初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題09特殊與一般

專題09特殊與一般——二次函數(shù)與二次方程閱讀與思考二次函數(shù)的一般形式是，從這個(gè)式子中可以看出，二次函數(shù)的解析式實(shí)際上是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，若令y=0，則得這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，因此，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，表現(xiàn)為：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)為A(，0)，B(，0)，其中，是方程兩相異實(shí)根，;2.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；3.當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)．由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問(wèn)題與二次方程問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問(wèn)題的常用技巧．例題與求解【例1】（1）拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若是直角三角形，則=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（2）為使方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解題思路：對(duì)于（1），為直角三角形，則A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及射影定理解題，對(duì)于（2），作出函數(shù)圖象，借助圖象解題．【例2】設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件：①兩根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③兩根均大于1且小于4．試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解題思路：因?yàn)楦谋磉_(dá)式復(fù)雜，故應(yīng)把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，作出函數(shù)圖象，借助圖象找制約條件．【例3】如果拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，OA的長(zhǎng)是a，OB的長(zhǎng)是b，（1）求的取值范圍；（2）若，求的值，并寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式；（3）設(shè)（2）的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問(wèn)：拋物線是否存在一點(diǎn)P，使得面積等于的面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（南京市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件得相應(yīng)二次方程兩實(shí)根的符號(hào)特征，兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的突破口．【例4】設(shè)p是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像與軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．（1）求證：；（2）若A，B兩點(diǎn)之間距離不超過(guò)，求p的最大值．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，于是，綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系、根的方程、不等式來(lái)解．【例5】是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間？如果有，試確定的取值范圍；如果沒(méi)有，試述理由．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：由于根的表示形式復(fù)雜，因此，應(yīng)把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)討論，即討論相應(yīng)二次函數(shù)交點(diǎn)在2與4之間，應(yīng)滿足的條件，借助函數(shù)圖象解題．【例6】設(shè)，為正整數(shù)，且.如果對(duì)一切實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離不小于，求，的值．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：由，得，由條件得，因此不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，故將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判別式結(jié)合正整數(shù)求解．能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，若△ABC的面積為，則=.2．把拋物線向上平移個(gè)單位，所得拋物線與軸相交于點(diǎn)A(，0)和B(，0)，已知，那么平移后的拋物線的解析式為.（杭州市中考試題）3．拋物線的圖象如圖所示．（1）判斷及的符號(hào)：0，0；.當(dāng)時(shí)，滿足的關(guān)系式為_(kāi)_______________.4．已知二次函數(shù)的圖象過(guò)（-1，0）和（0，-1）兩點(diǎn)，則的取值范圍為.（黑龍江省中考試題）5．若關(guān)于的方程的一個(gè)根大于-2，且小于-1，另一個(gè)根大于2且小于3，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（天津市競(jìng)賽試題）6．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段OA與OB的長(zhǎng)的比為1:4，則的值為（）A.8B.-4C.11D.-4或117．已知二次函數(shù)與軸相交于兩點(diǎn)A(，0)，B(，0)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，AB=，若，則與的關(guān)系是（）A.B.C.D.（福州市中考試題）8．設(shè)關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，且＜1＜，那么a的取值范圍是（）A.B.C.D.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）9．已知二次函數(shù)．（1）求證：不論取任何實(shí)數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)都在x軸的正半軸上；（2）設(shè)這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，若△ABC的面積為48，求的值．