2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形提優(yōu)訓(xùn)練（共100題含答案）

2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形提優(yōu)訓(xùn)練100題

一'單選題

1.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,將aABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AADE,

連接BE,則NBED的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.135°D.150°

2.已知，如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AC=CD,ZB=ZE=90°,AB=CE,則不正確的結(jié)論

是（）

C.AABC^ACEDD.Z1=Z2

3.如圖，點(diǎn)E,F,G分別是正方形ABC。的邊AB,CD,0/上的點(diǎn)，且EG=GF,ZEGF=90°.連

結(jié)EF并延長(zhǎng)，交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.設(shè)2M=a,則鋁=（）

1—sina1+sina

?1+sina?1—sina

1—tana1+tana

?14-tana?1—tana

4.已知力。是△ABC中BC邊上的中線，AB=12,AC=18,則4。的取值范圍是（）

A.3<AD<15B.6<AD<30C.6<XD<30D.3<XD<15

5.生命中總有些節(jié)點(diǎn)，如同一條線段的中點(diǎn)，它既是過去與未來的交匯，也是靜默與喧囂的界碑.如

圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上的中線，AB=6,AD=4,則AC的取值范圍為（）.

6.如圖，在AABC中，NB=40。，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到AADE,點(diǎn)D恰好落在直線

BC上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

7.在學(xué)完《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬?duì)三角形相關(guān)知

識(shí)的理解.

小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1：2：3.”

小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半.”

下面對(duì)于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）

A.小峰和小慧均正確B.小峰和小慧均錯(cuò)誤

C.小峰正確，小慧錯(cuò)誤D.小峰錯(cuò)誤，小慧正確

8.如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且1BD,DE1BD.AB=CD,AC=CE,下列說法錯(cuò)誤的是

)

A.△ABCSACDEB.ZX=NE

C.^ACE=90°D.BC=DE

9.如圖，將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△口￡（：,此時(shí)點(diǎn)D落在邊AB上，且DE垂直平分BC,

則煞的值是（）

D夜

JC-5

10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在BC,CD上，連接AE,AF,EF,乙EAF=45°.若乙B4E=a,

則4EFC一定等于（)

A.2aB.90°-2aC.45。一aD.90°-a

11.如圖，O是正AABC內(nèi)一點(diǎn)，0A=3,0B=4,0C=5,將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。得到線段BO,下列結(jié)論：①△BOA可以由ABOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到；②點(diǎn)O與O,的

距禺為4；③NAOB=150°；④S四邊形AOBO=6+3b；⑤S4AOC+S^AOB==6+為3.其中正確的結(jié)論是

4

（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

12.如圖，點(diǎn)A,B,C在一條直線上，AABD,ABCE均為等邊三角形，連結(jié)AE和CD,AE分別

交CD,BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,BM.有下列結(jié)論：

①△ABEdDBC；@ZDMA=60°；

③ABP、為等邊三角形；④MB平分NAMC.其中正確的結(jié)論有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

13.如圖，將△/BC沿BC翻折得到△ABC再將△D8C繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FEC,延長(zhǎng)BD交

EF于H,已知N/3C=30。，NA4c=90。，ZC=1,則四邊形CZ?/F的面積為（）

A.2B.在C.包D.也

12632

14.如圖，正方形4BCC的邊長(zhǎng)為4/E”=45°,WAABE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到△ADG.若

BE=1,則DF的長(zhǎng)為（）

BE

A.3B.V7C.眷D.4

15.如圖，四邊形力BCD中，^BAD=/-ACB=90°,AB=AD,AC=ABC,CD=5,則四邊形/BCD

的面積為（）

A.10B.8C.12D.20

16.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=BC,AB=8,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，若直角MDN繞點(diǎn)D旋

轉(zhuǎn)分別交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則下列說法：①AE=CF；@EC+CF=4V2;③DE=DF；④若

△ECF的面積為一個(gè)定值，則EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值，其中正確的是（）

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

17.如圖，RtAABC,ZBAC=90°,AB=2,AC=3,斜邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至BD的位

置，連接AD,則AD的長(zhǎng)是（）

B.V29C.5V2D.V26

18.如圖,點(diǎn)E、F分別在正方形2BCD的邊BC、CD上，zE2F=45。,已知4。=6,。尸=2,則S^EF=

()

