2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2.3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

4.2.3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)詳細(xì)實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出詳細(xì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像,探究并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點(diǎn),發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).3.能初步運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決諸如比較大小等簡(jiǎn)潔問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).4.類比指數(shù)函數(shù)的探討過(guò)程,經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像的探討內(nèi)容和方法,再次提升和豐富函數(shù)性質(zhì)和圖像探討的基本思想和基本活動(dòng)閱歷.自主預(yù)習(xí)1.我們之前是以怎樣的探討思路來(lái)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的?指數(shù)函數(shù)都有哪些性質(zhì)?(1)由特別到

歸納得到一般函數(shù):(2)由“圖像的特征(形)”到“(數(shù))”

y=ax0<a<1a>1性質(zhì)定義域值域過(guò)定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性范圍當(dāng)x>0時(shí),;

當(dāng)x<0時(shí),.

當(dāng)x>0時(shí),;

當(dāng)x<0時(shí),.

2.指數(shù)式ax=N化為對(duì)數(shù)式是什么?對(duì)數(shù)式中a的取值范圍是什么?N的取值范圍是什么?3.計(jì)算:log214=;log122log121=;log13log33=.

課堂探究1996年在青州龍興寺遺址出土400余尊佛像被列為當(dāng)年中國(guó)十大考古發(fā)覺(jué)之首.先后在美、日、德、英、瑞等世界各國(guó)舉辦過(guò)多次展覽,轟動(dòng)海內(nèi)外!其中一尊衣著雍容華貴的無(wú)臂菩薩像,被譽(yù)為“東方維納斯”.我們已經(jīng)知道,文物埋藏x年后體內(nèi)碳14的含量y滿意y=12x5730,也就是說(shuō)問(wèn)題1:(1)假如測(cè)得某文物中碳14的含量為0.5,那么文物的埋藏時(shí)間x應(yīng)等于多少?(2)給定一個(gè)y值有多少個(gè)x與之對(duì)應(yīng)?(3)這里的x能看成y的函數(shù)嗎?為什么?一般地,函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.

(一)回顧閱歷,明確思路問(wèn)題2:類比指數(shù)函數(shù)的探討過(guò)程,對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像,你能提出問(wèn)題的探討思路嗎?(二)動(dòng)手操作,形成感知問(wèn)題3:請(qǐng)畫出函數(shù)y=log2x中的圖像,依據(jù)畫函數(shù)圖像的步驟,想一想列表時(shí),自變量你會(huì)選取哪些有代表性的數(shù)值呢?xy=log2xy=log1問(wèn)題4:我們體驗(yàn)了y=log2x的作圖過(guò)程,視察其圖像的特點(diǎn),你能得出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的哪些性質(zhì)?問(wèn)題5:類比指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究過(guò)程,還須要畫出另一個(gè)特別函數(shù)y=log12x的圖像,請(qǐng)先用描點(diǎn)法畫出其圖像,然后思索如何由y=log2仔細(xì)視察上面兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征,它們有哪些異同點(diǎn),填寫下面的表格.視察y=log2x的圖像視察y=log12圖像特征代數(shù)表述圖像特征代數(shù)表述圖像位于y軸的

定義域

圖像位于y軸的

定義域

圖像向上、向下

值域

圖像向上、向下

值域

自左向右看,圖像

單調(diào)性

自左向右看,圖像

單調(diào)性

(三)理性相識(shí),概括性質(zhì)問(wèn)題6:為了得到對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的性質(zhì),我們還須要畫出更多詳細(xì)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像進(jìn)行視察,底數(shù)如何選取?合作探究:借助于幾何畫板,選取底數(shù)a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像,視察這些函數(shù)圖像的位置、公共點(diǎn)和改變趨勢(shì),它們有哪些共性?由此,你能概括出對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的值域和性質(zhì)嗎?0<a<1a>1圖像定義域值域性質(zhì)定點(diǎn)單調(diào)性(四)鞏固練習(xí),學(xué)以致用例1求下列函數(shù)的定義域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.例2比較下列各題中兩個(gè)值的大小.(1)log0.33與log0.35;(2)ln3與ln3.001;(3)log70.5與0.變式訓(xùn)練比較下列兩個(gè)值的大小.loga3與loga5(a>0,且a≠1).方法提煉:拓展性問(wèn)題:已知log0.72m<log0.7(m-1),求m的取值范圍.(五)課堂小結(jié),總結(jié)升華通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?(學(xué)問(wèn)層面,思想方法層面)(六)當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),f(x)的定義域是.

