2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題10函數(shù)模型及其應(yīng)用2

專題10函數(shù)模型及其應(yīng)用7題型分類(lèi)1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對(duì)數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．（一）二次函數(shù)模型與分段函數(shù)模型1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏．題型1：二次函數(shù)模型11．（2024高二上·山東濰坊·期末）汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò).已知甲車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為，乙車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪輛車(chē)有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車(chē)均超速 B．甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速C．乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速 D．甲、乙兩車(chē)均未超速12．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．13．（2024·北京）加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘題型2：分段函數(shù)模型21．（2024·云南·二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)510件1150件51100件101300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件22．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三擋：月用電量不超過(guò)200度的部分按元/度收費(fèi)，超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按元/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按元/度收費(fèi).

(1)求某戶居民月用電費(fèi)（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占，求的值.23．（2024·全國(guó)）經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以（單位：t，100≤≤150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位:元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).（Ⅰ）將T表示為的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率.24．（2024高一上·江西贛州·期中）《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，開(kāi)展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展．為深入踐行習(xí)近平總書(shū)記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量（單位：）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：其它總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？25．（2024高二下·四川眉山·階段練習(xí)）某商店銷(xiāo)售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天海鮮的需求量，（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷(xiāo)售1公斤可獲利50元；若供大于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷(xiāo)售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤(rùn)為元.(1)求商店日利潤(rùn)關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式；(2)估計(jì)日利潤(rùn)在區(qū)間內(nèi)的概率.26．（2024·全國(guó)）某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.（二）對(duì)勾函數(shù)模型1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．題型3：對(duì)勾函數(shù)模型31．（2024高三下·河北唐山·階段練習(xí)）迷你KTV是一類(lèi)新型的娛樂(lè)設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類(lèi)似亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長(zhǎng)為，則的最大值為．（本題中取進(jìn)行計(jì)算）32．（2024高一下·浙江·期末）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長(zhǎng)，大扇形半徑，設(shè)小扇形半徑，弧度，則①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為．33．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某企業(yè)投入萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．（三）指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題．題型4：指數(shù)型函數(shù)41．（2024高三下·云南·階段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開(kāi)始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m342．（2024·山東）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天43．（2024·浙江·二模）提丟斯一波得定則，簡(jiǎn)稱“波得定律”，是表示各行星與太陽(yáng)平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國(guó)的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成了一個(gè)如下經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示：記太陽(yáng)到地球的平均距離為1，若某行星的編號(hào)為n，則該行星到太陽(yáng)的平均距離表示為，那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號(hào)12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實(shí)測(cè)值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．題型5：對(duì)數(shù)型函數(shù)51．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:描述血氧飽和度（單位）隨機(jī)給氧時(shí)間（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（

）小時(shí).（參考數(shù)據(jù):）A． B． C． D．52．（2024·全國(guó)·二模）昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．653．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（

）米．A． B．2 C． D．4題型6：冪函數(shù)模型61．（2024高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開(kāi)有描寫(xiě)安徽毫州的詩(shī)句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動(dòng)了毫州醫(yī)藥的發(fā)展，到明?清時(shí)期毫州就是全國(guó)四大藥都之一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規(guī)模最大?設(shè)施最好?檔次最高的“中國(guó)（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價(jià)格形成中心.某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某藥廠一種中藥材銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該中藥材在2021年的價(jià)格浮動(dòng)最大的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）日平均銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元/千克）與第天（）的函數(shù)關(guān)系滿足（為正常數(shù)）.該中藥材的日銷(xiāo)售量（單位：千克）與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：4102030149155165155已知第4天該中藥材的日銷(xiāo)售收入為3129元.（日銷(xiāo)售收入=日銷(xiāo)售單價(jià)日銷(xiāo)售量）(1)求的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①，②，③，④，請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述該中藥材的日銷(xiāo)售量與的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷(xiāo)售收入（單位：元）的最小值.62．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%63．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．（四）已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．題型7：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題71．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時(shí)間（單位：），為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為．72．（2024高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬(wàn)元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬(wàn)元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測(cè)算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h＝厘米．73．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時(shí)間大約是年前．74．（2024高一上·福建三明·階段練習(xí)）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．75．（2024·江西南昌·二模）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2018年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是萬(wàn)元.76．（2024·福建福州·三模）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，一、單選題1．（2024高三上·廣東深圳·期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（