A.6B.15C.12D.30

19.如圖，AABC^AABC,點(diǎn)B在AB邊上，線段AB,AC交于點(diǎn)D.若NA=40。，ZB

=60°,則NACB的度數(shù)為（）

C.135°D.140°

20.如圖，將aABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ZB'C',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',C'B’的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)

D,連接AD.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A

A.AABCSAABCB.AB'“BC

C.ACDC'=ACAC'D.AD平分立BOB'

21.如圖，已知AD是AABC中BC邊上的中線，AB=5,AC=3,則AD的取值范圍是（）

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<8

22.如圖，在△ABC中，為BC邊上的中線,若4B=4,AC=2,則4。的取值范圍是（

A.1<<3B.2<AD<4C.2<AD<6D.2<AD<3

23.下列條件中，能判斷兩個(gè)三角形全等的是（）

A.兩個(gè)面積相等的等腰三角形

B.兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等

C.兩個(gè)周長(zhǎng)相等的等腰三角形

D.兩邊及第三邊上的高線對(duì)應(yīng)相等

24.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1,AB,40上各有一點(diǎn)P、Q,如果AAPQ的周長(zhǎng)為2,則ZPCQ

的度數(shù)為（）

DC

B.45°C.60°D.40°

25.如圖，AD是AABC的邊BC上的中線，AB=7,AD=5,則AC的取值范圍為（）

A.5<AC<15B.3<AC<15C.3<AC<17D.5<AC<17

26.如圖，ZD是△ABC的中線，E是4D上一點(diǎn)，BE交/。于凡EF=AF,BE=8,CF=5,

則EF的長(zhǎng)度為（）

27.如圖，在At△ABC中，AB=AC,D,E是斜邊上BC上兩點(diǎn)，且4D4E=45。，將繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得至AFB,連接EF,下歹!J結(jié)論：@BF1BC；@AAED=△AEF；③BE+DC=DE；

@BE2+DC2=DE2.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

28.已知如圖，AD〃:BC,AB±BC,CD±DE,CD=ED,AD=2,BC=3,則AADE的面積為（）

C.5D.無法確定

29.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小亮同學(xué)用四根相同的火柴棒AB,BC,CD,DE在桌面上擺成如圖所示的圖

形，其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上，BC1CD,若AE=10,則點(diǎn)B,D到直線AE的距離之和為（）

A.5B.2V6C.5V2D.10

30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2%+6分別與左軸，y軸交于4B兩點(diǎn)，將直線繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線AC,過點(diǎn)B作BC，AC于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）

31.在中，2。為AZBC的中線，AB=S,AC=3,則4。的取值范圍是（）

A.2<AD<8B.3<AD<5C.1<AD<4D.無法確定

32.如圖，在△ABC中，已知與△4CD的面積相等，如果ZC=10,AD=8,那么的取值

范圍是（）

A

A.2<AB<18B.6<AB<26C.10<AB<26D.18<AB<26

33.如圖，在AABC中，AB=6,AC=8,AD是邊BC上的中線，則AD長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

34.如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=7,4。=5,則AC的取值范圍為（）

A.3<AC<17B.3<71C<15C.AC<6D.2<AC<12

35.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=9,AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（）

A.4<AD<14B.0<AD<14C.2<AD<7D.E><AD<9

36.如圖，AABC=50°,BD平分/-ABC,過。作DE||AB交BC于點(diǎn)E,若點(diǎn)尸在AB上,

且滿足DF=DE,則乙DFB的度數(shù)為（）

A.25°B.130°

C.50°或130°D.25°或130°

37.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(5,0),B(8,4).若將AOAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到△OAB，，當(dāng)點(diǎn)B，恰好落在y軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)A，的坐標(biāo)為()

B借駕)C.(2,2V5)D.(3,5)

38.如圖，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,Zl=25°,N2=30°,連結(jié)BE,點(diǎn)D恰好在BE上,

A.60°B.55°C.50°D.無法計(jì)算

39.如圖所示擺放的5個(gè)正方形，面積分別為Si，S2,S3,S4,Ss，其中Si=l,S2=2,S3=3,則

40.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCO中，將含45。角的直角三角板.按如圖所示放置，邊分

