2024-2025學年新教材高中數(shù)學第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質3.1.1函數(shù)及其表示方法第2課時函數(shù)的表示法學案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE第2課時函數(shù)的表示法課程標準學法解讀1．函數(shù)的表示方法．(理解)2．函數(shù)圖像的作用．(理解)函數(shù)的三種表示法體現(xiàn)了“式”“表”“圖”的不同形態(tài)，特殊是“式”與“圖”的結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，學習過程中留意把它們相互結合，特殊要留意加強“式”與“圖”的相互轉化，從不同的側面相識函數(shù)的本質.必備學問·探新知基礎學問1．函數(shù)的表示方法__解析法__用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系__圖像法__用圖像表示兩個變量之間的對應關系__列表法__列出表格來表示兩個變量之間的對應關系思索：函數(shù)的三種表示方法各自有哪些優(yōu)缺點？提示：方法優(yōu)點缺點列表法不須要計算就可以干脆看出與自變量的值相對應的函數(shù)值只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)關系圖像法能形象直觀地表示出函數(shù)的改變狀況只能近似地求出自變量的值所對應的函數(shù)值，而且有時誤差較大解析法一是簡明、全面地概括了變量間的關系，從“數(shù)”的方面揭示了函數(shù)關系；二是可以通過解析式求出隨意一個自變量的值所對應的函數(shù)值不夠形象、直觀、詳細，而且并不是全部的函數(shù)都能用解析法表示出來基礎自測1．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f[f(3)]＝__1__.x1234f(x)3241解析：由題設給出的表知f(3)＝4，則f[f(3)]＝f(4)＝1.2．若反比例函數(shù)f(x)滿意f(3)＝－6，則f(x)的解析式為__f(x)＝－eq\f(18,x)__.3．函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是__[－1,0)∪(0,2]__，值域是__[－1,1)__.4．已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，其中點A，B的坐標分別為(0,3)，(3,0)，則f[f(0)]＝__0__.解析：結合題圖可得f(0)＝3，則[(f(0)]＝f(3)＝0.5．已知函數(shù)f(2x＋1)＝6x＋5，則f(x)的解析式是__f(x)＝3x＋2__.解析：法一：令2x＋1＝t，則x＝eq\f(t－1,2).所以f(t)＝6×eq\f(t－1,2)＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.法二：因為f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.關鍵實力·攻重難類型函數(shù)的表示方法┃┃典例剖析__■典例1某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試分別用列表法、圖像法、解析法表示售出臺數(shù)x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})與收款總額y(元)之間的函數(shù)關系．思路探究：函數(shù)的定義域是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，值域易得，一一對應可干脆列表表示；其圖像應是10個孤立的點；分析題意得到y(tǒng)與x之間的解析式，留意定義域．解析：(1)該函數(shù)關系用列表法表示為：x/臺12345y/元3000600090001200015000x/臺678910y/元1800021000240002700030000(2)該函數(shù)關系用圖像法表示，如圖所示．(3)該函數(shù)關系用解析法表示為y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．歸納提升：列表法能直觀地表達函數(shù)的自變量和函數(shù)值之間的關系，圖像法能形象、直觀地表示出函數(shù)的改變狀況，解析法簡明、全面地概括了變量間的關系．┃┃對點訓練__■1．某問答嬉戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個參加者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系．解析：(1)該函數(shù)關系用列表法表示為：x/道012345y/分50403020100(2)該函數(shù)關系用圖像法表示，如圖所示．(3)該函數(shù)關系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5})．類型函數(shù)圖像及應用┃┃典例剖析__■典例2(1)某同學騎車上學，離開家不久，發(fā)覺作業(yè)本忘家里了，于是返回家找到作業(yè)再去上學，為了趕時間他快速行駛，如圖中橫軸表示動身后的時間，縱軸表示離學校的距離．則較符合該同學走法的圖像是(D)(2)作出下列函數(shù)的圖像，并指出其值域：①y＝－x＋1，x∈Z.②y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．③y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)．思路探究：(1)先依據(jù)t＝0時，確定d的值，再依據(jù)改變速度求得．(2)作函數(shù)圖像，首先明確函數(shù)的定義域，其次明確函數(shù)圖像的形態(tài)，體會定義域對圖像的限制作用，處理好端點．解析：(1)坐標系中，橫軸表示動身后的時間，縱軸表示離學校的距離．據(jù)此，將該同學上學的過程分為四個時間段：①第一時間段，該同學從家動身往學校行駛，隨時間的增長，他到學校的距離越來越小，圖像呈現(xiàn)減函數(shù)的趨勢．②其次時間段，該同學在中途返回家里，隨時間的增長，他到學校的距離越來越大，圖像呈現(xiàn)增函數(shù)的趨勢．③第三時間段，該同學停在家里找作業(yè)本，此時他到學校的距離不變，是一個常數(shù)，圖像呈現(xiàn)水平的線段．④第四時間段，該同學從家動身，急速往學校行駛，隨時間的增長，他到學校的距離越來越小，而且由于他行駛速度很快，故圖像呈現(xiàn)“直線下降”的銳減趨勢．由以上分析，可知符合題意的圖像是D．(2)①定義域為Z，所以圖像為離散的點．圖像如圖(1)所示，由圖可知y＝－x＋1，x∈Z的值域為Z.②y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定義域不是R，因此圖像不是完整的拋物線，而是拋物線的一部分．圖像如圖(2)所示．由圖可知y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)的值域為[－5,3)．③用描點法可以作出函數(shù)的圖像如圖(3)所示．由圖可知y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域為(－∞，－1]∪[2，＋∞)．歸納提升：常見的函數(shù)圖像的畫法1．