diǎn)且縱坐標(biāo)不為．直線交橢圓于點(diǎn)（異于），直線交橢圓于點(diǎn)（異于）．若的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值．【解析】（1）橢圓的焦距，；橢圓過點(diǎn)，，又，（舍）或，，橢圓的方程為：.（2）由（1）知：F1-1,0，設(shè)，Ax1,y由題意可設(shè)直線，其中，，由得：，，；同理可得：；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），面積的最大值為.【典例6-2】（2024·高二·四川涼山·期中）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且過橢圓的焦點(diǎn)作的弦中，弦長的最小值為，橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸長之差為2，橢圓和雙曲線的離心率之比為．(1)分別求橢圓和雙曲線的離心率．(2)若為橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，求三角形的外接圓的面積．【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：（），雙曲線的方程為：（）根據(jù)橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則①由過橢圓的焦點(diǎn)作的直線中，弦長的最小值為，則②由橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸之差為2，則③再根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率之比為，則④解得，，，橢圓的離心率．雙曲線的離心率．（2）因?yàn)闉闄E圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，，故，，在三角形中，記為，由余弦定理有．故，則三角形的外接圓的直徑為，半徑為三角形的外接圓的面積為．【變式6-1】（2024·高二·浙江嘉興·期中）已知點(diǎn)到直線：的距離和它到定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過作曲線的兩條切線分別切于點(diǎn)與點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點(diǎn)處的切線為）【解析】（1）設(shè)，則，化簡得：，所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為.（2）設(shè)，，，則切線為，切線為，將點(diǎn)分別代入得，所以直線為，點(diǎn)到的距離，當(dāng)時，．另一方面，聯(lián)立直線與得，所以，則，當(dāng)時，．所以．故時，最小值為.【變式6-2】（2024·高二·天津和平·期中）如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，，焦點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是．(1)求橢圓的離心率；(2)證明：；(3)設(shè)三角形的面積為，四邊形的面積為，若的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，則.（2）因?yàn)?，則，∴橢圓的方程為，由，整理得：，由可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，故直線的斜率為，∵直線的斜率為∴，∴.（3）由（2）知，，∴.∴當(dāng)時，，∴，∴橢圓方程為.【變式6-3】（2024·高三·安徽亳州·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．【解析】（1）由題意知，解得，則橢圓的方程為．（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)Ax1聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離，則平行四邊形的面積．【變式6-4】（2024·高二·河北唐山·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，橢圓的焦距為2.(1)求橢圓的方程；(2)和是橢圓上異于的兩點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）由已知，所以，所以橢圓的方程為.（2）如圖所示，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以線段與線段的中點(diǎn)重合，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)Px1,y1，則且所以直線的方程為y=y1令，得，即.又，直線的方程為，令，得，即.四邊形面積為，①，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以且，所以②，將②代入①得，所以當(dāng)時，.所以四邊形面積的最小值為.題型七：圓錐曲線定點(diǎn)定值問題【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)求AB（用表示）；(2)過點(diǎn)分別作直線的垂線交拋物線于兩點(diǎn).（i）求四邊形面積的最小值；（ii）試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，請說明理由.【解析】（1）由，得.設(shè)，則，（2）（i）顯然，設(shè)，則，得，同理，，（方法一）設(shè)的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)到直線的距離為，所以四邊形面積（方法二）令，則，，所以當(dāng)時取最小值為（ii）在定直線上由（i）得直線的斜率，的中點(diǎn)，所以直線的方程為，即，由，消去得所以直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【典例7-2】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).已知是邊長為4的等邊三角形.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，拋物線上有兩點(diǎn)位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ).求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）如圖，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，在中，，所以.