別交于點(diǎn)M,N,連接則下列結(jié)論：①M(fèi)N=BM+DN；②當(dāng)“為BC的中點(diǎn)時(shí)，N為

CD的中點(diǎn)；③當(dāng)M為BC的中點(diǎn)時(shí)，AAMN的面積為15；④點(diǎn)4到時(shí)村的距離為6.其中正確的

結(jié)論為()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

41.如圖，在A/BC中，乙4cB=90。，AC=2,AB=4,將△4BC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的

角度得到△DEC,使得2點(diǎn)恰好落在QE上，則線段BD的長(zhǎng)為（）

D

A.2V3B.5C.2V7D.3V3

二、填空題

42.在AABC中，AB=5,BC邊上的中線AD=4,則AC的長(zhǎng)m的取值范圍是.

43.在直角三角形2BC中，CA=CB,過點(diǎn)C的直線為1,AEVl,BF11,垂足分別為E、F,AE=

2,BF=3,貝lj￡T=.

44.在△ABC中，AB=6,AC=4,則BC邊上的中線4。的取值范圍是.

45.如圖，已知點(diǎn)4是反比例函數(shù)y=-應(yīng)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。4若將線段。4繞點(diǎn)。逆時(shí)針

JX

旋轉(zhuǎn)90。得到線段OB,則過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為.

46.如圖，在△力BC中，AC=6,中線4。=4,則AB邊的取值范圍是

47.在A/BC中，2。是中線，已知4B=8/C=6,則中線4。的取值范圍是.

48.如圖所示，在4ABC中，4B=3,AC=4,則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)x取值范圍是.

A

49.如圖，在△ABC中，=3,AC=5,4。是邊BC上的中線，AD=2,則ATICB的面積是

三'解答題

50.如圖，AD,2尸分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線

(1)若乙BED=60°,ABAD=40°,求NB4F的度數(shù).

(2)若4B=8,4C=6,求中線力。長(zhǎng)的取值范圍.

51.如圖，已知△ABC和△4DE均為等邊三角形，BD、CE交于點(diǎn)

(1)求證：BD=CE；

(2)求銳角NBFC的度數(shù).

52.如圖，△力BC中，Z-BAC^120°,以BC為邊向外作等邊△BCD,把△ABQ繞著。點(diǎn)按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)60。后得到△ECD.

(1)求NB4D的度數(shù);

(2)若4B=6,AC-4,求的長(zhǎng).

53.在等邊AABC中，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<30°)得到線段CD,線段CD與線段

AB交于點(diǎn)E,射線AD與射線CB交于點(diǎn)F.

(1)①依題意補(bǔ)全圖形；

②分別求NCEB和NAFC的大小(用含a的式子表示)；

(2)用等式表示線段BE,CE,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

54.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是邊CD的中點(diǎn)，且EF1AE,EF=AE,連接CF,

求CF的長(zhǎng).

55.如圖，這是某市工業(yè)開發(fā)區(qū)設(shè)計(jì)圖紙的局部平面圖，直線AB是一條河流，河旁邊建有一個(gè)工廠

P,點(diǎn)O,E在直線AB上，0是工廠P的進(jìn)水口，E是污水凈化后的出水口，且PELAB,現(xiàn)計(jì)劃在

河旁邊工廠P的同側(cè)再建一座工廠Q,設(shè)計(jì)要求是：工廠Q也從點(diǎn)。處引水，0QL0P,0Q=0P,

污水凈化后的排污出口為AB上的點(diǎn)F處，且FQ±AB.

(1)請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)要求把圖形補(bǔ)充完整(不需要尺規(guī)作圖)。

(2)已知QF=350米，PE=150米，求兩個(gè)出水口E,F之間的距離(不計(jì)河的寬度).

56.在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A,利用旗桿頂部的繩索，劃過

90。到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B,

(1)求身臺(tái)A比矮臺(tái)B局多少米？

(2)求旗桿的高度0M；

(3)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN.

57.如圖，在等邊AZBC中，放置等邊且點(diǎn)。，E分別在AB,BC上，AD=5.連

接CF,若CF平分乙ACB,求BE的長(zhǎng).

