高考數(shù)學第二輪專題第11講-立體幾何

第11講立體幾何04真知真題掃描

考點考法探究教師備用習題

1.[2020·天津卷]如圖M4-11-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.真知真題掃描圖M4-11-1

真知真題掃描

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真知真題掃描真知真題掃描2.[2020·全國新高考Ⅰ卷]如圖M4-11-2,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;證明:因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因為AD∥BC,AD?平面PBC,所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD,因此l⊥平面PDC.圖M4-11-2真知真題掃描(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

真知真題掃描(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

真知真題掃描3.[2020·全國卷Ⅱ]如圖M4-11-3,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點,過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.圖M4-11-3解:(1)證明:因為M,N分別為BC,B1C1的中點,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,所以AA1∥MN.因為△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,所以B1C1⊥平面A1AMN,所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.真知真題掃描圖M4-11-3

真知真題掃描

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圖M4-11-4真知真題掃描(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

真知真題掃描考點考法探究

平行、垂直關(guān)系的證明圖M4-11-5證明:(1)因為四邊形ABCD為平行四邊形,O為AC與BD的交點,所以O為BD的中點.又E為側(cè)棱PD的中點,所以OE∥PB,因為PB?平面PBC,OE?平面PBC,所以OE∥平面PBC.考點考法探究圖M4-11-5

考點考法探究圖M4-11-5考點考法探究【規(guī)律提煉】(1)證明平行與垂直時,主要是考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理的運用,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力,求解時注意條件書寫的完整性.(2)證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系,證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法:①線面平行的性質(zhì)定理;②三角形中位線法;③平行四邊形法.證明線線垂直的常用方法:①等腰三角形三線合一;②勾股定理的逆定理;③線面垂直的性質(zhì)定理;④菱形的對角線互相垂直.考點考法探究自測題1.如圖M4-11-6,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點O,EF∥AB,AB=2EF,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,點G為BC的中點.(1)求證:OG∥平面EFCD;證明:∵四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,∴點O是BD的中點,∵點G為BC的中點,∴OG∥CD.又OG?平面EFCD,CD?平面EFCD,∴OG∥平面EFCD.圖M4-11-6考點考法探究(2)求證:AC⊥平面ODE.

圖M4-11-6考點考法探究

圖M4-11-7

考點考法探究圖M4-11-7

考點考法探究考點考法探究例2[2020·全國卷Ⅲ]如圖M4-11-8,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.利用空間向量求角與距離圖M4-11-8

考點考法探究

考點考法探究考點考法探究例3[2020·浙江卷]如圖M4-11-9,在三棱臺ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)證明EF⊥DB.

圖M4-11-9考點考法探究(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

圖M4-11-9考點考法探究

考點考法探究

考點考法探究【規(guī)律提煉】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)求出相應平面的法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理、結(jié)論求出相應的角和距離.考點考法探究自測題

1.如圖M4-11-10,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=1,D是棱BB1上一點,P是C1D的延長線與CB的延長線的交點,且AP∥平面A1CD.(1)求證:BD=B1D;證明:連接AC1,設AC1∩A1C=O,連接OD,∵AP∥平面A1CD,AP?平面APC1,平面APC1∩平面A1CD=OD,∴AP∥OD.∵O為正方形A1ACC1的中心,∴C1O=OA,∴C1D=DP.∵C1B1∥CP,∴B1D=BD.圖M4-11-10考點考法探究(2)求二面角C-A1D-C1的正弦值;

考點考法探究(2)求二面角C-A1D-C1的正弦值;

考點考法探究

圖M4-11-10考點考法探究

圖M4-11-11考點考法探究(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC,M為A1C1的中點,求B1C與平面AB1M所成角的余弦值.

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利用空間向量解決探索性問題圖M4-11-12考點考法探究

圖M4-11-12考點考法探究

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考點考法探究例5如圖M4-11-13所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.(1)證明:PA∥平面BDE.(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.(3)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.圖M4-11-13考點考法探究

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考點考法探究【規(guī)律提煉】對于立體幾何中的探索性問題、存在性問題,借助空間向量,使幾何問題代數(shù)化,可降低思維難度.對于存在性問題,解題的策略一般為先假設存在,然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷,若不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在;若出現(xiàn)矛盾,則否定存在;對于折疊問題,要注意折疊前后的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,一般情況下,折線同側(cè)的關(guān)系不變,兩側(cè)的關(guān)系往往發(fā)生變化.考點考法探究

圖M4-11-14考點考法探究(2)求二面角N-CE-D的正弦值.

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考點考法探究

圖M4-11-15考點考法探究(2)在線段PD上,是否存在一點M,使得二面角M-AC-D的大小為45°,如果存在,求BM與平面MAC所成的角的正弦值,如果不存在,請說明理由.

考點考法探究

教師備用例題[備選理由]例1考查線面垂直和面面垂直的判定定理,考查利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值,考查了推理證明能力和運算求解的能力.例2的推薦理由在于建系方式較為獨特;例3考查了利用空間向量證明線面垂直,求二面角,考查了空間想象能力和推理計算能力,屬于較難題,尤其是圖形的不規(guī)則性,動點問題交織,思維量較大,值得講練.例4考查探索存在性問題,借助空間向量使幾何問題代數(shù)化,可降低思維難度.教師備用例題例1

[配例3使用]如圖,在直角梯形AO1O2C中,AO1∥CO2,AO1⊥O1O2,O1O2=4,CO2=2,AO1=4,點B是線段O1O2的中點,將△ABO1,△BCO2分別沿AB,BC向上折起,使O1,O2重合于點O,得到三棱錐O-ABC.(1)證明:平面AOB⊥平面BOC;

教師備用例題

(2)求直線OC與平面ABC所成角的正弦值.教師備用例題例2

[配例2使用]如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,它們所在的平面互相垂直,FD⊥平面ABCD,EF∥平面ABCD.(1)求證:平面ACF⊥平面BDF;證明