2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.2.3直線與平面的夾角應(yīng)用案鞏固提升新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13.2.3直線與平面的夾角[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．平面α的斜線l與它在這個(gè)平面上射影l(fā)′的方向向量分別為a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，則斜線l與平面α所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C．因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以l與α所成的角為a與b所成的角(或其補(bǔ)角)，因?yàn)閏os〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.2．若PA，PB，PC為不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，則PA與平面PBC所成角的余弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)解析：選C．利用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．關(guān)鍵在于確定PA在平面PBC內(nèi)的射影，如圖，設(shè)M∈PA，作MH⊥平面BPC于H，連接PH.則∠APH就是PA與平面PBC所成的角．易知PH是∠BPC的平分線，由公式，得cos∠APC＝cos∠APH·cos∠HPC，所以cos∠APH＝eq\f(cos60°,cos30°)＝eq\f(\r(3),3).3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)解析：選D．BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐D-ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3)，故選D．4．AB⊥平面α于B，BC為AC在α內(nèi)的射影，CD在α內(nèi)，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，則AC和平面α所成的角為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選C．設(shè)AC和平面α所成的角為θ，則cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝45°.5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，則BD與平面ADMN所成的角θ為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選A．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝1，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，則N(1，0，1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(1，0，1)，設(shè)平面ADMN的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up6(→))＝0,n·\o(AN,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0,x＋z＝0))，取x＝1，則z＝－1，所以n＝(1，0，－1)．因?yàn)閏os〈eq\o(BD,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→))·n),\a\vs4\al(|\o(BD,\s\up6(→))||n|))＝eq\f(－2,\r(8)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，又0°≤θ≤90°，所以sinθ＝|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(1,2).所以θ＝30°.6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1與平面A1B1C1D1所成角的正切值為________．解析：連接B1D1，所以B1D1為BD1在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影，所以∠BD1B1為BD1與平面A1B1C1D1所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則tan∠BD1B1＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)7．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為________．解析：y軸的一個(gè)方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝eq\f(n·s,|n|·|s|)＝－eq\f(\r(2),2)，即y軸與平面α所成角的正弦值是eq\f(\r(2),2)，故其所成的角的大小是eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)8．已知空間四邊形ABCD各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都相等，那么AC與平面BCD所成角的正弦值為________．解析：過A作面BCD的垂線，垂足為O，則O為△BCD的中心，連接CO(圖略)．設(shè)棱長(zhǎng)為1，則CO＝eq\f(\r(3),3)，所以cos∠ACO＝eq\f(\f(\r(3),3),1)＝eq\f(\r(3),3)，sin∠ACO＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)9．已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，O為菱形ABCD的中心．∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝eq\f(3,2)a.求證：A1O⊥平面ABCD.證明：因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為a，且∠BAD＝60°，所以AC為∠BAD的平分線，且AO＝eq\f(\r(3),2)a，又∠A1AB＝∠A1AD，所以A1A在平面ABCD上的射影為AC，記∠A1AC＝θ.則cosθ＝eq\f(cos60°,cos30°)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3).所以A1Acosθ＝eq\f(3,2)a×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)a＝AO，所以∠A1OA＝90°，又因?yàn)锳1B＝A1D，所以在△A1BD中A1O⊥BD.所以A1O⊥平面ABCD.10．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0),A1(0，0，eq\r(2)a)，C1(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，eq\r(2)a)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，a，0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq\r(2)a)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，所以n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0.所以ax＝0且eq\r(2)ay＝0.所以x＝y(tǒng)＝0.故n＝(λ，0，0)．所以cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(n·\o(AC1,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|n||\o(AC1,\s\up6(→))|))＝－eq\f(λ,2|λ|).所以|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(1,2).所以AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.[B實(shí)力提升]11．正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則AO與平面ABCD所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(6),6) D．eq\f(\r(3),2)解析：選C．以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，令A(yù)B＝2，則A(2，0，0)，O(1，2，1)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，2，1)．又eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，2)為平面ABCD的法向量，設(shè)AO與平面ABCD所成角為α.則sinα＝|cos〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))·\o(DD1,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(AO,\s\up6(→))||\o(DD1,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,\r(6)×2)＝eq\f(\r(6),6).12．等腰Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α成30°角，則斜邊上的中線CM與平面α所成角的大小為________．解析：如圖，作CO⊥α，則∠CAO＝30°，設(shè)AC＝BC＝1，則OC＝eq\f(1,2)，AB＝eq\r(2)，因?yàn)镃M＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以sin∠OMC＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又∠OMC為銳角，所以∠OMC＝45°.答案：45°13．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F、G、H分別在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CE＝eq\f(1,2)CC1，DF＝BG＝eq\f(1,4)DD1，BH＝eq\f(1,2)BC.求AH與平面AFEG所成角的正弦值．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(xiàn)(4，4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(4，4，1)－(0，4，0)＝(4，0，1)，eq\o(AG,\s\up6(→))＝(0，0，1)－(0，4，0)＝(0，－4，1)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(2，0，0)－(0，4，0)＝(2，－4，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面AFEG的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋z＝0，,－4y＋z＝0，))令x＝1，則z＝－4，y＝－1，即n＝(1，－1，－4)，設(shè)AH與平面AFEG所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(AH,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(6,\r(18)×\r(20))＝eq\f(\r(10),10).所以AH與平面AFEG所成角的正弦值為eq\f(\r(10),10).14．(選做題)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)．(1)證明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1，0，0)，B(0，1，0)．(1)證明：設(shè)C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m<0，n>0)，則D(0，m，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，0)).可得eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，－n))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(m，－1，0)．因?yàn)閑q\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)－eq\f(m,2)＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－eq\f(\r(3),3)，n＝1，故Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),3)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),6)，0))，P(0，0，1)．設(shè)n＝(x，y，z)為