2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題及答案

北京市朝陽區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)試卷

2024.11

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.設(shè)集合/=3°<三2},集合8={x[l<x<3},則45=（）

A.{x|l<xV2}B,^x|0<x<2|

C.{x|0Vx<3}D,{x[l<x<3}

4

2.右函數(shù)/（x）=x+—（x〉0）在X=a處取得最小值，則。=（）

x

A.1B.y/2C.2D.4

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增的是（）

Aj=2xB.J=In|x|

2

C.y=tanxD.y=x——

x

4.如圖，在V48c中，BD=-BC,AE=-AC,貝！J()

32

—?1—?1—?—?2—?2—?

A.BD=—AB——ACB.BD=-AB——AC

3333

—?2—?1—?

C.DE=--AB+-ACD.DE=-AB——AC

3636

,則向量工與向量?夾角的余弦值是()

5.已知單位向量,，）?滿足1]=（）,設(shè)向量

6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日

織幾何？’'意思是："一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子

每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（）

A1天B.2天C.3天D.4天

7.已知鬼尸均為第二象限角，則"sina>sin是“cosa〉cos力”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

ex,x<0,

8.已知函數(shù)/（x）=<,一若直線>=》+機(jī)與函數(shù)y=/（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)

2y/x+l,X>0.

數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(-<?,l]U(2,+oo)B.(-oo,l)U[2,+oo)

C.（-co,0]o（2,+c?）D.（-oo,0）u[2,+oo）

9.在三棱錐O—48C中，棱CM,OB,OC兩兩垂直，點(diǎn)尸在底面48C內(nèi)，已知點(diǎn)尸到。4,OB,

OC所在直線的距離分別為1,2,2,則線段。尸的長為（）

A.B.—C.3D.-

222

10.數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法.記網(wǎng)為集合S的元素個(gè)數(shù)，9（S）為

集合S的子集個(gè)數(shù)，若集合48,c滿足：①同=99,慟=100；②

e（Z）+e（8）+e（C）=0（ZDBuC）,則的最大值是（）

A.99B.98C.97D.96

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)—=________.

1-Z

3

12.在V45C中，已知cos/=w，貝iJsinZ=；tan（兀一4）=.

13.己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=出？+歷z（/,3為常數(shù)），寫出一個(gè)有序數(shù)對(duì)（48）=，

使得數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

14.某種滅活疫苗的有效保存時(shí)間T(單位：h)與儲(chǔ)藏的溫度單位：。C)滿足函數(shù)關(guān)系7=心+，

(左,6為常數(shù)，其中e=2.71828…).已知該疫苗在(TC時(shí)的有效保存時(shí)間是1440h,在5°C時(shí)的有效保存

時(shí)間是360h,則該疫苗在1(TC時(shí)的有效保存時(shí)間是h.

15.對(duì)于無窮數(shù)列｛%｝,若存在常數(shù)M>0,使得對(duì)任意的〃eN*，都有不等式

|出一⑷+砥―4|+…+|。"+「再歸'成立，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)尸.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在公差不為0的等差數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P；

②以1為首項(xiàng)，q(\q\<1)為公比的等比數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P；

③若由數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列｛SJ具有性質(zhì)P,則數(shù)列｛%｝也具有性質(zhì)P；

④若數(shù)列｛4｝和｛4｝均具有性質(zhì)P，則數(shù)列｛。/〃｝也具有性質(zhì)P.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在V45C中，acosC+ccosA=2a.

(1)求2的值；

a

(2)若2=巴，c=C，求6及V48C的面積.

6

17.如圖，在四棱錐P—48co中，尸平面45CD,ABHCD,ADLCD,AB=AD=2,

CD=PD=3.

(2)求平面尸48與平面PCD的夾角的余弦值；

(3)記平面尸48與平面PCD的交線為/.試判斷直線N3與/的位置關(guān)系，并說明理由.

18.已知函數(shù)/(x)=ax-ln(x+l)(aeR).

(1)若。=1,求/(x)的最小值；

(2)若/(x)存在極小值，求。的取值范圍.