58.八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,4。是△2BC的中線，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使=連接BE,寫出圖中一組全等

三角形;

(2)如圖2,EP是小DEF的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=%，則x的取值范圍是.

【理解與應(yīng)用】

(3)如圖3,4。是△力BC的中線，BE交4C于E,交AD于F,且4E=EF.若EF=4,EC=3,

求線段BF的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

59.如圖所示，為了測(cè)量一幢樓的高AB,在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P,在P處仰望旗桿頂C和

樓頂A,兩條視線的夾角正好為90。，量得點(diǎn)P到樓底的距離PB與旗桿的高度相等，都等于8m,量

得旗桿與樓之間的距離DB為33m,求樓高AB.

60.小明同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之

間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板(AC=BC/ACB=90。)，點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與

木墻的頂端重合.

(1)試說明：△ADCWACEB；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

61.如圖，在AABC中，AD平分LBAC,乙C=2乙B,求證：AB=AC+CD.

62.新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形.

(1)初步嘗試：如圖1,已知RtAZBC中，"=90。，48=10,BC=8,P為AC上一點(diǎn)，當(dāng)

AP=時(shí)，八ABP與△CBP為積等三角形；

(2)理解運(yùn)用：如圖2,AABD與△ACD為積等三角形，若AB=2,2C=5,且線段4D的長(zhǎng)度

為正整數(shù)，求的長(zhǎng).

63.已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作4ACD和ABCE,且CA

=CD,CB=CE,NACD=/BCE,直線AE與BD交于點(diǎn)F

⑴如圖1,若NACD=60。，則NAFD=

(2)如圖2,若NACD=a,連接CF,貝I」NAFC=(用含a的式子表示)

(3)將圖1中的4ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖3,連接AE、AB、BD,NABD=80。，求NEAB

的度數(shù)

64.如圖，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,BC與y軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)

A的坐標(biāo)為(-6,3),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

65.(1)方法呈現(xiàn)：如圖1,在AZBC中，若AB=10,AC=6,D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的

中線AD的取值范圍.

E

解決此問題可以用如下方法：

延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,再連接BE,可證△ACD^AEBD,從而把AB,AC,2AD集中在△ABE

中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4。的取值范圍是(直接寫出范圍即

可).這種解決問題的方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.

(2)知識(shí)運(yùn)用：如圖2,在△4BC中，D為BC的中點(diǎn)，AB=2,AC=6,且線段的長(zhǎng)度為

整數(shù).求的長(zhǎng)度.

A

66.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、4B上，將△BDE沿直線DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F

處，尸。向右平移若干單位長(zhǎng)度后恰好能與邊AC重合，連結(jié)4工

(1)若乙BDE=35。，求NC的度數(shù)；

(2)若BC=6,求四邊形4CDF的周長(zhǎng).

67.小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探究：在一個(gè)支架的橫桿

的點(diǎn)0處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球4小球2可以自由擺動(dòng)，如圖，0A表示小球靜止時(shí)的位置.當(dāng)

小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從0A擺到0B位置，此時(shí)過點(diǎn)B作BD104于點(diǎn)。，當(dāng)小球擺到

0C位置時(shí)，0B與0C恰好垂直(圖中A、B、0、C在同一平面上)，過點(diǎn)C作CE1CM于點(diǎn)E,測(cè)

(2)求AE的長(zhǎng).

68.【問題提出】如圖1,在四邊形4BCD中，AD=CD,乙4BC=120°,乙4DC=60°,AB=2,BC=1,

求四邊形2BCD的面積.

【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問

題.

(1)如圖2,連接BQ,由于4D=CD,所以可將ACCB繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得至1!△ZMB',

則小BOB'的形狀是.

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求四邊形2BCD的面積.

(3)如圖3,等邊的邊長(zhǎng)為2,△BDC是頂角為NBDC=120。的等腰三角形，以。為頂點(diǎn)

作一個(gè)60。的角，角的兩邊分別交于點(diǎn)M,交2C于點(diǎn)N,連接MN,求A/1MN的周長(zhǎng).

69.有兩個(gè)三角形，分別為aABC和4ADE,其中NCAB=/DAE=90。，AB=AC,AD=AE.

