2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE其次章2.22.2.1A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(C)A．雙曲線 B．雙曲線左支C．一條射線 D．雙曲線右支[解析]∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線．2．雙曲線3x2－4y2＝－12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(D)A．(±5,0) B．(0，±eq\r(5))C．(±eq\r(7)，0) D．(0，±eq\r(7))[解析]雙曲線3x2－4y2＝－12化為標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝eq\r(7)，又∵焦點(diǎn)在y軸上，故選D．3．已知方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是(A)A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－1[解析]由題意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.4．若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3＋m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則m的值為(A)A．eq\f(1,2) B．1或3C．eq\f(1＋\r(2),2) D．eq\f(\r(2)－1,2)[解析]由題意得a2＝m，b2＝3＋m，∴c2＝a2＋b2＝2m＋3＝4，∴2m＝1，∴m＝eq\f(1,2)，故選A．5．(2024·浙江，2)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(B)A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)[解析]∵雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，即得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．故選B．6．若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(B)A．11 B．9C．5 D．3[解析]由題，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－|PF2|))＝2a＝6，解得|PF2|＝9.二、填空題7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為__4__.[解析]橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)(±eq\r(7)，0)，則a2－9＝7，∴a＝4.8．已知雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，若雙曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)F1的距離為12，則點(diǎn)P到點(diǎn)F2的距離為__2或22__.[解析]設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.三、解答題9．求滿意下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與已知雙曲線x2－4y2＝4有共同漸近線且經(jīng)過點(diǎn)(2,2)；(2)過P(3，eq\f(15,4))和Q(－eq\f(16,3)，5)兩點(diǎn)．[解析](1)設(shè)所求雙曲線方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)把(2,2)代入得λ＝－12.∴所求雙曲線為x2－4y2＝－12，即eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)＝1.(2)設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1,\f(256,9)A＋25B＝1))，解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16),B＝\f(1,9))).∴所求雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq\r(5)，0)，點(diǎn)P在該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的方程是(B)A．eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1[解析]由條件知P(eq\r(5)，4)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，∴eq\f(5,a2)－eq\f(16,b2)＝1，又a2＋b2＝5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,b2＝4))，故選B．2．若θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則曲線x2sinθ＋y2cosθ＝1是(A)A．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓[解析]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴sinθcosθ＝－eq\f(12,25)＜0.又θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinθ＞0，cosθ＜0，故選A．3．(多選題)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，以AF為直徑的圓M與圓x2＋y2＝a2的位置關(guān)系不行能是(ACD)A．相交 B．外切C．相離 D．內(nèi)切[解析]設(shè)F′為左焦點(diǎn)，則AF′－AF＝2a，從而圓心O到AF中點(diǎn)M距離為a＋eq\f(AF,2)，所以以AF為直徑的圓M與圓x2＋y2＝a2的位置關(guān)系是外切，選ACD．4．(多選題)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)不行能是(ABC)A．16 B．18C．21 D．26[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.二、填空題5．設(shè)雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，有一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(15)，4)，則此雙曲線的方程為__eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1__.[解析]解法一：橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，依據(jù)雙曲線的定義，知2a＝|eq\r(\r(15)2＋12)－eq\r(\r(15)2＋72)|＝4，故a＝2.又b2＝c2－a2＝5，故所求雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.解法二：橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)．設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.解法三：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,27－λ)＋eq\f(y2,36－λ)＝1(27<λ<36)，由于雙曲線過點(diǎn)(eq\r(15)，4)，故eq\f(15,27－λ)＋eq\f(16,36－λ)＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.6．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m－5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)到中心的距離為3，若焦點(diǎn)在x軸上，那么m＝__7__.[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，有m>5，則c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7.三、解答題7．已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，求k的值．[解析]由題意知c＝3，若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為eq\f(x2,\f(k,2))－eq\f(y2,k)＝1，∴eq\f(k,2)＋k＝32，即k＝6.若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為eq\f(y2,－k)－eq\f(x2,\f(－k,2))＝1.∴－k＋(－eq\f(k,2))＝32，即k＝－6.綜上，k的值為6或－6.8．當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線如何改變？[解析](1)當(dāng)α＝0°時(shí)，方程為x2＝1，它表示兩條平行直線x＝±1.(2)當(dāng)0°<α<90°時(shí)，方程為eq\f(x2,\f(1,cosα))＋eq\f(y2,\f(1,sinα))＝1.①當(dāng)0°<α<45°時(shí)，0<eq\f(1,cosα)<eq\f(1,sinα)，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．②當(dāng)α＝45°時(shí)，它表示圓x2＋y2＝eq\r