及設(shè)函數(shù)/a)=sm2sc°s°+2c"3sm"0〉(W《：

(1)若G=l,0=己，求/的值；

(2)已知/(%)在區(qū)間-上單調(diào)遞增，且是函數(shù)歹=/(工)的圖象的對(duì)稱軸，再從條件①、條

63J3

件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(%)存在，求G,9的值.

7T

條件①：當(dāng)x二—7時(shí)，/(%)取到最小值；

6

條件②：/^=|;

JTJT

條件③：/(X)在區(qū)間-；,一二上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

20已知函數(shù)/(x)=e"+cosx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)討論/(X)在區(qū)間(-兀,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若/(m)=n,其中優(yōu)>0,求證：n-m>2.

21.若有窮正整數(shù)數(shù)列4%,a2,%，…，。2“(〃23)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列/為T數(shù)列：①

+a?=2,(i=1,2,3,…,〃)；②對(duì)任意的ze{1,2,3,…,2〃—1},都存在正整數(shù)j<i,使得

aaaa

i+l=%+j+\+J+2一bj+(i-j-).

(1)判斷數(shù)列/：1,1,1,3,3,5和數(shù)列8：1,1,2,2,4,4,4,12是否為7數(shù)列，說明理由;

(2)已知數(shù)列/：%,a2,a3,外工〃23)是T數(shù)列.

(i)證明：對(duì)任意的ie{2,3,…，〃—1},=3x2"2與%HI=3x2"2不能同時(shí)成立；

(ii)若〃為奇數(shù)，求出+&+4+1+出,的最大值?

北京市朝陽區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)試卷

2024.11

(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.設(shè)集合”=3°<“叫，集合八卜…<3},則"5=()

A.{x|l<xV2}B.^x|0<x<2|

C.{x|0Vx<3}D,{x[l<x<3}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.

【詳解】因?yàn)榧?={川0<》<2},集合8={xfl<x<3},

所以2口5={x|l<x<2}.

故選：A

4

2.若函數(shù)/(x)=x+—(x>0)在x處取得最小值，則。=()

X

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】因?yàn)閤>0,所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值點(diǎn)為x=2,得出結(jié)果〃=2.

4

【詳解】v>0,.-.->0,

XX

4I~~4

???/(x)=x+—22jx?一二4,

X\X

4

當(dāng)且僅當(dāng)、=一，即％=2時(shí)取等號(hào)，

x

???最小值點(diǎn)％=2,即Q=2.

故選；c

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=2xB.j=ln|x|

,2

C.y=tanxD.y=x——

x

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)歹=2、為指數(shù)函數(shù)，不具備奇偶性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,函數(shù)y=ln|x|的定義域?yàn)閧x|x#0},

由于/(-x)=In|-x|=In|x|=/(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,函數(shù)y=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知^=tanx為奇函數(shù),

IJTTT\

且在1-5+^,5+E卜左￡Z單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤;

2

對(duì)于D,函數(shù)y=x-一的定義域?yàn)閧x|xw0},

X

2222

由f(-x)=-----=—x+—=—(x——)=-f(x),故函數(shù)y=x——為奇函數(shù),

-XXXX

2

因?yàn)?(%)=1+方＞0，

x

2

所以函數(shù)V=X——在(-8,0)單調(diào)遞增，故D正確.

X

故選：D.

4.如圖，在VN8C中，BD=-BC,AE=-AC,貝|()

32

1—.1—.—?2—?2—?

A.BD=-AB——ACB.BD=-AB——AC

3333

2—■1—-—?2—?

C.DE=——AB+-ACD.DE=-AB--AC

3636

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的線性關(guān)系即可得到結(jié)果.

【詳解】?:BD=—BC,AE=-AC,

32

：.BD=-BC,AE=-AC,

：.BD=-BC=-=-AC——AB,故AB選項(xiàng)錯(cuò)誤;

—>—>/—?—>\1—?—?(1—?1—2--1—?f

DE-AE—AB+BDj=—AC—AB—I—C——ABI——故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

故選：C

5.已知單位向量甲，]滿足？?]=(),設(shè)向量[=7-2],則向量)與向量甲夾角的余弦值是()

【答案】C

【解析】

【分析】先算出小，=1,同=6,再利用向量夾角公式即可得到答案

【詳解】解：c-i=(/-27)7=|/|2-2/J=1-2x0=1,

|c|=J(J2萬=J『『—4『j+4討=&-0+4=V5,

故選：C.

