2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式課時作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE8-其次章一元二次函數(shù)、方程和不等式考試時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題正確的是(D)A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b>0，c>d，則a·c>b·dC．若a>b，則a·c2>b·c2D．若a·c2>b·c2，則a>b[解析]由題意，對于選項A中，當(dāng)a>0>b時，此時eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以A是錯誤的；對于選項B中，當(dāng)0>c>d時，此時不等式不肯定成立，所以B是錯誤的；對于選項C中，當(dāng)c＝0時，不等式不成立，所以C是錯誤的．依據(jù)不等式的性質(zhì)，可得若ac2>bc2時，則a>b是成立的，所以D是正確的．2．若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－1)≤0))))，B＝{x|－1<x<2}，則A∩B＝(C)A．{x|－2≤x<2} B．{x|－1<x≤1}C．{x|－1<x<1} D．{x|－1<x<2}[解析]由題意，A＝{x|eq\f(x＋2,x－1)≤0}＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－1<x<2}，則A∩B＝{x|－1<x<1}．3．設(shè)A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，其中a，b是正實(shí)數(shù)，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，則A與B的大小關(guān)系是(B)A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B[解析]因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，且a≠b，所以A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，所以A>B．4．已知2x＋3y＝3，若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是(C)A．eq\f(5,3) B．eq\f(8,3)C．8 D．24[解析]因?yàn)?x＋3y＝3，x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(eq\f(3,x)＋eq\f(2,y))(2x＋3y)＝eq\f(1,3)(12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y))≥eq\f(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y)),3)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(9y,x)＝eq\f(4x,y)且2x＋3y＝3，即x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)時取等號，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是8.5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．{a|－16<a<0} B．{a|－16<a≤0}C．{a|a<0} D．{a|－8<a<8}[解析]不等式4x2＋ax＋4>0的解集為R，所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|－8<a<8}．6．當(dāng)x>0時，不等式x2－mx＋9>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A)A．{m|m<6} B．{m|m≤6}C．{m|m≥6} D．{m|m>6}[解析]當(dāng)x>0時，不等式x2－mx＋9>0恒成立?當(dāng)x>0時，不等式m<x＋eq\f(9,x)恒成立?m<(x＋eq\f(9,x))min，當(dāng)x>0時，x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時取“＝”)，因此(x＋eq\f(9,x))min＝6，所以m<6.7．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝eq\r(pp－ap－bp－c)求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿意a＋b＝12，c＝8，則此三角形面積的最大值為(C)A．4eq\r(5) B．4eq\r(15)C．8eq\r(5) D．8eq\r(15)[解析]由題意，p＝10，S＝eq\r(1010－a10－b10－c)＝eq\r(2010－a10－b)≤eq\r(20)·eq\f(10－a＋10－b,2)＝8eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝6時取等號，所以此三角形面積的最大值為8eq\r(5).8．已知關(guān)于x的不等式eq\f(1,a)x2＋bx＋c<0(ab>1)的解集為空集，則T＝eq\f(1,2ab－1)＋eq\f(ab＋2c,ab－1)的最小值為(D)A．eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4[解析]易知a>0，則原不等式的解集為空集等價于x2＋abx＋ac<0的解集為空集，所以Δ＝a2b2－4ac≤0?4ac≥a2b2，所以T＝eq\f(1＋2ab＋4ac,2ab－1)≥eq\f(1＋2ab＋a2b2,2ab－1)＝eq\f(ab－12＋4ab－1＋4,2ab－1)＝eq\f(1,2)[(ab－1)＋eq\f(4,ab－1)＋4]≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ab－1＝eq\f(4,ab－1)，即ab＝3時，等號成立．二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，則下列結(jié)論正確的是(BCD)A．a(chǎn)>0 B．b>0C．c>0 D．a(chǎn)＋b＋c>0[解析]因?yàn)椴坏仁絘x2＋bx＋c>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，故相應(yīng)的二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，所以a<0，故A錯誤；易知2和－eq\f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，則有eq\f(c,a)＝－1<0，－eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正確；由二次函數(shù)的圖象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正確，故選BCD．10．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要條件是(AC)A．－2<x<0 B．－3<x<2C．0<x<3 D．－2<x<4[解析]由x2－x－6<0得－2<x<3，若使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要條件，則對應(yīng)范圍是{x|－2<x<3}的真子集，故選AC．11．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列不等式恒成立的是(CD)A．a(chǎn)2>ab B．a(chǎn)2<b2C．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．a(chǎn)3<b3[解析]對于A，當(dāng)a＝2，b＝3時，a<b，但22<2×3，故A中不等式不恒成立；對于B，當(dāng)a＝－2，b＝1時，a<b，但(－2)2>12，故B中不等式不恒成立；對于C，eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,ab2)<0恒成立，故C中不等式恒成立；對于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋eq\f(1,2)b)2＋eq\f(3,4)b2]，∵a<b，∴a－b<0，又(a＋eq\f(1,2)b)2＋eq\f(3,4)b2>0，∴a3<b3，故D中不等式恒成立，故選CD．12．設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，下列不等式中正確的是(BD)A．eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b) B．a(chǎn)>|a－b|－bC．a(chǎn)2＋b2>4ab－3b2 D．a(chǎn)b＋eq\f(2,ab)>2[解析]對于A，eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)?1>eq\f(2\r(ab),a＋b)?eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，當(dāng)a＝b>0時，不等式不成立，故A中不等式錯誤；對于B，a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b，故B中不等式正確；對于C，a2＋b2>4ab－3b2?a2＋4b2－4ab>0?