備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第2講-空間點、直線、平面之間的位置關系

第2講空間點、直線、平面之間的位置關系第七章立體幾何考向預測核心素養(yǎng)考查與點、線、面位置關系有關的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，主要為中低檔題．

直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算01基礎知識回顧一、知識梳理1．平面(1)四個基本事實基本事實1：過________________的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．不在一條直線上兩個點基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有______過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線______．(2)“三個”推論

推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條______直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條______直線，有且只有一個平面．一條平行相交平行相交平行任何(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：_____________________．[注意]

兩直線垂直有兩種情況——異面垂直和相交垂直．(3)空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角____________．相等或互補3．空間中直線、平面的位置關系位置關系符號直線和平面直線在平面內a?α直線在平面外直線與平面相交a∩α＝A直線與平面平行a∥α平面和平面兩平面平行α∥β兩平面相交α∩β＝l

常用結論1．異面直線的判定過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．2．幾個唯一性結論(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；(3)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．二、教材衍化1．(多選)(人A必修第二冊P128練習T2改編)下列命題是假命題的是(

)A．空間任意三個點確定一個平面B．一個點和一條直線確定一個平面C．兩兩相交的三條直線確定一個平面D．兩兩平行的三條直線確定三個平面√√√√2．(多選)(人A必修第二冊P132習題8.4T9改編)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是(

)A．AB與CD是異面直線B．GH與CD相交C．EF∥CDD．EF與AB異面√√√解析：把展開圖還原成正方體，如圖所示．還原后點G與C重合，點B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯誤，選ABC.3．(人A必修第二冊P132習題8.4T5改編)三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．解析：三個平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．答案：8

4一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.(

)(2)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個平面．(

)(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.(

)(4)分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線．(

)√×√√二、易錯糾偏1．(多選)(線面關系概念不清致誤)若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是(

)A．b?α

B.b∥αC．b與α相交

D.以上都不對√√√√2．(對于直線與直線的位置關系考慮不全面致誤)若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關系是(

)A．平行

B.異面C．相交

D.平行或異面或相交解析：如圖①②③所示，a，b的關系分別是平行、異面、相交．3.(異面直線所成的角概念理解不清致誤)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)A．30°

B.45°C．60°

D.90°解析：連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C或其補角為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.√02核心考點共研考點一基本事實的應用(綜合研析)復習指導：理解四個基本事實的作用．(2022·上海市南洋模范中學月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1與平面ACB1交于點P，設BD與AC相交于點O.求證：P∈直線B1O.【證明】

因為BD1?平面BDD1B1，且BD1與平面ACB1交于點P，所以點P是平面BDD1B1與平面ACB1的公共點，因為平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，所以P∈直線B1O.共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內．②證兩平面重合．(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．|跟蹤訓練|1.(多選)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖是(

)解析：對于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點共面；同理，B，C圖中四點也共面；D中四點不共面．√√√2.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(

)A．直線AC

B.直線AB

C．直線CD

D.直線BC解析：由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.√考點二空間位置關系的判斷(自主練透)復習指導：認識和理解空間點、線、面的位置關系．1．若平面α和直線a，b滿足a∩α＝A，b?α，則a與b的位置關系是(

)A．相交 B.平行C．異面

D.相交或異面解析：若A∈b，則a與b相交，若A?b，則a與b異面，故選D.√2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是(

)A．直線AA1

B.直線A1B1C．直線A1D1

D.直線B1C1解析：根據(jù)異面直線的概念可知直線AA1，A1B1，A1D1都和直線EF為異面直線．因為直線B1C1和EF在同一平面內，且這兩條直線不平行，所以直線B1C1和直線EF相交．√3.(多選)(鏈接常用結論1)(2022·廣州六校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，下列結論正確的是(

)A．AP與CM是異面直線B．AP，CM，DD1相交于一點C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D√√解析：連接MP，AC(圖略)，因為MP∥AC，MP≠AC，所以AP與CM是相交直線，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，

