2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義：一元一次不等式與一元一次不等式組

專題01一元一次不等式與一元一次不等式組

目錄

【考點(diǎn)一不等式的定義】.......................................................................2

【考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)】.......................................................................2

【考點(diǎn)三一元一次不等式的定義】...............................................................3

【考點(diǎn)四根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】.....................................................3

【考點(diǎn)五求一元一次不等式的解集】.............................................................3

【考點(diǎn)六方程(組)與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問(wèn)題】...........................................4

【考點(diǎn)七一元一次不等式與一次函數(shù)】...........................................................5

【考點(diǎn)八求一元一次不等式組的解集】...........................................................6

【考點(diǎn)九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】......................................7

【考點(diǎn)十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】..................................7

【考點(diǎn)十一方程與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題】..................................................8

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】.................................................................................10

1.不等式的概念

(1)概念：用不等號(hào)“>”、“<"、、“4”、，”表示不等關(guān)系的式子;

⑵常見不等號(hào)>::大二于?2表示“大于或等于"或“不小于”；w表不等于;

〈小于；〈表示“小于或等于"或“不大于”

2.不等式的基本性質(zhì)

(1)不等式的基本性質(zhì)1：a>b=>a+m>b+m,

<(2)不等式的基本性質(zhì)2：a>Z?且加>0=>>bm;—>—.

mm

(3)不等式的基本性質(zhì)3：a>b且加<0=>am<bm;—<一.

mm

3.一元一次不等式的解法

'（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值；

（2）不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集；

<（3）解不等式：求不等式解集的過(guò)程；

（4）解一元一次不等式的步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④化成辦〉6（。/0）;

⑤兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù).

4.一元一次不等式組

'⑴定義：關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起組成一個(gè)元一次不等式組；

（2）解集：各個(gè)不等式的解集的公共部分叫這個(gè)一元一次不等式組的解集；

〈設(shè)a〉仇<“的解集x〉a；<“:"的解集r<&]","的解集A<x<的解集無(wú)解；

[x>b[x<b[x>b[x<b

（3）解法：一般步驟①求各不等式的解集；②在數(shù)軸上表示各不等式解集；

.③確定各不等式解集的公共部分.

5.列一元一次不等式（組）解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找不等量關(guān)系式；（3）設(shè)元，根據(jù)不等量關(guān)系式列不等式（組）；（4）

解不等式（組），檢驗(yàn)并作答。

s???

，考點(diǎn)剖析

【考點(diǎn)一不等式的定義】

22

例題：（22-23八年級(jí)下?四川達(dá)州?期末）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：-3<0,a+b,x=3,x+2y+y,x豐5,x+2>y+3

中，是一元一次不等式的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式訓(xùn)練】

1.（22-23七年級(jí)下?山東淄博?期末）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個(gè)數(shù)是（）

①-3<0；②4x+3y>0；③x=3；④xw5；⑤x+2>y+3.

A.24"2.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

2.（22-23七年級(jí)下?遼寧撫順?期末）下列數(shù)學(xué)式子：①-3<0；②2x+3yN0；③x=l；?x2-2xy+y2；

⑤x+lw3；其中是不等式的有（）

5個(gè)2.4個(gè)C.3個(gè)D2個(gè)

【考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)】

例題：（23-24八年級(jí)上?浙江紹興?期末）若加>〃，則下列式子中下軍感空的是（）.

加n

A.m-3<n-3B,一<—C.2—3加<2—3〃D.（。-3）冽<-3）〃

33

【變式訓(xùn)練】

1.（22-23七年級(jí)下?四川涼山?期末）已知a>b,下列變形一定正確的是（）

A.3a<3bB.4+a>4-b

C.ac3>be3D.5+0.1。〉5+0.必

2.（22-23八年級(jí)上?浙江寧波?期末）已知。>口則下列各式中一定成立的是（）

..-c。b

A.a—b<0B.2tz-l<2Z?-1C.ac1>be2D.—>—

33

【考點(diǎn)三一元一次不等式的定義】

例題：（23-24八年級(jí)上?湖南?期末）下列不等式是一元一次不等式的是（）

A.5>2B.3x<0C.x+2y>0D.?+5x-7>0

【變式訓(xùn)練】

1.（22-23七年級(jí)下?山東泰安?期末）下列式子是一元一次不等式的是（）

21

A.----2<3B.—（x—6）<0C.2x—y>4D.x2—1>0

2.（22-23七年級(jí)下?福建福州?期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（）

A.4>1B.3x-16<4C.-<2D.4x-3<2y-7

X

【考點(diǎn)四根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】

例題：（22-23八年級(jí)上?江西南昌?期末）已知關(guān)于x的不等式3%+小>-5的解集如圖所示，則〃?的值

為.

