廣東省惠州市仲愷區(qū)四校2024-2025學年上學期12月聯(lián)考九年級數(shù)學試卷(含答案)

2024-2025學年第一學期第二次階段考四校聯(lián)考九年級數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘試卷總分：120分）注意事項：本試卷共1張，共4頁。將答案填寫在答題卡上，在本試卷作答無效。若試卷印刷不清晰或者單面，及時更換試卷。一、選擇題（每題3分，共30分）1．下面四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()2．如圖，小明從A入口進入博物館參觀，參觀后可從B，C，D三個出口走出，他恰好從C出口走出的概率是（）A.B.C.D.3．一元二次方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝14．二次函數(shù)的對稱軸為()A.直線B.直線C.直線D.直線5．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則CD的長是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長為（）A.B.C.D.7．若一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根為，，則的值是（

）A． B． C．D．8．如圖，四邊形是⊙O的內接四邊形，若，則的度數(shù)為（

）A． B．C．D．9．如圖，二次函數(shù)的圖像與軸的一個交點坐標為，那么關于的一元二次方程的解為（

）A．，B．，C．， D．10．如圖，把放置在平面直角坐標系中，，已知點是軸上的定點，點的坐標為（0，2）．將繞點逆時針旋轉，旋轉后點恰好與點重合，則旋轉前點的坐標是（

）A． B．C．D．填空題（每小題3分，共15分）11．點M(-1，3)關于原點對稱的點的坐標為．12．若拋物線的解析式為，點，，都在該拋物線上,則的大小關系是．（用“”連接）13．若是方程的一個根，求的值．14．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為．15．如圖，菱形OABC的頂點A、B、C、在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為5，則BD的長為．第15題圖第15題圖第14題圖三．解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.16．解一元二次方程：．17．如圖，三個頂點的坐標分別為A(2，4)、B(1，1)、C(4，3)．請畫出關于原點對稱的，并寫出點的坐標；請畫出繞原點O逆時針旋轉后的．18．2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，潯陽體育隊的小明同學把這四個項目寫在了背面完全相同的卡片上．將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）小明想從中隨機抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到是B（滑板）的概率是．（2）體育老師想從中選出來兩個項目，讓小明做成手抄報給大家普及一下，他先從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，請用列表法或畫樹狀圖法表示出所有可能的結果，并求體育老師抽到的兩張卡片恰好是B（滑板）和D（運動攀巖）的概率．解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.19.如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點D,∠C=90°.(1)CD與⊙O有怎樣的位置關系?請說明理由；(2)若∠CDB=60°,AB=4,求BD的長．20．如圖，在等腰直角中，，D為AB邊上一點，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉到CE，連接AE．(1)求證：；(2)若，，求四邊形AECD的面積．21．某商城在2024年元旦節(jié)期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進貨價為每個14元，標價為每個20元．(1)商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每個16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；(2)市場調研表明：當每個商品售價為20元時，平均每天能夠售出40個，當銷售單價每降1元時，平均每天就能多售出10個。在保證每個商品的售價不低于進價的前提下，商城要想獲得最大利潤，每個商品應降價多少元？最大利潤是多少？解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.22．如圖，如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接、，直線BC與拋物線的對稱軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)求面積的最大值；(3)點是拋物線對稱軸上的一動點．是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．23．閱讀下列材料，然后解答問題．經過正四邊形(即正方形)各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內接正四邊形．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2．以圓心O為頂點作∠MON，使∠MON＝90°．將∠MON繞點O旋轉，OM、ON分別與⊙O交于點E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點G、H．設由OE、OF、及正方形ABCD的邊圍成的圖形(陰影部分)的面積為S．當OM經過點A(如圖①)且⊙O的半徑為1時，求S的值（結果保留）；（2）當OM⊥AB于G時(如圖②)，求S、S1、S2之間的關系為：(用含S1、S2的代數(shù)式表示)；（3）當∠MON旋轉到任意位置時（如圖③），則（2）中的結論仍然成立嗎：請說明理由．2024-2025學年第一學期第二次階段考四校聯(lián)考九年級數(shù)學參考答案一．單項選擇題1-5BBCDC6-10ABDBC二．填空題11.（1，-3）12.13.202514.115.三．解答題（一）16.解：解法1：原方程可化為------------------5分------------------7分解法2：------------------1分------------------3分x=?b±b2?4ac2a=------------------7分解：（1）如圖所示，------------------3分------------------4分如圖所示------------------7分解：（1）------------------2分（2）畫樹狀圖如下：------------------5分共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是“B”和“D”的結果數(shù)有2種，體育老師抽到的兩張卡片恰好是B(滑板)和D(運動攀巖)的概率為.------------------7分解答題（二）19.（1）相切．理由如下：------------------1分連接OD，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD，------------------2分又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，------------------3分∵OD是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切；------------------4分（2）∵∠CDB＝60°，∴∠CBD＝90°-∠CDB＝30°，------------------5分∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝×4＝2，------------------8分在Rt△ABD中，BD＝------------------9分20.解（1）證明：由旋轉的性質得：CD＝CE，∠DCE＝90°，------------------1分又∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，------------------2分在△ACE與△BCD中，，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴AE＝DB．------------------5分（2）解：∵，，∴AB＝4，------------------6分∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝AB＝4，∵△BDC≌△AEC，∴S△BDC＝S△AEC，∴S四邊形AECD＝S△BDC+S△ACD，------------------8分即S四邊形AECD＝S△ACB＝AC?BC＝×4×4＝8．------------------9分21.解：（1）設商城每次降價的百分率為x，------------------1分依題意得：20（1﹣x）2＝16.2，------------------2分解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．------------------3分答：商城每次降價的百分率為10%．------------------4分設每個商品應降價y元，則平均每天可售出（40+10y）個，----------------5分則利潤：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y），------------------6分整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250，當y＝1時，獲得利潤最大，最大為250元------------------8分答：要想獲得最大利潤，每個商品降價1元，最大利潤是250元．------------------9分三．解答題（三）22.解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：，------------------1分解得，------------------2分∴；------------------3分（2）令y＝0，則，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），------------------4分設直線BC的解析式為y＝kx+b，代入得：，解得，∴y＝﹣x+8，------------------5分過點P作PG∥y軸交BC于G，設，則G（t，﹣t+8），∴，------------------6分∴，∴當t＝4時，△BCP的面積有最大值，最大值為32；------------------8分（3）存在點M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：------------------9分∵，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，∴E（3，5），設M（3，m），∴，，EM＝|m﹣5|，當BE＝BM時，，解得m＝5（舍）或m＝﹣5，∴M（3，﹣5）；當BE＝EM時，，解得或，∴或；當BM＝EM時，，解得m＝0，∴M（3，0）；綜上所述：M點坐標為（3，0）或（3，﹣5）或或．------------------13分（每個答案給1分）解：（1）當OM經過點A時由正方形的性質可知：∠MON＝90°，OA=1∴S＝S扇形OEF﹣S△OAB＝------------------4分（2）∴S＝S1﹣S2＝（S1﹣S2）；------------------8分（3）（2）中的結論仍然成立，理由如下：------------------9分∵∠EOF＝90°，∴S扇形OEF＝S圓O＝，-------