2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)1生活中的變量關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE1-函數(shù)§1生活中的變量關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解生活中兩個(gè)變量之間的依靠關(guān)系現(xiàn)象．(重點(diǎn))2．能辨析依靠關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的區(qū)分和聯(lián)系．(重、難點(diǎn))通過生活中的變量關(guān)系的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．1．依靠關(guān)系一般地，在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個(gè)變量具有依靠關(guān)系．思索1：某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則他的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依靠關(guān)系嗎？當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了多少分鐘？提示：該人的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依靠關(guān)系．當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了2分鐘或6分鐘．2．函數(shù)關(guān)系一般地，當(dāng)變量x每取一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，變量x、y之間具有函數(shù)關(guān)系，并且y是x的函數(shù)．思索2：某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若把摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間作為自變量，他的海拔高度h為因變量，則每取一個(gè)t值，有幾個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)？提示：每取一個(gè)t值，有唯一一個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)．3．分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則，須要用不同的解析式來表示的函數(shù)叫作分段函數(shù)．1．下列各量間不存在依靠關(guān)系的是()A．扇形的圓心角與它的面積B．某人的體重與其飲食狀況C．水稻的畝產(chǎn)量與施肥量D．某人的衣著價(jià)格與視力[答案]D2．一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；下圖中與這件事正好吻合的圖象是(其中x軸表示時(shí)間，y軸表示路程)()ABCDA[起先一段時(shí)間路程漸漸增大，增大的速度相同，圖象是始終線段，耽擱的時(shí)間段路程不變，圖象與x軸平行，然后行駛路程在原來的基礎(chǔ)上又增大，由圖象知選A.]3．給出下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)寶之間的關(guān)系；②拋物線上的點(diǎn)與該點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④某同學(xué)在6次考試中的數(shù)學(xué)成果與他的考試號(hào)之間的關(guān)系．其中不是函數(shù)關(guān)系的有________(填序號(hào)).①③④[由已知關(guān)系推斷得，①③④中關(guān)系不確定，故不是函數(shù)關(guān)系，只有②是函數(shù)關(guān)系．]4．如圖是一輛汽車的速度隨時(shí)間改變而改變的狀況示意圖．(1)汽車從動(dòng)身到最終停止共經(jīng)過多少時(shí)間？它的最高時(shí)速是多少？(2)汽車在哪些時(shí)間段保持勻速行駛？時(shí)速分別是多少？(3)動(dòng)身后8分到10分之間可能發(fā)生了什么狀況？[解](1)汽車從動(dòng)身到最終停止共經(jīng)過了24分鐘，最高時(shí)速為80千米/時(shí)．(2)汽車在動(dòng)身后2分鐘到6分鐘，動(dòng)身后18分鐘到22分鐘均保持勻速行駛，時(shí)速分別為30千米/時(shí)和80千米/時(shí)．(3)動(dòng)身后8分到10分之間汽車速度為0千米/時(shí)，重新動(dòng)身后，車速很快提高到80千米/時(shí)，因此在8分到10分這段時(shí)間內(nèi)很可能在修車．依靠關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的辨析【例1】下列各組中兩個(gè)變量之間是否存在依靠關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？①球的體積和它的半徑；②速度不變的狀況下，汽車行駛的路程與行駛時(shí)間；③家庭收入愈多，其消費(fèi)支出也有增長的趨勢(shì)；④正三角形的面積和它的邊長．[解]①中球的體積V與半徑r間存在V＝eq\f(4,3)πr3的關(guān)系；②中在速度不變的狀況下，行駛路程s與行駛時(shí)間t之間存在正比例關(guān)系；③中家庭收入與其消費(fèi)支出之間存在依靠關(guān)系，但具有不確定性；④中正三角形的面積S與其邊長a間存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的關(guān)系．綜上可知①②③④中兩個(gè)變量間都存在依靠關(guān)系，其中①②④是函數(shù)關(guān)系．推斷兩個(gè)變量有無依靠關(guān)系，主要看其中一個(gè)變量改變時(shí)，另一個(gè)變量是否隨之改變．而推斷兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列過程中，各變量之間是否存在依靠關(guān)系？若存在依靠關(guān)系，則其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，視察溫度計(jì)示數(shù)的改變，冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；(2)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系．[解](1)冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)具有依靠關(guān)系，依據(jù)函數(shù)定義知，二者之間是函數(shù)關(guān)系；(2)家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間沒有依靠關(guān)系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間這兩個(gè)變量存在依靠關(guān)系，且具有確定性，是函數(shù)關(guān)系．綜上可知，(1)(3)中的變量間具有依靠關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中兩個(gè)變量不存在依靠關(guān)系．變量關(guān)系的表示【例2】聲音在空氣中傳播的速度簡稱音速，試驗(yàn)測(cè)得音速與氣溫的一些數(shù)據(jù)如下表：氣溫x/℃05101520音速y(米/秒)331334337340343(1)依據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)作圖；(2)用x表示y；(3)氣溫為22℃時(shí)，某人看到煙花燃放5秒后才聽到聲響，[解](1)此圖反映的是變量音速隨氣溫的改變．(2)由表中數(shù)據(jù)可知，氣溫每上升5℃，音速加快3米/秒，又過點(diǎn)(0，331)故所求函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(3,5)x＋331.(3)由(2)可知?dú)鉁貫?2℃時(shí)，音速y＝eq\f(3,5)×22＋331，故此人與燃放的煙花所在地約相距為5×(eq\f(3,5)×22＋331)＝66＋1655＝1721(米).