(1)若按如圖(1)所示位置擺放，使得AC與AD重合，連接BD,CE,則BD與CE的數(shù)量關(guān)系

是;

(2)在圖(2)中，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F,求NBFC的度數(shù)；

(3)若按如圖(3)所示位置擺放，連接BD,CE,且BD與CE交于點(diǎn)F,BD與AC交于點(diǎn)H,請(qǐng)

判斷BD與CE之間的關(guān)系，并說明理由.

70.想測(cè)量操場(chǎng)上與地面垂直旗桿BD的高度，小強(qiáng)如圖1設(shè)計(jì)的方案：在距B點(diǎn)3m地面上M處

測(cè)出ZDMC=90°,在距地面3m的C點(diǎn)處垂直豎立竹竿AC,測(cè)得AB=12m.

(1)請(qǐng)你幫小強(qiáng)求出旗桿BD的高度；

(2)小明如圖2設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案：測(cè)得MB=CB=3米，MA=12米，根據(jù)這些條件能求出旗

桿BD的高度嗎?若能請(qǐng)計(jì)算求出；若不能請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使之能夠計(jì)算求出，直接寫出添加的條

件.

71.已知，在AABC中，AB=AC,Q,A,E三點(diǎn)都在直線m上，且DE=9sn,^BDA=^AEC=Z.BAC.

(2)如圖②，判斷并說明線段BD,CE與DE的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，若只保持NBD4=Z4EC,BD=EF=7c?n,點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由

點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以久cm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t(s).是否存在x,使得AZB。與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

72.如圖是一個(gè)工業(yè)開發(fā)區(qū)局部的設(shè)計(jì)圖，河的同一側(cè)有兩個(gè)工廠2和B,AD、BC的長(zhǎng)表示兩個(gè)工

廠到河岸的距離，其中E是進(jìn)水口，D、C為兩個(gè)排污口.已知力E=BE,乙4EB=90。，AD1DC,

BC1DC,點(diǎn)D、E、C在同一直線上，AD=150米，BC=350米，求兩個(gè)排污口之間的水平距離DC.

73.已知：如圖，在AADC中，AD=CD,且AB〃DC,CB_LAB于B,CE_LAD交AD的延長(zhǎng)線于E,

連接BE.

(2)若NCAE=30。，CE=2,求BE的長(zhǎng)度。

74.在RtAABC中，“=90。，分別取BC、AC的中點(diǎn)并且同時(shí)將這兩個(gè)中點(diǎn)繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)依次得到點(diǎn)E,記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接4E、CD、BD,如圖所示.

A

Z.DBC—乙EAC；

(2)若BC=4C=4,當(dāng)8、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，求線段BE的長(zhǎng);

(3)當(dāng)乙4BC=30。時(shí)，延長(zhǎng)BD交4E于點(diǎn)"，連接CH,探究線段BH,AH,CH之間的數(shù)量關(guān)

系并說明理由.

四、綜合題

75.我們共同來探究下面問題:

圖1圖2

已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE

和BCD,連接AD、BE交于點(diǎn)P.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是:

(2)圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外，且NACB<120。，上面的結(jié)論是否還成立?若成立請(qǐng)證明，不成

立說明理由.

(3)在(2)的條件下，NAPE的大小是否隨著NACB.的大小的變化而發(fā)生變化，若變化，寫出變

化規(guī)律，若不變，請(qǐng)求出NAPE的度數(shù).

76.已知AABC中，AB=AC.

EE

(1)如圖1,在△ADE中，AD=AE,5.Z.DAE=Z.BAC,求證：CD=BE；

(2)如圖2,在AADE中,若乙DAE=ABAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,

求BD的長(zhǎng).

77.已知△/3C是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,NM4N在/A4c的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在

3C上，點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段AW、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

由/3/C=90。，/3=/C可知，將△ZCN繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△4BP,則CN=BP且NPBM

=90°,連接PM,易證絲AAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中,BM^+BP2=MP2，則有BNP+NC1

=MN2.

(2)當(dāng)NA4c=60。時(shí)，如圖②：當(dāng)N3/C=120。時(shí)，如圖③，分別寫出線段8M、NC、血N之間的

數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.

