第33講-立體幾何中的范圍與最值問題(原卷版)

加QQ309000116進(jìn)百度群內(nèi)容2000G分成20多類自動(dòng)更新永久服務(wù)第33講立體幾何中的范圍與最值問題一、單選題1．（2021·廣西·南寧市東盟中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE．過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A． B． C． D．2．（2021·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中（理））棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．13．（2021·四川成都·高三期中（文））已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為棱中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為；②若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；③若在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；④若過點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2021·河南·高三月考（理））如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：①三棱錐體積的最大值為，②三棱錐體積的最小值為③存在某個(gè)位置，使得④設(shè)二面角的平面角為，且，則.其中所有正確說法的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．（2021·云南師大附中高三月考（理））已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐O-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在底面ABCD內(nèi)，且Q在線段DE上，過頂點(diǎn)O平行于底面ABCD的平面為，F(xiàn)在平面內(nèi)的射影為，長(zhǎng)度為，則PQ長(zhǎng)度的最小值是（）A． B． C． D．6．（2021·云南師大附中高三月考（文））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若線段A1D上存在一點(diǎn)E，使AE+B1E取得最小值，則此最小值是（）A．4 B．C． D．7．（2021·甘肅·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)全部在球的表面上，，，三棱柱的側(cè)面積為，則球表面積的最小值是（）A． B． C． D．8．（2021·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．39．（2021·海南·三模）直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，是上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．（2021·全國(guó)·高三開學(xué)考試（文））如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）A． B．三棱錐的體積為定值C．平面平面 D．的最小值為11．（2021·四川·高三月考（理））如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為正方體中的側(cè)面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值是（）A． B． C． D．12．（2021·山西·祁縣中學(xué)高三月考（文））已知三棱錐的外接球?yàn)榍?，是邊長(zhǎng)為的正三角形，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為（）A． B． C． D．13．（2021·浙江金華·高三月考）已知四面體，，，平面，于E，于F，則（）A．可能與垂直，的面積有最大值B．不可能與垂直，的面積有最大值C．可能與垂直，的面積沒有最大值D．不可能與垂直，的面積沒有最大值14．（2021·浙江·高三月考）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（）A．四棱錐為“陽(yáng)馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積的最大值為D．過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則15．（2021·浙江·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影與的垂心重合，且．若三棱錐的外接球半徑為，則的最大值為（）A． B． C． D．16．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)三模（理））正方體的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)分別是P，Q，直線與正方體的外接球O相交于M，N兩點(diǎn)點(diǎn)G是球O上的動(dòng)點(diǎn)則面積的最大值為（）A． B． C． D．17．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面，?是上的兩個(gè)點(diǎn)，?在平面內(nèi)，且，，，，，在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，則體積的最大值是（）A． B．16 C．48 D．144二、多選題18．（2021·江蘇蘇州·高三期中）如圖，正方形與正方形邊長(zhǎng)均為1，平面與平面互相垂直，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．的最小值為 B．當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變C．的最小值為 D．三棱錐的外接球表面積為19．（2021·廣東湛江·高三月考）如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個(gè)位置，使得D．設(shè)二面角的平面角為，且，則20．（2021·福建·福州三中高三月考）如圖，已知圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，底面圓O的直徑為2．C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，D為弦AC的中點(diǎn)，E為線段PB上異于P，B的點(diǎn)，以下正確的結(jié)論有（）A．直線平面PDO B．CE與PD一定為異面直線C．直線CE可能平行于平面PDO D．若，則的最小值為21．（2021·廣東·高三月考）在直角三角形中，，a，b為空間中兩條互相垂直的直線，所在直線與a，b都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A．當(dāng)直線與a成角時(shí)，與b成角；B．當(dāng)直線與a成角時(shí)，與b成角；C．當(dāng)直線與a成角時(shí)，與b成角；D．直線與b所成角的最小值為；22．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三月考）已知點(diǎn)A為圓臺(tái)下底面圓上的一點(diǎn)，S為上底面圓上一點(diǎn)，且，，，則下列說法正確的有（）A．直線SA與直線所成角最小值為B．直線SA與直線所成角最大值為C．圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且半徑為D．直線與平面所成角正切值的最大值為23．（2021·湖北黃石·高三開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱交于，兩點(diǎn)，設(shè)，以下說法中正確的是（）A．平面平面B．四邊形的面積最小值為1C．四邊形周長(zhǎng)的取值范圍是D．四棱錐的體積為定值24．（2021·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，存在唯一點(diǎn)使得與直線的夾角為C．