6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日

織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子

每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有()

A.1天B.2天C.3天D.4天

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)這女子每天分別織布氏尺，則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比1=2.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及

其前〃項(xiàng)和公式即可得出.

【詳解】設(shè)這女子每天分別織布4尺，

則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比4=2.

則砧二力=5,解得

1-231

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%==捺義2"T,

1020

ct)—,a2—,

'3131

540

當(dāng)“=4時(shí)，則%=3x21=—〉1,

3131

520

當(dāng)〃=5時(shí)，則%=—x25-1=—>1,

3131

故超過1尺的天數(shù)共有2天.

故選：B.

7.已知a,尸均為第二象限角，則"sina>sin/7”是“cosa>cos￡”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、平方關(guān)系，并根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)判斷即可.

【詳解】由題意，若sina>sin〃，因?yàn)閍,△均為第二象限角，所以sine>sin￡〉0,

所以sin2a>sin2p,BP1-cos2a>1-cos2/3,

所以cos2a<cos2￡,且a,"均為第二象限角，

所以costz<0,cos，<0,所以cosa>cos〃，即充分性成立.

若cosa>cos〃，因?yàn)樗剑鶠榈诙笙藿牵?/p>

所以0〉cosa>cos〃，即cos?a<cos?廣，

所以1-sir?a<l-sin?4，HPsin2a>sin2P,

因?yàn)榛?，均為第二象限角，所以sina>0,sin〃〉0,

所以sina>sin，>0,故必要性成立，

所以"sina〉sin，"是"cosa>cos/?”的充要條件.

故選：c.

ex,x<0,

8.已知函數(shù)/(x)=<,——若直線>=x+7〃與函數(shù)y=/(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)

2y/x+l,X>0.

數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-℃,1]U(2,+oo)B.(―℃,1)U[2,+00)

C.(-co,0]O(2,+c?)D.(-oo,0)u[2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】通過導(dǎo)數(shù)求出直線＞=》+%與分段函數(shù)各段相切對(duì)應(yīng)的機(jī)值，并結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】當(dāng)xVO時(shí),函數(shù)/(》)=/,則/'(x)=e"

令/，(x)=e，=l,解得x=0,

故直線y=x+/〃與/0)=產(chǎn)相切，即機(jī)=1.

當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)/(x)=2jx+l,則/[x)=(x+1產(chǎn)，

令/'(x)=(x+l尸=0,解得X=°,

故直線y=x+7"與/(x)=2j^ZT相切，即洸=2.

如圖所示，當(dāng)切＜1或加22時(shí)，直線y=x+m與分段函數(shù)/(X)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

故實(shí)數(shù)加的取值范圍為加＜1或%22.

故選：B.

9.在三棱錐O—48C中，棱CM,OB,OC兩兩垂直，點(diǎn)尸在底面48。內(nèi)，已知點(diǎn)尸到。4,OB,

OC所在直線的距離分別為1,2,2,則線段。尸的長為()

A.B.—C.3D.-

222

【答案】A

【解析】

【分析】由棱。4,OB,OC兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)，分別表示出尸到三條軸的距離,

然后得出|0P|的值.

【詳解】如圖，棱。4,OB,OC兩兩垂直，

可以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，2。為x軸，08為歹軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

b1+C1=\

設(shè)尸（見”c）,由題意可得：</+。2=4,+。2=2,

/+〃=42

■■\0P\=證+及+c?=乎，

故選：A

10.數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法.記網(wǎng)為集合S的元素個(gè)數(shù)，9（5）為

集合S的子集個(gè)數(shù)，若集合48,C滿足：①同=99,慟=100；②

e（Z）+0（8）+G（C）=G（Zu8uC）,則的最大值是（）

A.99B.98C.97D.96

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)|C|=x,|NU8UC|=y,根據(jù)元素個(gè)數(shù)得到子集個(gè)數(shù)，即299+2網(wǎng)+2'=2>'，分析出

x=99,y=101,即可求解.