__IJ11111A

-3-2-10123

【變式訓(xùn)練】

1.（22-23八年級(jí)下嚀夏銀川?期末）關(guān)于x的不等式（"3）x<3"9的解集為尤<3,則左的取值范圍

為.

2.（22-23八年級(jí)下?寧夏中衛(wèi)?期末）不等式學(xué)2笥3+1的解集為xV8,則2山=

【考點(diǎn)五求一元一次不等式的解集】

例題：（23-24七年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）解不等式1+2,并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

【變式訓(xùn)練】

Y—2X

1.（23-24七年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）解不等式：一21-并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

32

上」111}

-3-2-I0123

2.（22-23七年級(jí)下?吉林白山?期末）解不等式三口2土1+1,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

43

3.（23-24七年級(jí)下?貴州黔南?期末）小米同學(xué)求解一元一次不等式的過(guò)程:

解不等式：?3x7+2x

23

解：去分母，得3x3xV2（7+2尤）+1.第一步

去括號(hào)，得以W14+4尤+1.第二步

移項(xiàng)，得9x-4xW14+l.第三步

合并同類項(xiàng)，得5x<15.第四步

系數(shù)化為1,得xV3.第五步

所以原不等式的解為x43.

（1）該解題過(guò)程中從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請(qǐng)你按照上面演算步驟寫出正確的解答過(guò)程.

【考點(diǎn)六方程（組）與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問(wèn)題】

x+2y=a

例題：（23-24八年級(jí)上?寧夏銀川?期末）已知方程組c-c。的解滿足x+>25,則。的取值范圍

2x+y=2a+3

是

【變式訓(xùn)練】

1.（22-23七年級(jí)下?四川樂(lè)山?期末）已知關(guān)于x的方程27-3工=-3的解是非負(fù)數(shù)，則加的取值范圍是

2x+y=3m的解滿足不等式<1,

2.（23-24八年級(jí)上?廣西貴港?期末）關(guān)于x、N的二元一次方程組X+J

%+2》=3

則加的取值范圍是

【考點(diǎn)七一元一次不等式與一次函數(shù)】

例題:(22-23八年級(jí)上?江蘇鹽城?期末)如圖，直線《：y=2x+6交x軸、y軸分別于點(diǎn)人、8,直線/2。=息+6

與直線/交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)C.已知。(3,0),。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為T.

(1)求直線4的解析表達(dá)式；

(2)觀察圖像，直接寫出不等式2x+6〈丘+6的解集.

【變式訓(xùn)練】

1.(22-23八年級(jí)上?江蘇鹽城?期末)如圖，已知直線>=履+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(3,0),3(1,2),直線y=2x-4與

該直線交于點(diǎn)C.

(1)求直線NB的表達(dá)式；

(2)求兩直線交點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式2x-42h+b的解集.

2.（22-23八年級(jí)上?云南文山?期末）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,

直線4：y=3x-6與x軸交于點(diǎn)。，與4相交于點(diǎn)C.

⑴請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)%>0時(shí)，x的取值范圍是

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）在了軸上一點(diǎn)E.若S"CE=S"C0，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【考點(diǎn)八求一元一次不等式組的解集】

-4-3%>8@

例題：（23-24七年級(jí)下?貴州黔南?期末）解不等式組2x-4》不，并在數(shù)軸表示不等式組的解集.

-------<-0

[32

【變式訓(xùn)練】

3x>x-6

1.（22-23七年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末）解不等式組5+2x,,把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái);

-------->x+1

[3

-3-2-101234

-2（x-l）<3x-l

2.（22-23七年級(jí)下?云南昆明?期末）解不等式組x-1x，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

--------1<—

2

—x+5>1-xQj

3

（22-23八年級(jí)下?四川達(dá)州?期末）解不等式組,并寫出它的非負(fù)整數(shù)解.

x-1<-x-—@

48

2%+3<x+11

4.（22-23七年級(jí)下?遼寧葫蘆島?期末）解不等式組2%+514把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).并寫出其

----------l>4-x

[3

整數(shù)解

?]II1111111111111A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

【考點(diǎn)九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】

fl-x>0

例題：（22-23七年級(jí)下?黑龍江佳木斯?期末）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解有5個(gè)，則。的取值范

[x>a

圍是_________

【變式訓(xùn)練】

[2x—a<\

1.（22-23八年級(jí)下?四川成都?期末）若關(guān)于x的不等式組二，.的整數(shù)解只有2,3,4,且a,6均

\2b<3x—2

為整數(shù)，則Q+b的最大值為.

x—a<0

2.（22-23七年級(jí)下?江蘇宿遷?期末）已知關(guān)于x的不等式組3的解集中至少有4個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)

x>——

I2

a的最小值是.