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為D．當(dāng)時(shí)，與平面所成的角不可能為25．（2021·廣東·高三開學(xué)考試）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足，，其中，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)λ=時(shí)，三棱錐P-EFD的體積為定值B．當(dāng)μ=時(shí)，四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是C．的最小值為D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得EP⊥平面PDF26．（2021·山東濰坊·高三期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為，下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線與所成角的大小為B．若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則平面C．與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是D．若此正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截正方體所得截面面積的最大值是27．（2021·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三月考）如圖，為圓錐的底面直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為28．（2021·廣東廣州·高三月考）如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確的是（）A．翻折到某個(gè)位置，使得B．翻折到某個(gè)位置，使得平面C．四棱錐體積的最大值為D．點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)29．（2021·山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題30．（2021·河南·高三月考（理））已知正三棱柱內(nèi)有個(gè)半徑為的半球，若這個(gè)半球的球面兩兩相切，且其中個(gè)半球的球心在該棱柱底面上.則正三棱柱側(cè)面積的最小值為___________.31．（2021·廣東龍崗·高三期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.32．（2021·河南·高三月考（文））2021年7月，某學(xué)校的學(xué)生到農(nóng)村參加勞動(dòng)實(shí)踐，一部分學(xué)生學(xué)習(xí)編斗笠，一種用竹篾或葦蒿等材料制作外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”（如圖），一部分學(xué)生學(xué)習(xí)制作泥塑幾何體，現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體形狀泥塊，其各面的中心分別為點(diǎn)，，，，，，將正方體削成正八面體形狀泥塊，若用正視圖為正三角形的一個(gè)“燈罩斗笠”罩住該正八面體形狀泥塊，使得正八面體形狀泥塊可以在“燈罩斗笠”中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該有底的“燈罩斗笠”的表面積的最小值為___________.33．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，若，則長(zhǎng)度的最小值為__________．34．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，若為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是___________.35．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為_________．36．（2021·河北·高三月考）已知空間四邊形的各邊長(zhǎng)及對(duì)角線的長(zhǎng)度均為平面平面點(diǎn)在上，且過點(diǎn)作四邊形外接球的截面﹐則截面面積最大值與最小值之比為___________.37．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為______.38．（2021·甘肅·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知球是正四面體的外接球，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與球形成的截面面積的最小值為，則正四面體的體積為___________.39．（2021·陜西·西安中學(xué)高三月考（理））已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上異于、的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論中正確的結(jié)論的序號(hào)為__________．①線段的長(zhǎng)度為；②若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則無論點(diǎn)與如何運(yùn)動(dòng)，直線與直線都是異面直線；③的余弦值的取值范圍是；④周長(zhǎng)的最小值為．40．（2021·河北衡水中學(xué)高三月考）如圖，在棱長(zhǎng)均為的正四面體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.41．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)部有一個(gè)大球和小球，大球與正方體的六個(gè)面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動(dòng)，則小球的表面積最大值是___________.42．（2021·山東菏澤·二模）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，若側(cè)面BCC1B1（含邊界）內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=2PC，則線段DP長(zhǎng)度的最大值為_________．43．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））詞語“鱉膈”等出現(xiàn)自我國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉膳”，如圖，三棱錐是一個(gè)鱉，其中，三棱錐的接球的表面積為12，，則三棱錐的體積的最大值為__________．44．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)用一個(gè)與垂直，且與正四面體的四個(gè)面都相交的平面去截該正四面體，當(dāng)所得截面多邊形面積的最大值為4時(shí)，該四面體的外接球的體積為________．45．（2021·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知球的表面積為，點(diǎn)均在球的表面上，且，則四面體體積的最大值為___________.46．（2021·四川·川大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知三棱錐三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離最大值為______．47．（2021·內(nèi)蒙古·通遼新城第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，長(zhǎng)為4，寬為2的矩形紙片中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)至(平面)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列正確的命題序號(hào)是___________.①平面；②異面直線與所成角是定值；③三棱錐體積的最大值是；④一定存在某個(gè)位置，使48