2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE9-對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用(15分鐘35分)1.函數(shù)y=f(x)是y=ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f(x2)=2f(x) B.f(2x)=f(x)+f(2)C.fQUOTE=f(x)-f(2) D.f(2x)=2f(x)【解析】選D.由題意，f(x)=logax，所以f(2x)=loga2x=loga2+logax=f(2)+f(x)，f(x2)=logax2=2logax=2f(x)，fQUOTE=logaQUOTE=logax-loga2=f(x)-f(2)，故D是錯(cuò)誤的.2.若函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】選B.當(dāng)a>1時(shí)，a+loga2+1=a，loga2=-1，a=QUOTE(舍去).當(dāng)0<a<1時(shí)，1+a+loga2=a，所以loga2=-1，a=QUOTE.3.若函數(shù)f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2，m+2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.依據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得-x2+4x+5>0，解得-1<x<5.因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-x2+4x+5圖象的對(duì)稱軸為x=2，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，5)，要使函數(shù)f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2，m+2)上單調(diào)遞增，只需QUOTE解得QUOTE≤m<2.4.(2024·閔行高一檢測(cè))函數(shù)y=3x(x≥2)的反函數(shù)g(x)=_______.

【解析】函數(shù)y=3x(x≥2)中，y≥9，所以反函數(shù)解析式為g(x)=log3x，x∈[9，+∞).答案：log3x，x∈[9，+∞)5.(2024·揚(yáng)州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lg(2+x2)，則滿意不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范圍為_______.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lg(2+x2)，滿意不等式f(2x-1)<f(3)，所以(2x-1)2<9，即-3<2x-1<3，解得-1<x<2.答案：(-1，2)6.已知函數(shù)f(x)=loga(x+2)+loga(3-x)，其中0<a<1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域.(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-4，求a的值.【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則有QUOTE，解得-2<x<3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?-2，3).(2)函數(shù)f(x)=loga[(x+2)(3-x)]=loga(-x2+x+6)=因?yàn)?2<x<3，所以因?yàn)?<a<1，所以≥logaQUOTE，即f(x)min=logaQUOTE，由logaQUOTE=-4，a-4=QUOTE，所以a=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.函數(shù)y=lg(x+QUOTE)是 ()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【解題指南】利用定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算推斷.【解析】選B.已知函數(shù)的定義域是R，因?yàn)閒(-x)=lg(QUOTE-x)=lg(QUOTE)=-lg(QUOTE+x)=-f(x).所以y是奇函數(shù).2.函數(shù)y=logax在[2，+∞)上恒有|y|>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.QUOTE∪(1，2) B.QUOTE∪(1，2)C.(1，2) D.QUOTE∪(2，+∞)【解析】選A.由題意可得，當(dāng)x≥2時(shí)，|logax|>1恒成立.若a>1，函數(shù)y=logax是增函數(shù)，不等式|logax|>1即logax>1，所以loga2>1=logaa，解得1<a<2.若0<a<1，函數(shù)y=logax是減函數(shù)，函數(shù)y=loQUOTEx是增函數(shù)，不等式|logax|>1，即loQUOTEx>1，所以有l(wèi)oQUOTE2>1=loQUOTE得1<QUOTE<2，解得QUOTE<a<1.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是QUOTE∪(1，2).3.(2024·濱海高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|x|，且a=fQUOTE，b=fQUOTE，c=f(2-1)，則a，b，c的大小關(guān)系為 ()A.a<c<b B.b<c<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】選A.由f(x)=|x|，知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閘nQUOTE<2-1<QUOTE，所以a<c<b.4.(2024·杭州高一檢測(cè))已知y=loga(2-ax)在[0，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為 ()A.(0，1) B.(1，2)C.(0，2) D.(2，+∞)【解析】選B.因?yàn)閒(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(0)>f(1)，即loga2>loga(2-a).所以QUOTE，所以1<a<2.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若fQUOTE>QUOTE恒成立，則f(x)稱為[a，b]上的凸函數(shù).