【考點(diǎn)十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】

fx—5<1

例題：（22-23八年級(jí)下?四川成都?期末）已知一元一次不等式組/的解集為％<6.則。的取值范圍

是.

【變式訓(xùn)練】

[5x-3>3x+5

1.(22-23七年級(jí)下?重慶長(zhǎng)壽?期末)若關(guān)于尤的不等式組無(wú)解，則。的取值范圍為_________.

[x<a

[2x-a<\

2.(22-23七年級(jí)下?重慶萬(wàn)州?期末)若關(guān)于x的不等式組.。的解集為貝!|(“+1)(26-1)的

[x-2b>3

值為—.

【考點(diǎn)十一方程與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題】

例題：(23-24八年級(jí)上?湖南懷化?期末)某中學(xué)為落實(shí)《教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康

管理工作的通知》文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，需要購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球，已知購(gòu)買2

個(gè)籃球和3個(gè)足球共需費(fèi)用510元；購(gòu)買3個(gè)籃球和5個(gè)足球共需費(fèi)用810元.

(1)求籃球和足球的單價(jià)分別是多少元.

(2)學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)籃球、足球共50個(gè)，并要求籃球不少于30個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)5460元，那么有哪幾種購(gòu)

買方案？

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24八年級(jí)上?湖北隨州?期末)“垃圾分一分，環(huán)境美十分”.某社區(qū)為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號(hào)召，

從百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A,B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知3品牌垃圾桶比/品牌

垃圾桶每個(gè)貴40元，用3000元購(gòu)買/品牌垃圾桶的數(shù)量是用2000元購(gòu)買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍.

(1)購(gòu)買一個(gè)/品牌、一個(gè)2品牌的垃圾桶各需多少元？

(2)若該社區(qū)決定再用不超過(guò)6000元購(gòu)進(jìn)4,2兩種品牌垃圾桶共60個(gè)，恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)這兩種品牌垃圾桶

的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整：/品牌按上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的七折出售，2品牌比上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)提高了10%.那么該

社區(qū)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)8品牌垃圾桶？

2.(23-24八年級(jí)上?黑龍江牡丹江?期末)某水果超市兩次去批發(fā)市場(chǎng)采購(gòu)?fù)黄贩N的蘋果，第一次用800

元購(gòu)進(jìn)了若干千克，很快實(shí)完，第二次用2200元所購(gòu)數(shù)量比第一次多120千克，且每千克的進(jìn)價(jià)比第一次

提高了10%.

(1)求第一次購(gòu)買蘋果的進(jìn)價(jià)；

(2)求第二次購(gòu)買蘋果的數(shù)量；

(3)該水果超市按以下方案賣出第二次購(gòu)買的蘋果；先以。元/千克的價(jià)格售出加千克，再以15元/千克的價(jià)

格售出剩余的全部蘋果(不計(jì)損耗)，共獲利1500元，若a,均為正整數(shù)，且a不超過(guò)第二次進(jìn)價(jià)的2

倍，直接寫出。和加的值.

3.(22-23八年級(jí)上?湖北武漢?期末)武漢市某區(qū)的天然氣管道升級(jí)工程，若由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)

是由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的兩倍；若甲工程隊(duì)單獨(dú)做5天后，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)做15天，恰好完成

該工程的一半，共需施工費(fèi)28萬(wàn)元，甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用比乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用多0.8萬(wàn)元，

(1)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，甲、乙兩工程隊(duì)各需多少天？

(2)甲、乙兩工程隊(duì)每天的施工費(fèi)各為多少萬(wàn)元？

(3)甲、乙兩工程隊(duì)合做，若要完成全部工程的施工費(fèi)不超過(guò)52萬(wàn)元，且乙工程隊(duì)的施工天數(shù)大于6天，直

接寫出甲工程隊(duì)施工天數(shù).(天數(shù)為整數(shù))

4.(22-23七年級(jí)下?內(nèi)蒙古通遼?期末)在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運(yùn)送醫(yī)藥物資，若用2輛A型

車輛和1輛B型車輛裝滿物資一次可以運(yùn)送13噸；用1輛A型車輛和2輛8型車輛裝滿物資一次可以運(yùn)送11

噸?根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)通過(guò)列方程組求出：1輛A型車輛和1輛8型車輛都裝滿物資一次分別運(yùn)多少噸？

