2024-2025學年高中數學第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.2空間向量的數乘運算學案含解析新人教A版選修2-1

PAGE8-3.1.2空間向量的數乘運算[目標]1.駕馭空間向量的數乘運算的定義和運算律，了解共線(平行)向量的意義.2.理解共線向量定理和共面對量定理及其推論，會證明空間三點共線與四點共面問題．[重點]應用共線定理與共面定理解決共線問題與共面問題．[難點]證明線面平行與面面平行．學問點一空間向量的數乘運算[填一填][答一答]1．空間向量的數乘運算與平面對量的數乘運算有什么關系？提示：相同．2．類比平面對量，空間向量的數乘運算滿意(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，對嗎？提示：正確．類比平面對量的運算律可知．學問點二共線、共面定理[填一填][答一答]3．a＝λb是向量a與b共線的充要條件嗎？提示：不是．由a＝λb可得出a，b共線，而由a，b共線不肯定能得出a＝λb，如當b＝0，a≠0時．4．空間中隨意兩個向量肯定共面嗎？隨意三個向量呢？提示：空間隨意兩個向量肯定共面，但空間隨意三個向量不肯定共面．5．共面對量定理中為什么要求a，b不共線？提示：假如a，b共線，則p肯定與向量a，b共面，卻不肯定存在實數組(x，y)，使p＝xa＋yb，所以共面對量基本定理的充要條件要去掉a，b共線的狀況．6．已知空間隨意一點O和不共線的三點A，B，C，滿意向量關系式eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))(其中x＋y＋z＝1)的點P與點A，B，C是否共面？提示：四點共面．∵x＋y＋z＝1，∴x＝1－y－z，又∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))∴eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝y(tǒng)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))∴eq\o(AP,\s\up16(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AC,\s\up16(→))，∴點P與點A，B，C共面．1．共線向量、共面對量不具有傳遞性．2．共線向量定理及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據．定理中的條件a≠0不行遺漏．3．直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無限多個，它們的方向相同或相反．4．空間隨意兩個向量總是共面的，空間隨意三個向量可能共面，也可能不共面．5．向量p與a，b共面的充要條件是在a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立．類型一空間向量的數乘運算【例1】設O為?ABCD所在平面外隨意一點，E為OC的中點，試用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))表示eq\o(AE,\s\up16(→)).【分析】將向量eq\o(AE,\s\up16(→))分解成eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))的線性組合的形式．【解】由題意，可以作出如下圖所示的幾何圖形．在封閉圖形ADOE中，有：eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))，①在△AOD中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)).②在△BOC中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BO,\s\up16(→))，∵eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)).又∵eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→)).③又eq\o(DO,\s\up16(→))＝－eq\o(OD,\s\up16(→))，④將②、③、④代入①可得：eq\o(AE,\s\up16(→))＝(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))－eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OD,\s\up16(→))))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→)).找尋到以欲表示的向量所對應的線段為其一邊的一個封閉圖形，利用這一圖形中欲求向量與已知向量所在線段的聯系進行相應的向量運算是處理此類問題的基本技巧，一般地，可以找到的封閉圖形不是唯一的.但需知，無論哪一種途徑，結果應是唯一的.如下圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b,eq\o(AA′,\s\up16(→))＝c，E和F分別是AD′和BD的中點，用向量a，b，c表示eq\o(D′B,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→)).解：eq\o(D′B,\s\up16(→))＝eq\o(D′A′,\s\up16(→))＋eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\o(B′B,\s\up16(→))＝－b＋a－c.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(EA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D′A,\s\up16(→))＋a＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(－b－c)＋a＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝eq\f(1,2)(a－c)．類型二空間向量的共線問題【例2】如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，推斷eq\o(CE,\s\up16(→))與eq\o(MN,\s\up16(→))是否共線．【解】因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up16(→)).又因為eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))－eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up16(→))，以上兩式相加得eq\o(CE,\s\up16(→))＝2eq\o(MN,\s\up16(→))，所以eq\o(CE,\s\up16(→))∥eq\o(MN,\s\up16(→))，即eq\o(CE,\s\up16(→))與eq\o(MN,\s\up16(→))共線．推斷向量共線就是充分利用已知條件找到實數λ，使a＝λb成立，同時要充分運用空間向量的運算法則，結合空間圖形，化簡得出a＝λb，從而得出a∥b.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up16(→))＝2eq\o(ED1,\s\up16(→))，F在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up16(→)).求證：E，F，B三點共線．證明：設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up16(→))＝2eq\o(ED1,\s\up16(→))，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up16(→))，∴eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up16(→))，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up16(→)).∴eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(A1F,\s\up16(→))－eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(EA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up16(→))，所以E，F，B三點共線．類型三空間向量的共面問題【例3】已知A，B，C三點不共線，平面ABC外一點M滿意eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))三個向量是否共面；(2)推斷M是否在平面ABC內．【解】(1)∵eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝3eq\o(OM,\s\up16(→))，∴eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OM,\s\up16(→))＝(eq\o(OM,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＋(eq\o(OM,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\o(BM,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→))，∴eq\o(MA,\s\up16(→))＝eq\o(BM,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→))＝－eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內．1證明向量共面，可以利用共面對量的充要條件，也可干脆利用定義，通過線面平行或直線在平面內進行證明.2向量共面對量所在的直線不肯定共面，只有這些向量都過同一點時向量所在的直線才共面向量的起點、終點共面.已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(1)E，F，G，H四點共面．(2)BD∥平面EFGH.證明：如下圖，連接EG，BG.(1)因為eq\o(EG,\s\up16(→))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\o(EH,\s\up16(→))＝eq\o(EF,\s\up16(→))＋eq\o(EH,\s\up16(→))，由向量共面的充要條件知：E，F，G，H四點共面．(2)因為eq\o(EH,\s\up16(→))＝eq\o(AH,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1．下列命題中正確的是(C)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λb解析：A中，若b＝0，則a與c不肯定共線；B中，共面對量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不肯定共面；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ.2．當|a|＝|b|≠0，且a、b不共線時，a＋b與a－b的關系是(A)A．共面 B．不共面C．共線 D．無法確定解析：a＋b與a－b不共線，則它們共面．3．設O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，則(x，y，z)為(A)A．(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)) B．(eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4))C．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)) D．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3))解析：因為eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AG1,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))，而eq\o(OG,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(