借助圖表可使兩個(gè)變量間的關(guān)系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)覺規(guī)律．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．心理學(xué)家發(fā)覺，學(xué)生對(duì)概念的接受實(shí)力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間有如下關(guān)系：(其中0≤x≤20)提出概念所用時(shí)間(x)257101213141720對(duì)概念的接受實(shí)力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？(2)當(dāng)提出概念所用時(shí)間是10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力是多少？(3)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為提出概念幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力最強(qiáng)？(4)從表格中可知，當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步增加？當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步降低？[解](1)畫出圖如下：反映了提出概念所用的時(shí)間x和對(duì)概念的接受實(shí)力y兩個(gè)變量之間的關(guān)系；其中x是自變量，y是因變量．(2)由題中表格可知，當(dāng)提出概念所用時(shí)間為10分鐘時(shí)，學(xué)生接受實(shí)力是59.(3)提出概念所用的時(shí)間為13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力最強(qiáng)．(4)當(dāng)x在2分鐘至13分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步增加；當(dāng)x在13分鐘至20分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步降低．分段函數(shù)【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身沿A→B→C→D的路途移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路途為x，△PAD的面積為y，(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)x＝4和x＝18時(shí)的函數(shù)值；(3)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝20，并說明此時(shí)點(diǎn)P在矩形的哪條邊上．[解](1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，此時(shí)AP＝x，依據(jù)三角形的面積公式可得：y＝eq\f(1,2)·AD·AP＝eq\f(1,2)×8×x＝4x，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積不變；當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8依據(jù)三角形的面積公式可得：y＝eq\f(1,2)·AD·DP＝eq\f(1,2)×8×(20－x)＝80－4x，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x（0≤x≤6），,24（6≤x≤14），,80－4x（14≤x≤20）.))(2)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4x＝4×4＝16，當(dāng)x＝18時(shí)，y＝80－4×18＝8；(3)當(dāng)y＝4x＝20，解得x＝5，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)y＝80－4x＝20，解得x＝15，此時(shí)點(diǎn)P在線段CD上．某些實(shí)際問題的函數(shù)解析式常用分段函數(shù)表示，須針對(duì)自變量的分段改變狀況，列出各段的解析式．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某同學(xué)從甲地以每小時(shí)6千米的速度步行2小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地耽擱1小時(shí)后，又以每小時(shí)4千米的速度步行返回甲地。寫出該同學(xué)在上述過程中，離甲地的距離s(千米)和時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式．[解]先考慮由甲地到乙地的過程，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，y＝6t，再考慮在乙地耽擱的狀況，當(dāng)2<t≤3時(shí)，y＝12，最終考慮由乙地返回甲地的過程，當(dāng)3<t≤6時(shí)，y＝12－4(t－3)，所以s(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6t（0≤t≤2）,12（2<t≤3）,－4t＋24（3<t≤6）)).1．依靠關(guān)系和非依靠關(guān)系在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個(gè)變量具有依靠關(guān)系．在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個(gè)變量具有非依靠關(guān)系．2．函數(shù)關(guān)系假如變量x，y具有依靠關(guān)系，對(duì)于其中一個(gè)變量x的每一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值時(shí)，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系．3．借助圖表可使兩個(gè)變量間的關(guān)系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)覺規(guī)律．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)一個(gè)人受教化的程度與他的實(shí)力之間的關(guān)系是依靠關(guān)系． ()(2)圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系． ()(3)若y是x的函數(shù)，則x肯定是y的函數(shù)． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列說法不正確的是()A．圓的周長與其直徑的比值是常量B．隨意四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量C．放射升空的火箭高度與放射的時(shí)間之間是函數(shù)關(guān)系D．某商品的廣告費(fèi)用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系[答案]D3．下列關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是________(填序號(hào)).①乘坐出租車時(shí)，所付車費(fèi)與乘車距離的關(guān)系；②某同學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間與其學(xué)習(xí)成果的關(guān)系；③人的睡眠質(zhì)量與身體狀況的關(guān)系．②③[對(duì)于①，所付車費(fèi)與乘車距離是一種確定性關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；而對(duì)于②，③中的兩個(gè)變量是非確定性關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系．]4．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．(1)試求圖中陰影部分的面積，說明面積的實(shí)際含義，并分析面積與