描點法描點法的一般步驟是：列表、描點、連線：列表——先找出一些(有代表性的)自變量x，并計算出與這些自變量相對應的函數(shù)值f(x)，用表格的形式表示出來；描點——從表中得到一系列的點(x，f(x))，在坐標平面上描出這些點；連線——用光滑曲線把這些點按自變量由小到大的依次連接起來．2．變換作圖法變換作圖法常用的有水平平移變換、豎直平移變換、翻折變換等．┃┃對點訓練__■2．函數(shù)y＝－eq\f(1,x＋1)的大致圖像是(B)解析：∵x＋1≠0，∴x≠－1，y≠0，故選B．類型求函數(shù)的解析式1．待定系數(shù)法求函數(shù)解析式┃┃典例剖析__■典例3(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿意2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且滿意f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．思路探究：已知函數(shù)分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)，設出函數(shù)解析式求出參數(shù)即可．解析：(1)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因為f(x)為二次函數(shù)，設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因為f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.2．換元法(或配湊法)求函數(shù)解析式┃┃典例剖析__■典例4(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為__f(x)＝x2－1(x≥1)__.(2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2＋2x，則f(x)的解析式為(C)A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1思路點撥：已知f[g(x)]求f(x)有兩種思路：一是將g(x)視為一個整體，應用數(shù)學的整體化思想，換元求解；二是將函數(shù)解析式的右端湊成含g(x)的形式．解析：(1)方法一：(換元法)令t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二：(配湊法)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因為eq\r(x)＋1≥1，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)方法一：(換元法)令x＋1＝t，則x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1.方法二(配湊法)因為x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1.3．方程組法求函數(shù)解析式典例5(1)已知函數(shù)f(x)滿意f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，則函數(shù)f(x)的解析式為__f(x)＝－eq\f(x,3)＋eq\f(2,3x)__.(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，則函數(shù)f(x)的解析式為__f(x)＝eq\f(b,a－1)x，a≠±1__.思路點撥：(1)求函數(shù)f(x)的解析式，由已知條件知，必需消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，不難想到再找尋一個方程，構成方程組，消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))得f(x)．(2)類似于(1)的思路，利用x與－x的關系，再列一個方程，通過方程組求解．解析：(1)在已知等式中，將x換成eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x)，與已知方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x)，))消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，得f(x)＝－eq\f(x,3)＋eq\f(2,3x).(2)在原式中以－x替換x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afx＋f－x＝bx，,af－x＋fx＝－bx.))消去f(－x)，得f(x)＝eq\f(bx,a－1).故f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(b,a－1)x，a≠±1.歸納提升：函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法．(2)換元法：已知函數(shù)f[g(x)]的解析式，可用換元法，此時要留意新元的取值范圍．(3)解方程組法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))、f(－x)之間的關系式，可依據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．┃┃對點訓練__■3．已知f(x)是一個正比例函數(shù)和一個反比例函數(shù)的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，則f(x)＝__x＋eq\f(2,x)__.解析：設f(x)＝k1x＋eq\f(k2,x)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝k1＋k2＝3，,f2＝2k1＋\f(k2,2)＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,k2＝2，))所以f(x)＝x＋eq\f(2,x).4．(1)已知函數(shù)y＝f(x)滿意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2))＝x＋1.求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，求f(x)的解析式解析：(1)設t＝eq\f(1,x)－2，則x＝eq\f(1,t＋2)，所以f(t)＝eq\f(1,t＋2)＋1＝eq\f(t＋3,t＋2)，所以f(x)＝eq\f(x＋3,x＋2)(x≠－2)．(2)因為f(x)是一次函數(shù)，所以設f(x)＝kx＋b(k≠0)，由2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＝6，,－k＋3b＝0，))所以k＝2，b＝eq\f(2,3)，即f(x)＝2x＋eq\f(2,3).課堂檢測·固雙基1．假如一次函數(shù)f(x)的圖像過點(1,0)及點(0,1)，則f(3)＝(B)A．－3 B．－2C．2 D．3解析：設一次函數(shù)的解析式為f(x)＝kx＋b，其圖像過點(1,0)、(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0,b＝1，))解得k＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