下列函數(shù)中在其定義域上為凸函數(shù)的是 ()A.y=2x B.y=log2xC.y=-x2 D.y=QUOTE【解析】選BCD.依據(jù)題意：任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若fQUOTE>QUOTE恒成立，則f(x)稱為[a，b]上的凸函數(shù)知：在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取不同的兩點(diǎn)A，B，函數(shù)f(x)的圖象總在線段AB(端點(diǎn)除外)的上方，則函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示.所以視察y=log2x，y=-x2，y=QUOTE在其定義域上的圖象，滿意凸函數(shù)的概念，所以y=log2x，y=-x2，y=QUOTE是凸函數(shù).6.設(shè)函數(shù)f(x)=loQUOTEx，下列四個(gè)命題正確的是 ()A.函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)B.若f(a)=|f(b)|其中a>0，b>0，a≠b，則ab=1C.函數(shù)f(-x2+2x)在(1，3)上單調(diào)遞增D.若0<a<1，則|f(1+a)|>|f(1-a)|【解析】選AB.f(x)=loQUOTEx，x>0.函數(shù)f(|x|)=loQUOTE|x|，因?yàn)閒(|-x|)=f(|x|)，所以f(|x|)為偶函數(shù)，A正確；若f(a)=|f(b)|，其中a>0，b>0，因?yàn)閍≠b，所以f(a)=|f(b)|=-f(b)，所以loQUOTEa+loQUOTEb=loQUOTE(ab)=0，所以ab=1.因此B正確.函數(shù)f(-x2+2x)=loQUOTE(-x2+2x)由-x2+2x>0，解得0<x<2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?0，2)，因此在(1，3)上不具有單調(diào)性，C不正確；若0<a<1，所以1+a>1-a，所以f(1+a)<0<f(1-a)，故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)=-loQUOTE(1-a2)<0，即|f(1+a)|<|f(1-a)|，因此D不正確.【光速解題】選項(xiàng)D中，可取a=QUOTE，易知QUOTE<QUOTE三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數(shù)f(x)=loga(2x-a)，x∈QUOTE.當(dāng)a=QUOTE時(shí)，函數(shù)的最小值為_______；若恒有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】當(dāng)a=QUOTE時(shí)，函數(shù)f(x)=loQUOTE在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減，當(dāng)x=QUOTE時(shí)取最小值為QUOTE=QUOTE1=0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上恒有f(x)>0，所以a>1，且2×QUOTE-a>1；或0<a<1，且0<2×QUOTE-a<1.解得a∈?，或QUOTE<a<1，所以QUOTE<a<1.答案：0QUOTE8.若函數(shù)y=loga(x2-ax+1)有最小值，則a的取值范圍是_______.

【解析】令g(x)=x2-ax+1(a>0，且a≠1)，①當(dāng)a>1時(shí)，y=logax在R+上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)有最小值，必需g(x)min>0，所以Δ<0，解得-2<a<2，所以1<a<2；②當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)=x2-ax+1沒有最大值，從而不能使得函數(shù)y=loga(x2-ax+1)有最小值，不符合題意.綜上所述：1<a<2.答案：1<a<2四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1).(1)若a>1，解不等式f(x)<0.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閍>1，loga(1-ax)<0，所以loga(1-ax)<loga1，所以0<1-ax<1，所以-1<-ax<0，解得0<x<QUOTE.所以a>1時(shí)，不等式的解集為QUOTE.(2)因?yàn)殛P(guān)于x的函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2]上單調(diào)遞增，而t=1-ax在區(qū)間(0，2]上單調(diào)遞減，所以0<a<1，且t>0.再由QUOTE，解得0<a<QUOTE，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=log2(1+x2).求證：(1)函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.【證明】(1)函數(shù)f(x)的定義域是R，f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)設(shè)x1，x2為區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=log2(1+QUOTE)-log2(1+QUOTE)=log2QUOTE.由于0<x1<x2，則0<QUOTE<QUOTE，0<1+QUOTE<1+QUOTE，所以0<QUOTE<1，所以log2QUOTE<0，所以f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.1.已知函數(shù)f(x)=QUOTE若f(2-a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】因?yàn)閥=lg(x+1)在x>0上單調(diào)遞增，y=2x-1，在x≤0上單調(diào)遞增，所以f(x)=QUOTE在R上是增函數(shù).又f(2-a2)>f(a)，所以a<2-a2，解得-2<a<1.答案：(-2，1)2.已知函數(shù)f(x)=loQUOTE(mx2-2x+3).(1)若f(x)在(-∞，2]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.(2)若f(x)的值域?yàn)镽，求m的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(x)=loQUOTE(mx2-2x+3).令y=loQUOTEt，t=mx2-2x+3，(1)由于f(x)在(-∞，2]上單調(diào)遞增，所以t=mx2-2x+3在(-∞，2]