【詳解】設(shè)|C|=x,|/U8UC|=y,

則299+2］。。+2,=2/，即3.299+2*=2〉，

所以y>x,y>99,

若x<99,則3?299-工+1=2尸3即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，

若x〉99,則3+2工"9=2"-99,即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，

所以x=99j=101W|C|=99,|ZU8UC|=101,

因?yàn)閨m=99,|B|=100,|C|=99,

且滿足MU8UC|=101,

所以ZU8UC包含了C的99個(gè)元素外，

還包含2個(gè)屬于/U8而不屬于C的元素，

當(dāng)/=C時(shí),則I，n3nc|=|zn3|=|Z|+|3|一]ZUB|=99+100—101=98,

如/={1,2,3,4,...,99},5={2,3,4,...,99,100,101},C={1,2,3,…,99},符合題意.

當(dāng)加。時(shí),則izn^nc國znc區(qū)98,

如/={1,2,3,4,...,99},B={2,3,4,...,99,100,101},C={2,3,...,99,100},符合題意.

所以|Zc8cC|的最大值為98,

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查交集與并集的混合運(yùn)算，及集合的元素個(gè)數(shù)與集合子集間的關(guān)系，解題的

關(guān)鍵由已知條件求|C|,|/u8uC|,再分Z=C和NwC討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度較

大.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)」-=________.

1-Z

【答案】-1+1;

【解析】

2z2z.(l+z)-2+2z,.

【詳解】??---=\=--=-1+1,故答案為T+i

1-z(l-z)-(l+z)2

3

12.在V48c中，已知cosZ=-,貝!|sinN=；tan(兀-2)=.

441

【答案】①.j##0.8②.

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)镹e（O,兀），sinZ>0,又cosZ=。，故sinZ=Jl—cos?/=J1—2=0；

5V255

4

/八/sin4s4

tan（7t-A）=-tanA=-----=一—=——.

cosA33

5

44

故答案為：—；——.

53

13.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=/〃2+B〃（/,3為常數(shù)），寫出一個(gè)有序數(shù)對(duì)（40=，

使得數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

【答案】（1,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列的前〃項(xiàng)和S,與數(shù)列通項(xiàng)4的關(guān)系根據(jù)相減法即可得｛%｝的通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)

性可得A的范圍，從而可得有序數(shù)對(duì)（48）的取值.

【詳解】數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=N〃2+5〃，

22

當(dāng)“22時(shí)，Sn_l^A（/i-l）+B（n-l）=An+（B-2A）n+A-B,

所以S“一Snj=An~+Bn—An~-（B—2A^n—A+B=2,An—■A+B,

即-24〃—A-\-B,

當(dāng)〃=1時(shí)，/=E=/+B符合上式，

綜上，a〃=2An-A+B,

若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則氏+]—%=2/（〃+1）—/+5—24〃+/—8=2/>0,即4>0,

故符合的有序數(shù)對(duì)（48）可以為（1,0）.

故答案為：（1,0）（答案不唯一）.

14.某種滅活疫苗的有效保存時(shí)間T（單位：h）與儲(chǔ)藏的溫度t（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系7=心+'

（匕6為常數(shù)，其中e=2.71828…）.已知該疫苗在（TC時(shí)的有效保存時(shí)間是1440h,在5。（2時(shí)的有效保存

時(shí)間是360h,則該疫苗在10。（2時(shí)的有效保存時(shí)間是h.

【答案】90

【解析】

【分析】根據(jù)已知的函數(shù)模型以及已知數(shù)據(jù)，通過待定系數(shù)法即可求得結(jié)果.

e"=1440

【詳解】由題意,"+:360

eb=1440

解得?5斤1，

e=—

I4

當(dāng)/=10時(shí)，7=ew+fc=(e5i)2-eA-1440=90,

故該疫苗在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是90小時(shí).

故答案為：90.

15.對(duì)于無窮數(shù)列｛%｝,若存在常數(shù)四>0,使得對(duì)任意的〃eN*，都有不等式

同-％|+儂-%|+…+|%+1-IWW成立，則稱數(shù)列｛??｝具有性質(zhì)P.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在公差不為0的等差數(shù)列(??｝具有性質(zhì)P-,

②以1為首項(xiàng)，q[\q\<1)為公比的等比數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P；

③若由數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列｛SJ具有性質(zhì)P,則數(shù)列｛%｝也具有性質(zhì)P；

④若數(shù)列｛4｝和也,｝均具有性質(zhì)P，則數(shù)列｛。也｝也具有性質(zhì)P.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】對(duì)于①，可使用反證法證明①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取回=忖-小7^，并驗(yàn)證｛冊(cè)｝具有性質(zhì)P即可;

一

對(duì)于③和④，結(jié)合已知條件取適當(dāng)?shù)某?shù)，并驗(yàn)證相應(yīng)的數(shù)列具有性質(zhì)即可.