所以AP，CM，DD1相交于一點，則A不正確，B正確．令AC∩BD＝O，連接OD1，ON.因為M，N分別是C1D1，BC的中點，則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MN∥OD1，因為MN?平面BD1D，OD1?平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正確，D正確．4．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列說法中正確的序號為________．①若a平行于α內的無數(shù)條直線，則a∥α；②若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．解析：①忽略了a在α內這一情況，故①錯誤；②直線a與b沒有交點，所以直線a與b可能異面也可能平行，故②錯誤；③直線a與平面β沒有公共點，所以a∥β，故③正確；④直線a與平面β可能相交也可能平行，故④錯誤．答案：③點、線、面位置關系的判定(1)點、線、面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系．(2)兩條直線異面的判定：反證法或利用異面直線的判定定理．考點三異面直線所成的角(綜合研析)復習指導：求異面直線所成的角關鍵是轉化為平面角，常利用平移法解決．√√【解析】(2)如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角．平移法求異面直線所成角的步驟|跟蹤訓練|(2022·西安質檢)將正方形ABCD沿對角線AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，則直線AB與CD所成的角為(

)A．90°

B.60°

C.45°

D.30°√解析：如圖，取AC，BD，AD的中點，分別為O，M，N，連接ON，OM，MN，則ON∥CD，MN∥AB，所以∠ONM或其補角即為所求的角．因為平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC?平面ACD，所以BO⊥平面ACD，因為DO?平面ACD，所以BO⊥OD.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等邊三角形，∠ONM＝60°.所以直線AB與CD所成的角為60°.故選B.03課后達標檢測[A基礎達標]1．(2022·遂寧市射洪中學月考)下列命題中正確的是(

)A．經過三點確定一個平面B．經過兩條平行直線確定一個平面C．經過一條直線和一個點確定一個平面D．四邊形確定一個平面√解析：對于選項A：經過不共線的三點確定一個平面，故選項A錯誤，對于選項B：兩條平行直線唯一確定一個平面，故選項B正確，對于選項C：經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故選項C錯誤，對于選項D：因為空間四邊形不在一個平面內，故選項D錯誤．故選B.√2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直線，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，則(

)A．P∈c

B.P?cC．c∩a＝?

D.c∩β＝?解析：因為α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a?α，b?γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因為γ∩α＝c，所以P∈c，故選項A正確，選項B不正確；因為P∈c，P∈a，所以c，a有公共點P，故選項C不正確；因為P∈b，b?β，所以P∈β，因為P∈c，所以c與β有公共點P，故選項D不正確；故選A.3．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF∩HG＝P，則點P(

)A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：如圖，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B.√√4．(2020·高考浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的(

)A．充分不必要條件

B.必要不充分條件C．充分必要條件

D.既不充分也不必要條件解析：由m，n，l在同一平面內，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經過同一點，可設l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內，故選B.5.(多選)如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點，則(

)A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線√√解析：如圖，取棱CC1的中點N，A1D1的中點M，連接EM，MH，HN，NG，F(xiàn)G，AC，A1C1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F(xiàn)，G四點共面，同理可得E，M，G，N四點共面，E，F(xiàn)，H，N四點共面，所以E，M，H，N，G，F(xiàn)六點共面，均在平面EFGNHM內，因為EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF?平面EFGNHM，所以EF與GH是相交直線．由正方體的結構特征及中位線定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，6．已知在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關系是________．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因為AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．解析：如圖，將原圖補成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG或其補角為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．9.如圖，已知在空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．解：如圖，連接BD，并取其中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為60°.[B綜合應用]10．(多選)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則直線GH，MN是異面直線的圖形有(

)√√解析：

A中GH∥MN；B中，G，H，N三點共面，但M?平面GMN，因此GH，MN是異面直線；C中連接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直線GH與MN必相交；D中，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，因此GH，MN是異面直線．11．(多選)(2022·濰坊模擬)已知平面α∩平面β＝直線l，點A，C∈平面α，點B，D∈平面β，且A，B，C，D?l，點M，N分別是線段AB，CD的中點，則下列說法錯誤的是(

)A．當CD＝2AB時，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此時直線AC與l不可能相交C．當直線AB，CD相交，且AC∥l時，BD可與l相交D．當直線AB，CD異面時，MN可能與l平行√√√解析：

A選項，當CD＝2AB時，若A，B，C，D四點共面且AC∥BD時，M，N兩點能重合，可知A錯誤；B選項，若M，N重合，則AC∥BD，則AC∥平面β，故AC∥l，此時直線AC與直線l不可能相交，可知B正確；C選項，當AB與CD相交，且AC∥l時，直線BD與l平行，可知C錯誤；D選項，當AB與CD是異面直線時，MN不可能與l平行，可知D錯誤．故選ACD.√√√又GH∥BD，所以EF∥GH，因此E，F(xiàn)，G，H共面，A項正確；假設FG∥平面ADC成立，因為平面ABC∩平面DAC＝AC，因為FG?平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因為平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以