五'實(shí)踐探究題

78.綜合與實(shí)賤

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題:

如圖1,AZBC中，AB=AC,ABAC=90°,點(diǎn)E為AaBC外一點(diǎn)，AE1CE,過8作BF14E,

垂足分別為E、尸.求證：EF=BF-CE.

(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)證明王老師提出的問題.

(2)實(shí)踐探究：王老師把原題作如下的更改，并提出新問題，請(qǐng)你解答.

如圖2,△力BC中，AB=AC,NB4C=90。，點(diǎn)。是3c上一點(diǎn)，BA=BD,CE1ADE,求證:

2CE.問題解決：

(3)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)進(jìn)一步對(duì)上述問題進(jìn)行研究之后發(fā)現(xiàn)：

如圖3,△力BC中，AB=AC,ZB2C=90。，點(diǎn)D為3C上一點(diǎn)，AE1CE,過點(diǎn)/作

且4M=4E,連接BM.若CE=2,請(qǐng)直接寫出/G的值為.

79.綜合與實(shí)踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,A4CB和均為等腰三角形，AC^BC,DC=EC,乙ACB=ADCE,

點(diǎn)4、D、E在同一條直線上，連接BE.

①求證：AD=BE-,將下列解答過程補(bǔ)充完整.

證明：???^ACB=ADCE,

Z-ACD+Z-DCB=Z.DCB+,

:.Z-ACD=Z-BCE,

AC=BC

在△4CD和△BCE中，zXCD=LBCE,

CD=CE

??.△ACD=△BCELSAS'),??.AD=BE；

②若N4CB=50。，貝UNZEB的度數(shù)為.

(2)類比探究：如圖2,A4CB和△￡)(7￡■均為等腰直角三角形，乙4cB=ZDCE=90。，點(diǎn)4、D、

E在同一條直線上，CM為△￡>(?￡1中DE邊上的高，連接BE.請(qǐng)判斷ZE、BE與CM三條線段的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

(3)拓展延伸：在(2)的條件下，若BE=2,CM=1,請(qǐng)直接寫出四邊形4BEC的面積.

80.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題:

A

A

E

DC

圖1圖2

如圖1,△ABC中，若4B=8,4c=6,求BC邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作

交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)2。到點(diǎn)E,使DE=AO,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知圖能得到△ADC=△EDB的理由是.

（2）求得4。的取值范圍是.

（3）如圖2,4。是△ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證：AC=BF.

81.問題提出

如圖（1）,在AABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在AABC內(nèi)部,

直線AD與BE交于點(diǎn)F.線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

①先將問題特殊化如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)D,F重合時(shí)，易證AACD/ABCE（SAS）,請(qǐng)利用全等探究

AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不要求寫出理由）；

②再探究一般情形如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)D,F不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

（2）問題拓展：如圖（3）,在AABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC

（k是常數(shù)），點(diǎn)E在AABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點(diǎn)F.直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF,BF,

CF之間的數(shù)量關(guān)系.

82.⑴方法呈現(xiàn)：

如圖①：在AABC中，若2B=6,AC=4,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值

范圍.解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使。E=再連接BE,可證AACC三AEBD,

從而把力B、AC.2/W集中在AZBE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是一

(直接寫出范圍即可).這種解決問題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在A4BC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于F,

連接EF,判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABC。中，AB||CD,4F與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE

是NBAF的角平分線.試探究線段ZB、AF.CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

83.【問題情景】如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)，連接ZE,作乙邑4F=45。.使2F

交邊CD于點(diǎn)F,連接EP.猜想：BE+DF^EF.

嘗試探究：見解析；應(yīng)用：①3②3痂

(1)【嘗試探究】如圖②，延長(zhǎng)圖①中的CB至點(diǎn)G,使BG=DF,連接4G.小明嘗試證明這

個(gè)題目的部分過程如下：

?.?四邊形力BCD是正方形，

；.4ABE=AD=4BAD=90°,AB=AD,

:.乙ABG=AD=90°.

,：BG=DF,

**?△A.BG=△A.DF

：.AG=AF,^BAG=^DAF.

請(qǐng)你將證明過程補(bǔ)充完整.

⑵【應(yīng)用】如圖②，若CE=2BE=4,其他條件不變，解答下列問題.