【詳解】對(duì)于①，假設(shè)存在公差為d(dwO)的等差數(shù)列｛即｝具有性質(zhì)尸，則存在常數(shù)兒f>0,

使得對(duì)任意的〃eN*，都有不等式E一四|+|。3一出|+…+|%+i一“成立.

nd2-6!+aa

川葉在江的Z*-\\-l01|I3-?2|+-+|?n+l-n\<M

則對(duì)任息的〃eN，都有〃-司一"同，

M

但這對(duì)大于同的正整數(shù)〃顯然不成立，矛盾，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)｛斯｝是以1為首項(xiàng)，q(b|<l)為公比的等比數(shù)列，則?！?q"T,0<|^|<l.

所以正實(shí)數(shù)河=|"1卜7^滿足對(duì)任意的〃eN*，都有

J回

\a2-q|+鬲-&|+…+|。"+1_qJ=卜_1|+/2-^|+...+|^/,-q"'I

］（同+|循+…+尸）=<1^-11.—二=四.故②正確;

=|q—11+|q|q—11

對(duì)于③，若由數(shù)列也“｝的前〃項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列｛S“｝具有性質(zhì)P,則存在常數(shù)M>0,

使得對(duì)任意的〃eN*，都有不等式|星-S]+國一刃+...+|S“+i—S,J<W成立.

從而正實(shí)數(shù)kl+2河滿足對(duì)任意的〃eN*，都有

|出一%|+1%一。2|+…+|%+1一<（|。2]+|）+（|。3|+|°2|）+…+（|%+11+MJ）

=同+2他|+包|+…+1%|）-1%+11V同+2（同+同+…+1。"+11）

=同+2（|星—S」+國—+…+|S"+i—Sj）<同+2Af.故③正確；

對(duì)于④，若數(shù)列｛an｝和出n｝均具有性質(zhì)p，存在常數(shù)河1>0,使得對(duì)任意的〃eN*，

都有不等式|。2-+|。3-%|+…+|。"+1<M［成立；也存在常數(shù)A/2>0,

使得對(duì)任意的*N*，都有不等式向一瓦|+%-引+…+1%-a區(qū)M成立.

從而正實(shí)數(shù)同監(jiān)+同M+2MM滿足對(duì)任意的〃eN*，都有

nn

1+…+

|地-噌|+\an+lb?+1-anb,\=￡\ak+}bk+x-akbk\=^\ak+}bk+}-akbk+i+akbk+l-akbk\

k=\k=\

nn

WZ（E+14+1-。也+11+k也+1-。聞）W2（血+1H%+1-⑷+同也+1-幻）

k=\k=l

n

~Z（W+（°2—々）+（4+電+］-4）卜E+1—aJ+卜］+（。2-％）+（。3-。2）+-+（久一。"1）|也+1-4|）

k=l

n

42（（間+02-可+同-62|+...+瓦+1-4|卜鼠+1—聞+（同+|。2-%|+|。3-。2|+-+|%-%|），儂+1-d|）

k=\

4￡陋+%）?院+1-小（同+"）悅+1-瓦|）=（|引+兇2由%*1-即|+（同+以這版+「4|

k=\k=［k=\

=（聞+?。?2-4|+|。3-&|+…+|%+1-%|）+（同+M）（E-4|+?-勾+…+履一可）

<(%I+M)M+(同+M)M=M|M+|q|M+2"1M.故④正確.

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解性質(zhì)尸的定義，只有理解了定義，方可解決相應(yīng)的問題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在V45C中，acosC+ccosA=2a.

(1)求2的值；

a

(2)若2=巴，c=C，求6及V48C的面積.