2.下列關(guān)系式中,成立的是()A.log34>0>log1310 B.log1310>0C.log34>log1310>0 D.log1310>log核心素養(yǎng)專練閱讀課本,結(jié)合學(xué)案,進(jìn)行學(xué)問(wèn)整理,形成系統(tǒng).必做題A組,選做題B組.A組:課本27頁(yè)練習(xí)A第1,3,4,5題,28頁(yè)練習(xí)B第1,2題.B組1.函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a的值.2.已知loga34<1(a>0且a≠1),求a的取值范圍3.溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.(1)依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計(jì)算公式,說(shuō)明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的改變關(guān)系;(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7摩爾/升,計(jì)算純凈水的pH.4.查閱資料,了解更多對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)學(xué)問(wèn)和對(duì)數(shù)函數(shù)在考古、人口增長(zhǎng)率、種群繁殖等方面的應(yīng)用.參考答案自主預(yù)習(xí)1.(1)一般(2)圖像的性質(zhì)y=ax0<a<1a>1性質(zhì)定義域R值域(0,+∞)過(guò)定點(diǎn)(0,1)奇偶性非奇非偶單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)范圍當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1.當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<12.x=logaN;a>0,a≠1;N>03.-2-10-21課堂探究問(wèn)題1:(1)x=5730;(2)一個(gè)y值只有一個(gè)x與它對(duì)應(yīng);(3)能,依據(jù)函數(shù)的定義.y=logax問(wèn)題2:通過(guò)畫特別函數(shù)的圖像,由圖像探討其性質(zhì),探討其定義域、值域、單調(diào)性等.問(wèn)題3:依據(jù)自主預(yù)習(xí),對(duì)數(shù)值有正有負(fù),所以x除了取整數(shù)1,2,4,8之外,還要取一些分?jǐn)?shù):12,14,18問(wèn)題4:見(jiàn)表格左側(cè)部分視察y=log2x的圖像視察y=log12圖像特征代數(shù)表述圖像特征代數(shù)表述圖像位于y軸的右側(cè)定義域(0,+∞)圖像位于y軸的右側(cè)定義域(0,+∞)圖像向上、向下無(wú)限延長(zhǎng)值域R圖像向上、向下無(wú)限延長(zhǎng)值域R自左向右看,圖像漸漸上升單調(diào)性增函數(shù)自左向右看,圖像漸漸降低單調(diào)性減函數(shù)問(wèn)題5:列表、描點(diǎn)、連線;或是利用與y=log2x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,來(lái)畫出.表格見(jiàn)上表.問(wèn)題6:底數(shù)分別取幾個(gè)大于1和大于0小于1的數(shù).填表略例1:(1)(-∞,4)(2)(-∞,0)∪(0,+∞)例2:(1)log0.33>log0.35(2)ln3<ln3.001(3)log70.5<0變式訓(xùn)練當(dāng)a>1時(shí),loga3<loga5;當(dāng)0<a<1時(shí),loga3>loga5.拓展性問(wèn)題:m>1課堂小結(jié)略當(dāng)堂推想略核心素養(yǎng)專練B組1.a=2或a=122.(0,34)∪(1,3.(1)y=-lgx是減函數(shù),所以當(dāng)溶液中氫離子的濃度增加時(shí),溶液的pH減小,當(dāng)溶液中氫離子的濃度減小時(shí),溶液的pH增大.(2)pH=74.略學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能建立函數(shù)關(guān)系,找出底數(shù).2.能畫出函數(shù)的圖像,能比較底數(shù)的大小3.能比較函數(shù)值的大小,能求定義域和解對(duì)數(shù)不等式.自主預(yù)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)一般地,函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的性質(zhì):(1)定義域是,因此函數(shù)圖像肯定在y軸的右邊.

(2)值域是實(shí)數(shù)集.

(3)函數(shù)圖像肯定過(guò)點(diǎn).

(4)當(dāng)a>1時(shí),y=logax是;當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax是.

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像(6)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax和y=log1ax的圖像關(guān)于課堂探究例1比較下列各題中兩個(gè)值的大小.(1)log0.33與log0.35;(2)ln3與ln3.001;(3)log70.5與0.例2已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍.例3求下列函數(shù)的定義域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.核心素養(yǎng)專練1.下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()A.y=loga(2x) B.y=log22xC.y=log2(x+1) D.y=lgx2.函數(shù)f(x)=11-x+lg(3x+A.-13C.-133.函數(shù)y=ax與y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的圖像形態(tài)可能是()參考答案自主預(yù)習(xí)y=logax(1)(0,+∞)(2)R(3)(1,0)(4)增函數(shù)減函數(shù)(6)x軸課堂探究例1解:(1)因?yàn)?<0.3<1,所以y=log0.3x是減函數(shù),又因?yàn)?<5,所以log0.33>log0.35.(2)因?yàn)閑>1,所以y=lnx是增函數(shù),又因?yàn)?.001>3,所以ln3<ln3.001.(3)因?yàn)?>1,所以y=log7x是增函數(shù),又因?yàn)閘og71=0,而且0.5<1,所以log70.