浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題

2027屆高一實(shí)驗(yàn)班第一學(xué)期數(shù)學(xué)月考2時(shí)間：120分鐘滿分：150分學(xué)號(hào)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式和分式不等式得到，利用交集概念求出答案.【詳解】，解得或，故或，又，所以.故選：D2.如圖，在中，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.3.某產(chǎn)品的總成本ｙ（萬元）與產(chǎn)量ｘ（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為２５萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（）A.１００臺(tái) B.１２０臺(tái) C.１５０臺(tái) D.１８０臺(tái)【答案】C【解析】【詳解】主要考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用．解：依題意利潤(rùn)0，整理得，解得，又因?yàn)閄∈（0，240），所以最低產(chǎn)量是150臺(tái)．4.已知函數(shù)，其中，若函數(shù)為冪函數(shù)且其在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的，并且在其定義域上是偶函數(shù)，則A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)列式可解得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù),所以,所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以,因?yàn)?所以.當(dāng)時(shí),函數(shù)為奇函數(shù),不合題意,舍去.當(dāng)時(shí).為偶函數(shù),符合題意.所以.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的概念和性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.5.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法1：根據(jù)向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算求解；解法2：結(jié)合圖形處理問題.【詳解】解法1：因?yàn)?，，則在上的投影向量為.解法2：因?yàn)?，由圖可得，在軸上的投影數(shù)量為，則在上的投影向量.故選：B.6.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出即可得解.【詳解】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B7.在中，是邊上的點(diǎn)，且為的外心，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)外接圓的半徑為，由向量的三角形法則，以及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：因?yàn)椋瑒t是的中點(diǎn)，所以，設(shè)外接圓的半徑為，所以．故選：B．8.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，且與函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（）A. B. C.16 D.22【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義計(jì)算出，然后由函數(shù)的圖象與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)可得有且僅有一個(gè)解，計(jì)算判別式即可【詳解】由題意可得的對(duì)稱中心為等價(jià)于是奇函數(shù)，因?yàn)樗?，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即有且僅有一個(gè)解，，解得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（）A. B.若且，則C.若非零向量且，則 D.若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得【答案】AC【解析】分析】根據(jù)相反向量的概念，可得A正確；根據(jù)向量共線可得B錯(cuò)；根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，可得C錯(cuò)；根據(jù)向量共線基本定理，可得D錯(cuò).【詳解】由，互相反向量，則，故A正確；由且，可得或，故B錯(cuò)；由，則兩邊平方化簡(jiǎn)可得，所以，故C正確；根據(jù)向量共線基本定理可知D錯(cuò)，因?yàn)橐懦秊榱阆蛄?故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查共線向量、相反向量，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型.10.設(shè)函數(shù)，其中表示，，中的居中者.下列說法正確的有（）A.只有一個(gè)最小值點(diǎn) B.的值域?yàn)镃.為偶函數(shù) D.在0,1上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】先畫出、與的圖象，根據(jù)函數(shù)定義確定函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由已知在同一坐標(biāo)系中分別畫出、與的圖象（虛線），根據(jù)表示，，中的居中者知函數(shù)的圖象（實(shí)線）如圖：對(duì)于A，由圖知當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以有兩個(gè)最小值點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖知，函數(shù)的值域?yàn)椋_；對(duì)于C，由圖知，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，正確；對(duì)于D，由圖知，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.為函數(shù)的一條對(duì)稱軸 D.函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性的定義可判斷A；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可判斷B；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)可判斷C；求出函數(shù)在上的零點(diǎn)可判斷D.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，即不是函數(shù)的周期，則函數(shù)的最小正周期不是，A錯(cuò)誤；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，而在上單調(diào)遞增，而可看作由和復(fù)合而成，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因，即，所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，C正確；由于，令，即，即，即，可得或，當(dāng)時(shí)，由可得或，由，可得，故函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象在上恰有四個(gè)對(duì)稱中心，則的取值范圍為_________________.【答案】.【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心列出不等式求解即可.【詳解】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有四個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，即的取值范圍為.故答案為：.13.已知函數(shù)，關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化成對(duì)任意的，恒成立，結(jié)合二倍角公式以及三角函數(shù)的值域即可最值進(jìn)行求解.【詳解】由于，所以為奇函數(shù)，且由，單調(diào)遞增，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，因此，故對(duì)任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以恒成立即可，故，故答案為：14.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）若是正常數(shù)，，求證：(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)．（2）求函數(shù)的最小值，并求此時(shí)的值．【答案】（1）證明見解析；（2）最小值49，.【解析】【分析】（1）先將乘以展開，拼湊“積定”使用基本不等式，即得結(jié)果.（2）利用（1）的結(jié)論求最小值即可.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，“積定和最小，和定積最大”，但是一定要注意取等號(hào)條件的成立.若沒有定值，有時(shí)需要妙乘一個(gè)因子拼湊定值后使用基本不等式.16.已知（1）求的最值；（2）是否存在的值使？【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）或.【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合兩角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得，換元后利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果；（2）兩邊平方，結(jié)合（1）可得，根據(jù)，列不等式求解即可.【詳解】（1）由已知得：，，，令，，令，而，為增函數(shù)，最大值為，最小值為，的最大值為，最小值為.（2）假設(shè)存在的值滿足題設(shè)，即，，即，當(dāng)時(shí)，上式不成立；故當(dāng)時(shí)，，，，或.17.已知函數(shù)，其最小正周期與相同.（1）求單調(diào)減區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）若方程在區(qū)間[0，]上恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為，求的值.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，對(duì)稱中心為（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的周期求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，用整體代換法求得單調(diào)減區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）求得的范圍，由正弦函數(shù)性質(zhì)得的解滿足的性質(zhì)：，，然后轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，再計(jì)算函數(shù)值．【小問1詳解】∵的最小正周期為π，∴，∴，∴，由，得，由得，綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，對(duì)稱中心為.【小問2詳解】由得，設(shè)，則有三個(gè)實(shí)根，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，，∴，，∴18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在，使得成立，則稱為的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在定義域D上存在不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分離參數(shù)即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求出的最值，令，，可得恒成立，分離參數(shù)求解即可.【小問1詳解】由題意知，即在[0，1]上有解，令，，則，則在[1,2]上有解，則，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，則則，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】，即，則又在[－1,0]上是減函數(shù)，則，∴，令，，則，，則又在上遞增，則，又∴，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．19設(shè)集合，且P中至少有兩個(gè)元素，若集合Q滿足以下三個(gè)條件：①，且Q中至少有兩個(gè)元素；②對(duì)于任意，當(dāng)，都有；③對(duì)于任意，若，則；則稱集合Q為集合P的“耦合集”．（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．（i）求證：對(duì)于任意，有；（ii）求集合的“耦合集”的元素個(gè)數(shù)．【答案】（1）或或（2）（i）證明見詳解；（ii）5【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接運(yùn)算求解即可；（2）（i）根據(jù)②可得的可能元素，再結(jié)合③分析證明；（ii）根據(jù)題意分析可知，同理可得，結(jié)合題意分析求解即可.【小問1詳解】由已知條件②得：的可能元素為：6，8，10；檢驗(yàn)可知均滿足條件③，