）A．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元2．（2024·浙江·二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米3．（2024高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次4．（2024·全國(guó)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B．C． D．5．（2024·全國(guó)）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名6．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式為和保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：）．水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為，保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)7．（2024·四川成都·三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過(guò)物體的溫度將滿足，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過(guò)物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．8．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開(kāi)展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于貸款人的年收入（單位：萬(wàn)元）的Logistic，模型：，已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.若銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬(wàn)元 B．5.63萬(wàn)元 C．6.40萬(wàn)元 D．10.00萬(wàn)元9．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見(jiàn)》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）(參考數(shù)據(jù)：)A．14次 B．15次 C．16次 D．17次10．（2024·江西·二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢(qián)買(mǎi)到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類(lèi)建筑，二類(lèi)建筑．二類(lèi)建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類(lèi)建筑）施工過(guò)程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為，4周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（

）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周12．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類(lèi)型的是（

）A． B．C． D．13．（2024·全國(guó)）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.614．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē),利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng)1=5.06x－0.15x2和L2=2x，其中x為銷(xiāo)售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.5115．（2024高三上·北京東城·開(kāi)學(xué)考試）教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且y隨時(shí)間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間t（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．5 B．7 C．9 D．1016．（2024·四川）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在℃的保鮮時(shí)間是A．16小時(shí) B．20小時(shí) C．24小時(shí) D．21小時(shí)17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）某程序研發(fā)員開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有1000名初始用戶，經(jīng)過(guò)t天后，用戶人數(shù)，其中k和m均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶，則用戶超過(guò)2萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（

）（天數(shù)按整數(shù)算，?。?A．20 B．21 C．22 D．2318．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）苂光定量PCR是一種通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的苂光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的方法.在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，苂光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，DNA的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為DNA的初始數(shù)量，為擴(kuò)增效率.已知某被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增6次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的100倍，則擴(kuò)增效率約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．19．（2024·湖南）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為，第二年的增長(zhǎng)率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為A． B．C． D．20．（2024高一上·青海西寧·期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（

）A． B． C．2 D．21．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）1.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61A． B． C． D．22．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）四人賽跑，假設(shè)其跑過(guò)的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是，，，，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題23．（2024·遼寧大連·三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)分別為甲?乙兩方初始實(shí)力，為比賽時(shí)間；分別為甲?乙兩方時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)分別為甲對(duì)乙?乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利24．（2024高一上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)量相等B．野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過(guò)1個(gè)月C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到，，所需的時(shí)間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度25．（2024高一上·山東德州·期末）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時(shí)間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間比從下降到所需的時(shí)間多26．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時(shí)間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)了，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)27．（2024·全國(guó)）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題28．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過(guò)毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).（精確到小時(shí)）29．（2024·浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，，．30．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．31．（2024高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）32．（2024高三上·湖南常德·階段練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的米的位置，信息素濃度為.33．（2024高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：．設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為．34．（2024·北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為．35．（2024高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)（約為，單位：）之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作（單位：貝爾），即.取貝爾的倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度（單位：米）之間滿足關(guān)系式，若甲游客大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于個(gè)乙游客同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為.36．（2024高三下·北京海淀·階段練習(xí)）科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時(shí)定義了一個(gè)理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對(duì)溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數(shù)．而我們?cè)谧鰧?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo)，以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線如圖所示，試寫(xiě)出其可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式．37．（2024高三下·河南平頂山·階段練習(xí)）折紙是我國(guó)民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)中聘請(qǐng)了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙．課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長(zhǎng)為12cm，寬為10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長(zhǎng)度的取值范圍是cm．四、解答題38．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如圖是下水道的一種橫截面，上部為半圓，下部為矩形，若矩形下底邊長(zhǎng)為，此橫截面面積為y，周長(zhǎng)為l（常量），求：

(1)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式及其定義域；(2)的最大值.39．（2024·江蘇）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表