(a－2b)2>0，當(dāng)a＝2b時，不等式不成立，故C中不等式錯誤；對于D，ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(2)>2，故D中不等式正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)13．若x∈{x|x>1}，則y＝3x＋eq\f(1,x－1)的最小值是__3＋2eq\r(3)__.[解析]∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋eq\f(1,x－1)＝3(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋3≥2eq\r(3x－1·\f(1,x－1))＋3＝3＋2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)3(x－1)＝eq\f(1,x－1)，即x＝eq\f(\r(3),3)＋1時取等號，因此y＝3x＋eq\f(1,x－1)的最小值是3＋2eq\r(3).14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，則a＝__－6__，c＝__－1__.[解析]由題意知a<0，且不等式對應(yīng)方程的兩個根分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,a)＝\f(1,3)＋\f(1,2)，,\f(c,a)＝\f(1,3)×\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,c＝－1.))15．已知a>b>0，且m＝eq\f(1,aa－b)，n＝a2＋eq\f(1,ab)，則m＋n的最小值是__4__.[解析]由已知可得，a>b>0，所以m＋n＝eq\f(1,a2－ab)＋a2＋eq\f(1,ab)＝eq\f(1,a2－ab)＋(a2－ab)＋eq\f(1,ab)＋ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立．16．已知a>b，不等式ax2＋2x＋b≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立．存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋b＝0成立，則eq\f(a2＋b2,a－b)的最小值為__2eq\r(2)__.[解析]已知不等式ax2＋2x＋b≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)a＝0時，2x＋b≥0，不符合題意；當(dāng)a≠0時，依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,4－4ab≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,ab≥1.))又存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋b＝0成立，∴4－4ab≥0?ab≤1，因此ab＝1，且a>0，從而b>0，又a－b>0，∴eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a－b2＋2ab,a－b)＝(a－b)＋eq\f(2,a－b)≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝eq\r(2)，即a＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，b＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，等號成立．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知關(guān)于x的不等式(k2＋4k－5)·x2＋4(1－k)x＋3>0的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析]當(dāng)k2＋4k－5＝0時，k＝1或k＝－5.若k＝1，則原不等式為3>0，恒成立，符合題意；若k＝－5，原不等式為24x＋3>0，不恒成立，不符合題意．當(dāng)k2＋4k－5≠0時，依題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋4k－5>0，,161－k2－4k2＋4k－5×3<0，))解得1<k<19.因此，1≤k<19.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|1≤k<19}．18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝3mx2＋mx－2(m∈R)．(1)當(dāng)m＝1時，解不等式f(x)>0；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析](1)當(dāng)m＝1時，f(x)＝3x2＋x－2.由f(x)>0可得3x2＋x－2>0，解可得x>eq\f(2,3)或x<－1，故不等式的解集為{x|x>eq\f(2,3)或x<－1}．(2)因?yàn)椴坏仁絝(x)<0的解集為R，所以3mx2＋mx－2<0恒成立．①m＝0時，－2<0恒成立，符合題意，②m≠0時，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋24m<0，))解得－24<m<0，綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|－24<m≤0}．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)y＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定義域?yàn)镽.(1)求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式x2－x－a2＋a<0.[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定義域?yàn)镽，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立．①當(dāng)a＝0時，1≥0恒成立；②當(dāng)a≠0時，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))解得0<a≤1.綜上，a的取值范圍為{a|0≤a≤1}．(2)由x2－x－a2＋a<0得(x－a)[x－(1－a)]<0.因?yàn)?≤a≤1，所以①當(dāng)1－a>a，即0≤a<eq\f(1,2)時，a<x<1－a；②當(dāng)1－a＝a，即a＝eq\f(1,2)時，(x－eq\f(1,2))2<0，不等式無解；③當(dāng)1－a<a，即eq\f(1,2)<a≤1時，1－a<x<a.綜上所述，當(dāng)0≤a<eq\f(1,2)時，解集為{x|a<x<1－a}；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，解集為?，當(dāng)eq\f(1,2)<a≤1時，解集為{x|1－a<x<a}．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若對一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析](1)g(x)＝2x2－4x－16<0，所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2<x<4，所以不等式g(x)<0的解集為{x|－2<x<4}．(2)因?yàn)閒(x)＝x2－2x－8，當(dāng)x>2時，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．因?yàn)閷σ磺衳>2，均有不等式eq\f(x2－4x＋7,x－1)≥m成立，而eq\f(x2－4x＋7,x－1)＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)－2≥2eq\r(x－1×\f(4,x－1))－2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時等號成立)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤2}．21．(本小題滿分12分)已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為400萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入160萬元．設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x(x≥40)萬部并且全部銷售完，每萬部的收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\f(74000,x)－eq\f(400000,x2).(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．[解析](1)由題意，可得年利潤W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為W＝xR(x)－(160x＋400)＝x(eq\f(74000,x)－eq\f(400000,x2))－(160x＋400)＝74000－eq\f(400000,x)－1