6

n

【答案】(1)2(2)b=2,s=—

ARr2

【解析】

【分析】(1)結(jié)合正弦定理邊化角化簡已知等式，再根據(jù)三角形中角度關(guān)系與正弦函數(shù)取值即可得結(jié)論;

(2)結(jié)合余弦定理求得6關(guān)系，從而可得6大小，再根據(jù)面積公式求解即可得答案.

【小問1詳解】

因?yàn)閍cosC+ccosZ=2a,有正弦定理得sinNcosC+sinCeosZ=2sinA,

所以sin(/+C)=2sin2,

由/+C=兀一8,得sin8=2sin/,

又因?yàn)?e(0,7i),所以sin/〉0,所以堊0=2,

sm/

由正弦定理可得2=鬻=2；

asinZ

【小問2詳解】

因?yàn)?=C=,

6

所以由余弦定理得/=/+/-2bccosA=b1+3-2A/3Z)COS—,

6

又由(1)可知，b=2a,所以/=4/+3—46ax，

2

整理得3/—6。+3=0，即2。+1=0，

所以。=1,所以b=2a=2,

所以V45C面積為=—besmA=—x2x^3xsin—=■

17.如圖，在四棱錐P—48co中，尸。，平面45CD,ABHCD,ADLCD,AB=AD=2,

CD=PD=3.

Cl）求證：481.平面P4D；

（2）求平面尸48與平面PCD的夾角的余弦值；

（3）記平面尸48與平面尸8的交線為/.試判斷直線42與/的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

13

（3）AB//1,理由見解析

【解析】

【分析】（1）由線面垂直可得由根據(jù)線線平行與線線垂直可得40根據(jù)線面垂直的判

定定理即可得證所求；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面P4B與平面尸CD的法向量，再根據(jù)面面夾

角余弦公式求解即可得答案；

（3）根據(jù)線面平行判定定理得48〃平面PCD,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

因?yàn)槭?。，平?BCD,45u平面48c所以

又因?yàn)锳BHCD,ADLCD,所以4。1/5,

又因?yàn)?￡>口P。=。,AD,PDu平面P/D,所以N3，平面PAD.

【小問2詳解】

由（1）可知，PDLAD,PDLCD,ADLCD,

如圖所示，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

Z/

則/(2,0,0),5(2,2,0),C(o,3,o),尸(0,0,3),

則AB=(0,2,0),AP=(—2,0,3),

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為加=(x,y,z),

m-AB=0,12y=0,v=0,

__得《所以＜3令z=2,則局=(3,0,2),

in-AP=0—2x+3z=u.x=-z

2

又因?yàn)锳D±平面PCD,所以方=(2,0,0)是平面PCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面尸48與平面PCD的夾角為仇則

.I_七網(wǎng).63V13

cose=cosm,DA=-~=—j=——=----

11\n^DAa5x213

【小問3詳解】

直線/8〃/.理由如下：

因?yàn)?5〃CQ,CDu平面PCD,48仁平面PCO,

所以48〃平面PCD,

又因?yàn)?8u平面PN3,平面上43c平面尸CD=/,所以48〃/.

18.已知函數(shù)/(x)=axTn(x+l)(aeR).

(1)若。=1,求/(x)的最小值；

(2)若/(x)存在極小值，求。的取值范圍.

【答案】(1)0

(2)(0,+co)

【解析】

【分析】(1)代入。=1,得/(x)=x-ln(x+l),求導(dǎo)并利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的

最值；

(2)先求導(dǎo)數(shù)，分類討論a>0和aW0時(shí)函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)有極小值求解。的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/(￡)的定義域?yàn)?T,+8),

1x

當(dāng)a=1時(shí)，/'(X)=1-----=----，

x+1x+1

xe(-1,0)時(shí)，f\x)<0,/(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

xe(0,+oo)時(shí)，/'(x)〉0,/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得最小值0.

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為f\x)=a一——(x>-1).

x+1

(1)當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)<0,/(x)在區(qū)間(—1,+s)上單調(diào)遞減，

所以/(￡)無極值.

(2)當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0,得》=工—1.

a

當(dāng)X變化時(shí)，/'(X)與/(X)的變化情況如下表:

1-1

a

/'(X)-0+

/(X)極小值/

由上表知，當(dāng)》=!—1時(shí)，/(X)取得極小值

a

綜上，。的取值范圍為(0,+8).

