《向量數(shù)量積的拓展應(yīng)用》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《向量數(shù)量積的拓展應(yīng)用》同步學(xué)案情境導(dǎo)入類比數(shù)的乘法運(yùn)算律,結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律,請(qǐng)猜想一下,數(shù)量積運(yùn)算有哪些運(yùn)算律?你能證明嗎?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律:(1)a?b=(2)(λa)?b(3)(a答案1.12λa(3)預(yù)習(xí)測評(píng)1.下列等式中錯(cuò)誤的是()A.aB.(C.(D.(2.若非零向量a,b滿足|a|=|bA.30B.60C.120D.1503.已知a⊥b,|a|=4,|b|=2A.1B.-C.±D.1答案1.D解析:本題主要考查數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律.A,B,C顯然正確,D錯(cuò)誤.2.C解析:因?yàn)?2a+b)?b=2a?b+b?b=03.A解析:∵3新知探究探究點(diǎn)1數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律知識(shí)詳解已知向量a,b,c和實(shí)數(shù)(1)a?b=b(2)(λa)(3)(a+b[特別提示]1.實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若bc=ca,c≠0,則有b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若a?b=a2.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(a?b)?c不一定等于a?(b?c),這是由于(a?b)典例探究例1設(shè)a,b,c是任意的非零向量,a?(b?c)(3a其中是真命題的是_______.解析:a?(b?c)表示與向量a共線的向量,(c?a)?b表示與向量b共線的向量,而a,b不共線,所以①錯(cuò)誤;由[(b?c)?答案:③變式訓(xùn)練1設(shè)a,b,c①a=②a?③a?④a?其中正確的是_____.答案①③解析①利用數(shù)量積定義可知是正確的;②a?c=b?c?(a-b)?c=0,不一定有a=b;③由數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律可判斷是正確的;④a?例2已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=|解析:b?答案:0變式訓(xùn)練2已知向量a,b滿足a?b=A.0B.2C.4D.8答案:B解析:|2a探究點(diǎn)2利用向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律解決幾何圖形問題知識(shí)詳解利用向量數(shù)量積及其運(yùn)算律解決幾何問題一般分為三步:一是用向量表示幾何關(guān)系;二是進(jìn)行向量運(yùn)算;三是還原為幾何結(jié)論.[特別提示]判斷三角形或四邊形的形狀時(shí),一般是由邊長和角的關(guān)系來進(jìn)行判斷,充分利用向量的數(shù)量積公式尋求圖形的邊角關(guān)系,從而判斷圖形形狀.典例探究例3如圖,在四邊形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,解析:因?yàn)閍+所以a+b=-(即a2又a?b=c即|a|同理可得|a|①-②,得|b|2=①變形為|a|2-|d|2=同理可得|a|=|b因?yàn)锳B//CD,所以a=-c.又因?yàn)閍?b=b?c,所以b?(a-答案正方形變式訓(xùn)練3如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,但不平行,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),MN與BA,CD的延長線分別交于點(diǎn)答案:設(shè)AB=因?yàn)镸N=所以2MN因?yàn)镸,N分別為AD所以MA+所以2MN=0+因?yàn)锳B=CD,設(shè)|a|=|b|=k,∠APM=θ1,∠DQM=θ2,因?yàn)镸N?AB==所以|a所以cosθ同理可得cosθ所以cosθ又θ1,θ2∈[0,π方法技巧:解析證明兩角相等,可以通過兩角的某一三角函數(shù)值相等來證明,但要注意兩角要在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間上.易錯(cuò)易混解讀例設(shè)兩個(gè)向量e1,e2,滿足e1=2,e2=1,e1與e錯(cuò)解:由向量2te1+7e2即2t化簡即得2t解得-7錯(cuò)因分析:當(dāng)向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為π正解:由向量2te1+7e2即2t化簡即得2t解得-7設(shè)2te1+7e∵e1與e2不∴可得2t-λ=0,∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是-7,糾錯(cuò)心得1.本題易混淆兩非零向量的夾角為鈍角與兩向量的數(shù)量積小于零的關(guān)系,忽視向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為2.由于a?b<0包含了兩向量的夾角為180°的情況,a?課堂檢測1.若非零向量a,b滿足|a|=|bA.30° B.45° C.135° 2.若向量a與b的夾角為60°,|b|=A.2 B.4 C.6 D.123.若向量a,b滿足|a|=2,|bA.3 B.22 C.10 D.4.已知向量a,b的夾角為120°,|a|=|A.1 B.12