（徐州市中考試題）10．已知拋物線交軸于A(，0)，B(，0)，交軸于C點(diǎn)，且＜0＜，（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（武漢市中考試題）11．已知拋物線與x軸交于A(，0)，B(，0)(＜)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，b)，O為原點(diǎn)．（1）求的取值范圍．（2）若，且，求拋物線的解析式及A，B，C的坐標(biāo)；（3）在（2）情形下，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（如圖）以相同的速度沿AB，OC向B，C運(yùn)動(dòng)，連接PQ與BC交于M，設(shè)AP=，問(wèn)：是否存在值，使以P，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（黃岡市中考試題）12．某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣(mài)出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣(mài)10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元？根據(jù)以上的結(jié)論，請(qǐng)你直接寫(xiě)出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元？（武漢市中考試題）B級(jí)1．已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩旁，則的取值范圍為_(kāi)___________.2．設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為_(kāi)___________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4．已知拋物線與x軸的正方向相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，△ABC為等腰直角三角形，則=.5．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，∠ACB=90°，且，則△ABC的外接圓的面積為.6．已知拋物線，（1）求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A(，0)，B(，0)，兩點(diǎn)，且滿足：＜，，.問(wèn)：過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個(gè)交點(diǎn)？試說(shuō)明理由，如果有，求出其坐標(biāo)．（武漢市中考試題）7．已知拋物線上有一點(diǎn)位于x軸下方.（1）求證：已知拋物線必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(，0)，B(，0)，其中＜；（2）求證：＜＜;（3）當(dāng)點(diǎn)M為（1，-2）時(shí)，求整數(shù)，.（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題）8．隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高，某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例的關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）（1）分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？（南寧市中考試題）9．已知以x為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于x的方程的一整數(shù)根，求的值．（紹興市競(jìng)賽試題）10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC周長(zhǎng)最??？若存在，求點(diǎn)出C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．（深圳市中考試題）11．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線與軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)Q(0，3)作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（武漢市中考試題）12．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(1，a)，Q(2，10a)（1）如果a，b，c都是整數(shù)，且，求a，b，c的值；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，如果關(guān)于x的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

專題09特殊與一般——二次函數(shù)與二次方程例1（1）-1提示：，即(2)令當(dāng)時(shí)，，∴∴①若直線過(guò)P點(diǎn)，此時(shí)兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，再向上移將有四個(gè)交點(diǎn)，∴0=則②若直線與拋物線PQ部分相切，恰有三個(gè)交點(diǎn)，∴整理得則例2（1）如圖1，設(shè)∴(2)如圖2，則（3）如圖3，則例3（1）m>-1(2)(3)A(3,0),B(-1,0),C(0,3),M(1,4),滿足條件的P點(diǎn)存在,P點(diǎn)的坐標(biāo)是:(1,4),(，一4).例4提示:(1)原式=(2)兩邊平方，解得.符合題意，故p的最大值為.例5這樣的k值不存在，理由如下:設(shè)并作出如圖所示的圖象，則這個(gè)不等式組無(wú)解.例6由得即由題意知，且上式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，故即得或A級(jí)1.2.提示:設(shè)平移后的拋物線的解析式為3.（1）<>(2)ac-b+1=04.0<a<1提示:當(dāng)x=1時(shí),y<0.5.C提示:設(shè)，由已知畫(huà)出y=f(x)的大致圖象，知聯(lián)立解得6.C7.D8.D提示：記則這個(gè)拋物線開(kāi)口向上，由題意得x=1時(shí),y<0.9.(1)證明略(2)10.(1)m=1,(2)存在這樣的P點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，使∠APB為銳角.提示:A(一1,0),B(4,0),C(0，一2).△ABC為直角三角形，過(guò)A，B，C三點(diǎn)作⊙，則AB為⊙的直徑，C點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M是⊙與拋物線的另一交點(diǎn)，M（3，-2），11.(1)(2)(3)當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則即解得當(dāng)PQ∥AC時(shí)，∠CAB=∠PMB時(shí)，同理可求得故存在k符合題目條件，或2時(shí)，所得三角形與△ABC相似.12.（1）（且x為整數(shù)）（2）當(dāng)x=5.5時(shí)，y有最大值2402.5.