19.設(shè)函數(shù)/(x)=sin2a)xcos(p+2cos2coxsmcp<y>0,|^|<|-

兀

(1)若0=1,(p-~,求/的值;

（2）已知/（x）在區(qū)間-$,三上單調(diào)遞增，且x=W是函數(shù)y=/（x）的圖象的對(duì)稱軸，再從條件①、條

63J3

件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/（X）存在，求O,p的值.

IT

條件①：當(dāng)x=-7時(shí)，/（X）取到最小值；

5

條件②：f

條件③：/（x）在區(qū)間—二,上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【答案】（1）f

（2）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）代入?yún)?shù)值得到函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)值；

（2）先由三角恒等變換化簡三角函數(shù)，選擇條件①由函數(shù)圖像的性質(zhì)得到兩條對(duì)稱軸即可求出周期，從而

解出。的值，代入函數(shù)值求得。的值；選擇條件③由函數(shù)圖像的性質(zhì)得到兩條對(duì)稱軸即可求出周期，從而

解出。的值，代入函數(shù)值求得。的值；選擇條件②不能求出參數(shù)值，故不能選條件②.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

f(x)=sin2coxcos夕+2cos2coxsincp，

=sin2coxcos(p+(cos2cox+1)sin(p

=sin2a)xcoscp+cos2coxsin0+sin0,

=sin(2ox+0)+sin0.

選擇條件①：

因?yàn)?(x)在區(qū)間-已,三上單調(diào)遞增,

且是函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱軸,

Tn71

又當(dāng)x=_二時(shí)，/(x)取到最小值，所以萬=§-

62

故T=兀.

所以

因?yàn)槿校?，20d=2.

所以G=1,f(x)=sin(2x+0)+sin0.

又因?yàn)?[_：J=sin[_m+0J+sino=—l+sino,

所以5也[_三+0]=-1,得@=2尿_三(keZ).

又因?yàn)閘ei(巴，所以夕=-四.

26

選擇條件③：

7T7T

因?yàn)?(X)在區(qū)間-上單調(diào)遞增,

63

且X=方是函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱軸,

717rT71

又/(%)在區(qū)間-；，-二上單調(diào)遞減，所以彳二；一

3623

故T=71.

因?yàn)橥猓?,所以2G=女=2.

所以口=1,7(%)=sin(2x+°)+sin°.

又因?yàn)榱藄in[—]+0J+sin。=-1+sin/

所以sin［_g+0j=-1,得夕=2左兀_弓(左eZ).

7TTT

又因?yàn)?如<萬，所以夕=—5.

選擇條件②不能求出參數(shù)值，故不能選條件②.

20.已知函數(shù)/(x)=e*+cosx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)討論/(x)在區(qū)間(-兀,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若/(機(jī))=〃，其中機(jī)〉0,求證：n-m>2.

【答案】(1)x—>+2=0

(2)1(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線斜率，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程化簡轉(zhuǎn)化可得所

求；

(2)分當(dāng)x>0和-7T<xW0兩段分別確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，從而判斷每段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而

得結(jié)論；

(3)設(shè)g(x)=/(x)-x-2(x>0),求導(dǎo)確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性與取值情況，從而可得結(jié)論.

【小問1詳解】

由/(x)=e*+cosx,得/(0)=2且/'(x)=e*-sinx,所以/'(0)=1,

所以曲線3=/(x)在(0,/(0))處的切線方程為:歹-/(0)=/'(0)。-0),即x—>+2=0.

【小問2詳解】

①當(dāng)x>0時(shí)，e*〉l，-1<cosx<1,所以/(x)〉0.

所以/(%)在區(qū)間(0,+8)上無零點(diǎn)；

②當(dāng)一兀<xW0時(shí)，e*〉0，sinx<0,所以/'(尤)=e*-sinx>0,

所以/(%)在區(qū)間(-71,0］上單調(diào)遞增，

又/(-兀)=b-1<0，/(0)=2〉0,

所以/(%)在區(qū)間(-71,0］上僅有一個(gè)零點(diǎn),

綜上，/(x)在區(qū)間(-兀,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【小問3詳解】

設(shè)g(x)=/(X)-X-2(x>0)，即g(x)=e*+COSX