①求DF的長(zhǎng);

②連接FG,直接寫出FG的長(zhǎng).

84.綜合與實(shí)踐:

【問題背景】人教版教材九年級(jí)上冊(cè)P63第10題“探索研究”:等邊△ABD和等邊△ACE,將小ACE

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求觀察圖形，提出問題并加以解決.

D

圖1圖2圖3

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,小明連結(jié)BE、CD,并發(fā)現(xiàn)Z4DC與乙4BE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探究后寫出證明過程.

(2)如圖2,得知小明的結(jié)論后，小華又連結(jié)DE,已知ZC1BE,AE=S,BE=12,請(qǐng)你求出

DE的長(zhǎng)；

【拓展探究】

(3)如圖3,小穎畫出了等腰直角△ABC和等腰直角AADE,其中ZBAC=AEME=90。，AB=

AC,AD=AE,點(diǎn)C在。E上，請(qǐng)你直接寫出CD、CE和BC之間的數(shù)量關(guān)系.

85.為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖

1,在AABC中，AQ是BC邊上的中線，延長(zhǎng)4。到M,使。M=連接BM.

\/

M

圖1圖2圖3

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】圖1中4:與BM的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是;

(2)【初步應(yīng)用】如圖2,在△力BC中，4。是BC邊上的中線，若力B=12,47=5,AD=6.5,

判斷△ABC的形狀;

(3)【探究提升】如圖3,在△ABC中，若2B=12,AC=8,D為BC邊上的點(diǎn)，且BQ=2CD,

求的取值范圍.

六、證明題

86.如圖，是44BC中3c邊上的中線.求證：AD<^AB+AC^

87.如圖，在AAOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,當(dāng)將△COD繞點(diǎn)O順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連線AC與BD之間的大小關(guān)系如何？試猜想并證明你的結(jié)論.

88.如圖，ADAC和AEBC均是等邊三角形，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AE與BD交于點(diǎn)0,AE、BD

分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N.

(2)求證：ZA0D=60°；

(3)求證：ACMN是等邊三角形.

89.如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F,AE^EF,求證：AC=BF.

90.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

(1)求證：AABCexDEF；

(2)若乙D=45。，求NEGC的大小.

91.如圖，在AABC中，AB=BC,NABC=120。，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)120。能與BE重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn).

(1)求證：AE=CD；

(2)若NDBC=45。，求NBFE的度數(shù).

92.閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：

如圖1,已知△ABC中，4。是BC邊上的中線.求證：AB+AO2AD

智慧小組的證法如下：

證明：如圖2,延長(zhǎng)4。至E,^DE=AD,

?.1。是邊上的中線，

：.BD=CD,

BD=CD

在aBDE和ACDA中，\ABDE=^CDA,

DE=DA

/.△BDE^ACDA(依據(jù)1),

:.BE=CA,

在△ABE中，AB+BE>AE(依據(jù)2),

：-AB+AC>2AD.

A

AA

//\\/D

BDC\/

\\/t

E

圖1圖2圖3

(1)任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

【歸納總結(jié)】

上述方法是通過延長(zhǎng)中線40,使=構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將AC,4。轉(zhuǎn)化到一

個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證

明邊之間的關(guān)系.

(2)任務(wù)二：如圖3,AB=6,AC=8,則AD的取值范圍是；

A.6<XD<8;B.6<XD<8；C.1<AD<7

(3)任務(wù)三：利用“倍長(zhǎng)中線法”，解決下列問題.

如圖4,Rt△力BC中，Z.BAC=90°,D為BC中點(diǎn)，求證：AD^^BC.

93.【背景材料】

在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)三角形紙片為操作對(duì)象，進(jìn)行相關(guān)問題的研究.已知

^BAC=ADAE=90°,AB=AC,AD=AE,老師將△ABC和小ADE按如圖1所示的位置擺放(點(diǎn)E、

A、B在同一條直線上)，發(fā)現(xiàn)接下來讓同學(xué)們以小組為單位開展進(jìn)一步的探究.