(2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備將一批醫(yī)藥物資一次性運(yùn)輸至武漢，于是從租車公司租用了A和5兩種型號(hào)車輛共9輛，

其中A型車輛每輛要付費(fèi)2000元，B型車輛每輛要付費(fèi)1300元，若付費(fèi)總金額不超過(guò)17000元，且物資不

少于38噸，請(qǐng)問(wèn)怎么安排車輛總費(fèi)用最少？

5.(22-23七年級(jí)下?四川涼山?期末)某體育用品店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌跳繩，若購(gòu)買甲種跳繩10根,

乙種跳繩5根，需要100元，若購(gòu)買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要55元.

(1)求購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？

(2)若該體育用品店剛好用了500元購(gòu)進(jìn)這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種

跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于18根，那么該文具店共有哪幾種購(gòu)買方案？

(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤(rùn)3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤(rùn)4元，在第(2)間的各種

進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

>過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.（22-23七年級(jí)下?福建福州?期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（）

A.x2>0B.2x-lC.2y<8D.--3x>0

X

2.（22-23七年級(jí)下?四川?期末）若關(guān)于x的不等式='-1>2/的解集是x>5,則7"的值是（）

2

A.-1B.1C.2D.3

3.（23-24八年級(jí)上?湖南湘潭?期末）若加〉幾，則下列不等式正確的是（）

A.m-3<n-3B.5-2m<5-In

「2、2mn

C.me>ncnD.----->-----

77

4.（23-24八年級(jí)上?陜西西安?期末）已知一次函數(shù)>=（3a-l）x+a的圖象上兩點(diǎn)/（XQJ,B（x2,y2）,當(dāng)

X|>X2時(shí)，有必<%,并且圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則。的取值范圍是（）

1

A.ci<一B.a>一C.0<a<—D.0<tz<-

3333

y—2

y-2<

5.（23-24八年級(jí)上?江西南昌?期末）若關(guān)于y的不等式組2有解，則滿足條件的整數(shù)加的最

3y+l-m>0

大值為（）

A.6B.7C.8D.9

6.（23-24八年級(jí)上?廣西百色?期末）如圖，一次函數(shù)廣日+b與尸-2x+l的圖象相交于點(diǎn)P.,3）,則下

B.b>0

C.關(guān)于x的方程fcr+6=3的解是％=-1D.關(guān)于x的不等式米+6<-2%+1的解集是x<3

二、填空題

7.（22-23八年級(jí)上?浙江寧波?期末）Z的一半與3的和小于2”用不等式表示為

8.（23-24八年級(jí)上?安徽合肥?期末）已知點(diǎn)尸（2a-3,3）在第二象限，則。的值可以等于.（寫

出一個(gè)符合要求的。值）

+y=1+4。

9.（22-23七年級(jí)下?四川綿陽(yáng)?期末）關(guān)于xj的方程組/。的解滿足x+y>0,貝!的取值范圍

[x+2y=2-a

是.

[x—2a>0

10.（23-24七年級(jí)下?貴州黔南?期末）若關(guān)于X的不等式組，.c無(wú)解，則。的取值范圍為.

[4-2x>0

11.（22-23七年級(jí)下?重慶?期末）已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)尸（4-見-;加]在第四象限，且關(guān)于x的不

3%>2（x-2）

等式組x-11有且只有4個(gè)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)冽的和為______.

3%--------<—m

I22

12.（22-23七年級(jí)下?山東威海?期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次

方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”.在方程①5》-2=0,②,x+l=0,③x-（3x+l）=-5中，不等式組

2x—5>3x—8

的關(guān)聯(lián)方程是

-4x+3<x-4

三、解答題

13.（23-24八年級(jí)上?浙江紹興?期末）解下列不等式（組）：

（1）6x—1>9x—4.

3（l-x）>2（l-2x）

（2）<3+x2x-l

------>--------+11

14.（23-24七年級(jí)上?重慶北錯(cuò)?期末）解不等式（組）

（1）8—3x24

（2）2（X-1）<3（X+1）-2

3x-l<2x+l

⑶3（x+l）<2（4-x）

3

（4）

l+3（x+l）

-1

2--f

15.（22-23七年級(jí)下?山東濟(jì)寧?期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線4:必=2x與直線4：%=—+。

交于點(diǎn)尸（1,切）.

（1）求加，。的值;

⑵當(dāng)歸4%時(shí)，x的取值范圍是；