故拋物線.（2）因?yàn)榇怪庇谳S的直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，所以必有斜率，設(shè)，由且，因?yàn)槲挥谳S同側(cè)，所以，則，由得，所以，又點(diǎn)F0,1，直線和的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，所以，即，解得，所以直線恒過定點(diǎn).【變式7-1】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時，綜上，為定值．【變式7-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)設(shè)與軸交于兩點(diǎn)（A在點(diǎn)左側(cè)），直線交于兩點(diǎn)（均不在軸上），設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）易知圓的圓心為，半徑為4，由題得，所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距為，其中，所以的方程為．（2）易知直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，，聯(lián)立，得，則，又可知點(diǎn)，所以，由得，又，所以，即，又，代入得，整理可得，因?yàn)閮牲c(diǎn)不在軸上，所以，所以，化簡得，所以，直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn)．【變式7-3】（2024·高二·廣西·期末）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4.(1)若與的縱坐標(biāo)之和為4，求直線的方程.(2)證明：線段的垂直平分線過定點(diǎn).【解析】（1）∵曲線，由題可得直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為：，，，聯(lián)立，化為：，，，，解得，，解得，直線的方程為：，即.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，，則線段的垂直平分線的方程為：，化為：，可得直線經(jīng)過定點(diǎn).【變式7-4】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，動圓的圓心的軌跡與軸交于兩點(diǎn)，位于軸右側(cè)的動點(diǎn)滿足，并且直線分別與交于兩點(diǎn)．(1)求軌跡的方程及動點(diǎn)的軌跡方程；(2)直線是否過定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為，而圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑由動圓與圓外切，得，由動圓與圓內(nèi)切，得，則，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長等于12的橢圓，顯然該橢圓的長半軸長，半焦距，則短半軸長，所以軌跡的方程為；顯然，設(shè)，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，點(diǎn)符合要求，所以動點(diǎn)的軌跡方程是.（2）依題意，，設(shè)點(diǎn)，顯然，即，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時，，則，設(shè)直線，由消去得，，，由，得，即，整理得，則，化簡得，解得或，當(dāng)時，直線過點(diǎn)，不符合題意，則，滿足，直線過定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上時，直線與軸重合，也過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).題型八：斜率問題【典例8-1】（2024·高二·浙江麗水·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與曲線相交于點(diǎn)D，E，弦長，求直線的方程．【解析】（1）由題意得，解得，，橢圓方程為.（2）設(shè)直線：，，聯(lián)立并整理得，，，，解得，符合，直線方程為，即．【典例8-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為.(1)求的取值范圍；(2)若交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，且，求.【解析】（1）由題意可得，則，所以雙曲線方程為．當(dāng)直線斜率不存在時顯然不符合題意，設(shè)直線的斜率為，設(shè)，聯(lián)立得，且由得，所以的取值范圍為且，（2）由題知點(diǎn)恰好為線段的兩個三等分點(diǎn)，設(shè)，由得，同理可得，易知，即，則，其中，由（1）可得，則，故，解得．【變式8-1】（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)動點(diǎn)A在圓上，動點(diǎn)B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，若N，A，B三點(diǎn)共線，試探索之間的關(guān)系．【解析】（1）由題意知，，由雙曲線定義得，所以，所以C的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，則，即，由，則①，又②，因?yàn)镹，A，B三點(diǎn)共線，所以，由①②得，即．【變式8-2】（2024·高二·河南·期中）已知A，B分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線HA，HB分別交于另一點(diǎn)D，C.(1)求直線HA，HB的一般式方程;(2)求直線CD的斜率.【解析】（1）由題意可得，又，故，整理得直線HA的一般式方程為；，整理得直線HB的一般式方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，整理得，故，由得，代入，得，即；聯(lián)立，整理得，故，由，得，代入，得，故，則.【變式8-3】（2024·高二·陜西寶雞·期中）已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線C的離心率為2，右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)若經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，求直線ON的斜率的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)題意得，得，