∵且x為整數(shù)，當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55,y=2400（元）；當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56,y=2400（元）.∴當(dāng)售價(jià)定為每件55元或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元.(3)當(dāng)y=2200時(shí)，解得當(dāng)x=1時(shí)，50+x=51；當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60.∴當(dāng)售價(jià)定為每件51元或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元;當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元(或當(dāng)售價(jià)分別為51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元）．B級(jí)1．m＜2提示：f(1)＜0.2.5796提示：a2－a－1＝0，a4＝(a＋1)2＝3a＋2，a8＝(3a＋2)2＝21a＋13，a16＝(21a＋13)2＝987a＋610，a18＝（987a＋610）（a＋1）＝987a2＋1597a＋610＝2584a＋1597，a－6＝EQ\F(1,a4?a2)＝EQ\F(1,8a＋5).3.4提示：由題意得3×（－EQ\F(9,5)）2＋m（－EQ\F(9,5)）－2＞0，3×（EQ\F(3,7)）2＋m（EQ\F(3,7)）－2＞0，－EQ\F(9,5)＜－EQ\F(m,6)＜EQ\F(3,7).解得3EQ\F(8,21)＜m＜4EQ\F(13,45)．4．－2EQ\r(,2)5.2π提示：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0),OA＝―x1，OB＝x2，得EQ\B\lc\{(\a\al(－q＝q2,EQ\F(－p,q2)＝EQ\F(2,|q|))),解得EQ\B\lc\{(\a\al(q＝－1,p＝－2)).y＝x2－2x－1,AB＝|x2―x1|＝2EQ\r(,2).6．(1)拋物線恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)(－1，0)．(2)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D．∵|x1|＜|x2|，C點(diǎn)在y軸上，C不是拋物線頂點(diǎn)，x1＝－1,x2＞1，即x2＝1－k＞1，得k＜0，由S△ABC＝6得k＝－2，∴y＝x2－2x－3，其對(duì)稱軸為x＝1，根據(jù)對(duì)稱性，D點(diǎn)坐標(biāo)(2，－3）．，7．(1)由y0＝x02＋Px0＋q＝（x0＋EQ\F(p,2)）2－EQ\F(p2－4q,4)，得p2－4q＝4(x0＋EQ\F(p,2)）2－4y0≥―4y0＞0.(2)將p＝－（x1＋x2）,q＝x1?x2,代入y0＝x02＋Px0＋q＜0,得x02－(x1＋x2)x0＋x1x2＜0,即（x0－x1）（x0－x2）＜0.證得x1＜x0＜x2.(3)EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(1)＝0,x\S\DO(2)＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(1)＝－1,x\S\DO(2)＝2)).8.(1)y1＝2x,y2＝EQ\F(1,2)x2.(2)設(shè)種植樹(shù)木的資金投入為x萬(wàn)元，那么種植花卉的資金投入為（8―x）萬(wàn)元，兩項(xiàng)投入所獲得的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，依題意，得y＝y(tǒng)1＋y2＝2x＋EQ\F(1,2)（8－x）2＝EQ\F(1,2)x2－6x＋32＝EQ\F(1,2)(x－6)2＋14.∴當(dāng)x＝6時(shí)，y最?。?4．因此，這位專業(yè)戶至少獲利14萬(wàn)元，∵0≤x≤8，拋物線的對(duì)稱軸為x＝6，當(dāng)0≤x＜6時(shí)，y隨x的增大而減小，所以x＝0時(shí)，y最大＝32；當(dāng)6≤x≤8時(shí)，y值隨x的增大而增大，所以x＝8時(shí)，y最大＝16．綜上可知，這位專業(yè)戶能獲取的最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元。9．n的值為1和0．10.(1)B(1，EQ\r(,3));(2)設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x＋2)，代入點(diǎn)B(1，EQ\r(,3))，得a＝EQ\F(EQ\r(,3),3).因此y＝EQ\F(EQ\r(,3),3)x2＋EQ\F(2EQ\r(,3),3)x．(3)如圖1，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－1，當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AB為y＝kx＋b(k≠0)，則EQ\B\lc\{(\a\al(k＋b＝EQ\r(,3),－2k＋b＝0)).解得k＝EQ\F(EQ\r(,3),3),b＝EQ\F(2EQ\r(,3),3)．因此直線AB的解析式為y＝EQ\F(EQ\r(,3),3)x＋EQ\F(2EQ\r(,3),3).當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝EQ\F(EQ\r(,3),3).因此點(diǎn)C坐標(biāo)為（―1，EQ\F(EQ\r(,3),3)）．(4)如圖2，過(guò)P作y軸的平行線交AB于D.S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝EQ\F(1,2)(yD－yP)(xB－xA)＝EQ\F(1,2)[(EQ\F(EQ\r(,3),3)x＋EQ\F(2EQ\r(,3),3))―(EQ\F(EQ\r(,3),3)x2＋EQ\F(2EQ\r(,3),3)x)]×3＝－EQ\F(EQ\r(,3),2)x2－EQ\F(EQ\r(,3),2)x＋EQ\r(,3)＝－EQ\F(EQ\r(,3),2)(x＋EQ\F(1,2))2＋EQ\F(9EQ\r(,3),8).當(dāng)x＝－EQ\F(1,2)時(shí)，△PAB的面積的最大值為EQ\F(9EQ\r(,3),8)，此時(shí)P（－EQ\F(1,2)，－EQ\F(EQ\r(,3),4)）．11．(1)y＝x2＋4x＋3．(2)m(－2，－1)，直線OD的解析式為y＝EQ\F(1,2)x，設(shè)平移后的拋物線的解析式為y＝（x－h(huán)）2＋EQ\F(1,2)h.①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∵C(0，9)，∴h2＋EQ\F(1,2)h＝9.解得h＝EQ\F(－1±EQ\r(,145),4).∴當(dāng)EQ\F(－1―EQ\r(,145),4)≤h＜EQ\F(－1＋EQ\r(,145),4)時(shí)，平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由方程組EQ\B\lc\{(\a\al(y＝(x－h(huán))2＋EQ\F(1,2)h,y＝－2x＋9))得。x2＋（―2h＋2）x＋h2＋EQ\F(1,2)h－9＝0.∴△＝(―2h＋2)2－4(h2＋EQ\F(1,2)h―9)＝0，解得h＝4．此時(shí)拋物線y＝(x－4)2＋2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為(3，3)，符合題意，綜上所述，平移的拋物線與射線C