（圖4）

(1)【初步探究】志遠(yuǎn)小組在老師基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，他們保持AADE不動(dòng)，將A2BC按如圖2位

置擺放，發(fā)現(xiàn)BO=CE仍然成立，請(qǐng)你幫他們完成證明；

(2)【深入探究】勤學(xué)小組剪了兩個(gè)大小不同的等腰△ABC和等腰△力DE,AB^AC,AD=AE,

將兩個(gè)等腰三角形按如圖3位置擺放，請(qǐng)問當(dāng)NB4C和NZME的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)

論BD=CE仍成立？請(qǐng)說明理由；

(3)【拓展應(yīng)用】創(chuàng)新小組保持老師提供的AZDE不動(dòng)，另剪一個(gè)等腰直角aABC按如圖4位置

擺放，ZXBC=90°,BA=BC,若D4與DB關(guān)于沿著過點(diǎn)D的某條直線對(duì)稱，4?與DE交于點(diǎn)F,

當(dāng)點(diǎn)B在△ACE的斜邊DE上時(shí)，連接CD,請(qǐng)證明△CDF為等腰三角形.

94.如圖，在四邊形2BC0中，E是邊BC上一點(diǎn)，Z.B=AAED=ZC,4瓦4。=NED4求證：AB+

CD=BC.

95.已知AZBC中，AB^AC,ZBAC=9O。，分別過B、C向過4的直線作垂線，垂足分別為E、F.

(1)如圖1,過4的直線與斜邊BC不相交時(shí)，求證：EF=BE+CF-,

(2)過4的直線與斜邊BC相交時(shí)，

①如圖2,探究線段EF、BE、CF的數(shù)量關(guān)系并加以證明：

②如圖3在(2)的條件下，如圖3,直線R4交BC于點(diǎn)H,延長(zhǎng)BE交4c于點(diǎn)G,連接BF、FG、

HG,若乙AHB=LGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四邊形4BFG的面積是90,則△GHC的面積為

96.已知AABC和4ADE都是等腰直角三角形，NACB=NADE=90。，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF,

CF.

(1)如圖1,點(diǎn)D在AC上，請(qǐng)你判斷此時(shí)線段DF,CF的關(guān)系，并證明你的判斷；

(2)如圖2,在(1)的條件下將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度時(shí)，若AD=DE=2,AB=6,

求此時(shí)線段CF的長(zhǎng).

(1)(2)

97.求證：如果三角形一邊上的中線與這條邊所對(duì)內(nèi)角的平分線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

98.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，ZA=ZB,AC=BE,AD=BC,F是DE的中點(diǎn).

(1)求證：CF±DE；

(2)若NADC=20。，ZDCB=80°,求NCDE的度數(shù).

99.如圖，點(diǎn)/、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC^DF,BC=EF.

(1)求證：AABCzADEF；

(2)若乙4=55°,乙E=45°,求AT的度數(shù).

100.如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AE,連接

CD,BE,

(1)求證：ZAEB=ZADC；

(2)連接DE,若/ADC=105。，求/BED的度數(shù).

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】B

U.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】C

14.【答案】C

15.【答案】A

16.【答案】D

17.【答案】B

18.【答案】B

19.【答案】D

20.【答案】B

21.【答案】B

22.【答案】A

23.【答案】B

24.【答案】B

25.【答案】C

26.【答案】D

27.【答案】C

28.【答案】A

29.【答案】A

30.【答案】B

31.【答案】

32.【答案】B

33.【答案】C

34.【答案】A

35?【答案】C

36.【答案】C

37.【答案】A

38.【答案】B

39.【答案】C

40.【答案】D

41.【答案】C

42.【答案】3<m<13

43.【答案】5或1

44.【答案】1<AD<5

4

45?【答案】

7x

46.【答案】2<ZB<14

47.【答案】1<AD<7

48?【答案】0.5<%<3.5

49.【答案】6

50.【答案】(1)50°

(2)1<AD<7

51.【答案】(1)證明：???△/BC和△ADE均為等邊三角形,

：.AE=AD,AB=AC,

又=^BAC=60°,^EAD+LDAC=LBAC+乙DAC,

即乙=Z.EAC

在△E/C和△DZB中，

AE=AD

Z.DAB=Z-EACJ

、AB=AC

：.^EAC^LDAB,(SAS)

即可得出BD=CE.

(2)解：由(1)AEAC三可得=

又?."OBA+N