∴雙曲線C的方程為；（2）∵，∴，∴，

設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，

整理得，則，整理得，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，于是注意到，于是，解得，

又點(diǎn)N滿足，即，整理得，

兩式消除得，代入消去m得，

因此點(diǎn)N的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，

其漸近線斜率為，∴直線的斜率范圍為.【變式8-4】（2024·高二·廣西梧州·階段練習(xí)）已知動點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，且的最小值為5.(1)求的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率.【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時，取得最小值，則，整理得，解得或，因?yàn)?，所以，故的方程?（2）設(shè)過點(diǎn)的直線.聯(lián)立，消元得，則，由，得代入韋達(dá)定理得：化簡得，得或.故的斜率為4或.題型九：中點(diǎn)弦問題【典例9-1】（2024·高二·廣東中山·期中）對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)？為什么？【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入，，得，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）如圖：設(shè)直線方程：，聯(lián)立得，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，所以或或.（或：且）.（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由（2）可得，若P為AB中點(diǎn)，則，此時，所以不存在實(shí)數(shù)，使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)..【典例9-2】（2024·高二·貴州黔東南·期末）已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若是上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為5，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上．【解析】（1）因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，由，得，所以的方程為．（2）證明：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則兩式相減并整理得，，設(shè)，依題意可得所以，即，所以，即，所以點(diǎn)在直線上．【變式9-1】（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長為2.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長為2，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性可知，若線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率存在，設(shè)為，且，，可得直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，設(shè)Ax則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【變式9-2】（2024·高二·四川雅安·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【解析】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即．【變式9-3】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程(2)已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【解析】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線C的方程為；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，，，則，兩式相減得，整理得，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故，所以，所以直線的方程為，即.【變式9-4】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的斜率.【解析】（1）設(shè)，由題意可知：，兩邊同時平方，得所以的方程為或.（2）由題可知曲線為，設(shè)，，則.由得，所以的斜率為.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例10-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若曲線上存在四個點(diǎn)，過動點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，則，，，化簡得，或（舍去），即在以O(shè)為圓心的圓上，軌跡方程為，如上圖所示，易知曲線過定點(diǎn)，記為，若，最多與圓有一個交點(diǎn)，不符合題意，可排除C、D選項(xiàng)；若，先判定與相切的情況，則圓心到直線的距離為，由圖形可知當(dāng)時，曲線與有四個交點(diǎn).故選：B【典例10-2】（2024·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義：橢圓中長度為整數(shù)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為“好弦”．則橢圓中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【解析】由已知可得，所以，即橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對于過右焦點(diǎn)的弦，則有：當(dāng)弦與軸重合時，則弦長，當(dāng)弦不與軸重合時，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得：，則，故，∵，則，可得，即，∴，綜上所述：，故弦長為整數(shù)有，由橢圓的對稱性可得：“好弦”的長度和為．故選：B．【變式10-1】（2024·上海浦東新·高二海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）過定點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)斜率不存在時，直線方程為，只有一個公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則直線方程為，聯(lián)立，得，①當(dāng)時，直線方程為，只有一個公共點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時，令，解得，即直線與拋物線有一個公共點(diǎn).所以滿足題意的直線有3條.故選：C【變式10-2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以漸近線方程為；由，消去整理得．①當(dāng)即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)即時，由，解得，此時直線雙曲線相切于一個公共點(diǎn)，符合題意，綜上所述：符合題意的的所有取值為或，故選：D【變式10-3】（2024·重慶渝中·高二重慶市求精中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線的條數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】當(dāng)不存在時，直線不滿足條件；設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，當(dāng)時，即，當(dāng)時，方程無解，不符合題意，當(dāng)時，方程只有一解，滿足條件；當(dāng)時，，即解得：或（舍去），綜上可知，滿足條件的有或，共2條直線.故選：B②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例11-1】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，橢圓：()的右焦點(diǎn)為F，離心率為e，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，，．若，則離心率e的最小值是．

【答案】【解析】∵點(diǎn)P是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，∴，設(shè)直線OP的斜率為k，則．由可得，故，∴，∵，故，∴，解得，∵對任意的恒成立，故，整理得到對任意的恒成立，故只需，即，即，故離心率e最小值為．故答案為：【典例11-2】（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最大值為【答案】6【解析】圓的方程為，圓心，半徑，設(shè)，則，，到圓心的距離，又當(dāng)時，取得最大值，的最大值為：，故答案為