2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高二年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.(〃eN+)的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則所有項(xiàng)系數(shù)和

為()

A.32B.-32C.0D.1

2.設(shè)。為實(shí)數(shù)，已知直線4:辦+3>-2=04：6x+[-3)y+4=0,若'〃％,貝!|q=

()

A.6B.-3C.6或-3D.-6或3

丫2

3.已知橢圓土+/=2,則下列結(jié)論正確的是()

2

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2cB.焦距為2

C.短軸長(zhǎng)為2D.離心率為交

2

4.等比數(shù)列｛叫的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。5%+為。7=18,則10g3%+10g3的+…+bg3%0=

()

A.12B.10C.5D.21og35

22

5.已知片名是橢圓C:t+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)?在C上，且|尸叫=3,則△咫工的

面積為()

A.3B.4C.6D.10

2

6.若直線l-.kx-y-2-0與曲線C：A/l-（y-l）=x-1有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍是（）

A.（利B.g,4）

C-[-2<9U（?2]口.竹，+8）

7.已知兩點(diǎn)M(-4,0),N(4,0),若直線上存在點(diǎn)尸，使|PM|-|PN|=6,同時(shí)存在點(diǎn)

。，使IQNH0M1=6,則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其

美線”的是()

S2

A.y=——xB.x=4C.y=—xD.y=2x

33

22

8.已知尸，。為橢圓匕+二=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線股與圓M（x-1）2+/=1相切，切點(diǎn)A恰

164

為線段尸。的中點(diǎn)，當(dāng)直線尸。斜率存在時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）

44

A.-B.——

33

「2V2D.謔

33

二、多選題（本大題共3小題）

9.在平面直角坐標(biāo)系尤Q?中，己知點(diǎn)N（-2,0）,5（2,0）,P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝!|（）

A.若|尸/|+|尸邳=6,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓

B.若戶尸冏=2,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

C.若圖+詞=國(guó)-畫(huà)，則點(diǎn)P的軌跡為直線

D.若網(wǎng)=2園，則點(diǎn)尸的軌跡為圓

10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、

司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.不同安排方案的種數(shù)為5,

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C；A：

C.若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)

為（C；C；+C；C；）A；

D.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)

為C；C；A；+C；A；

11.已知雙曲線C:2-x2=l（a>0）的一條漸近線的方程為了=浮，上、下焦點(diǎn)分別

為片，石，下列判斷正確的是（）

A.C的方程為3/-/=1

B.C的離心率為逋

3

C.若點(diǎn)A為C的上支上的任意一點(diǎn)，尸（2,0）,貝1］『訓(xùn)+|/閭的最小值為

D.若點(diǎn)刈2亞，，為C的上支上的一點(diǎn)，則△町旦的內(nèi)切圓的半徑為4

三、填空題(本大題共3小題)

12.從2024年伊始，各地旅游業(yè)爆火，兵馬俑是陜西省旅游勝地.某大學(xué)一個(gè)寢室

6位同學(xué)43,C,A,E,尸慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門(mén)前站一排合影留念，要求48相

鄰，C在。的左邊，則不同的站法共有；(用數(shù)字做答)

13.若點(diǎn)尸(-1,2)在圓C：尤2+/+苫+了+機(jī)=0的外部，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

14.已知雙曲線C：W-5=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為々，鳥(niǎo).點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在

ab

》軸上，冗耳瓦耳=-刀可，則C的離心率為

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知圓弓工+/-6》+加=0過(guò)點(diǎn)m(3,-5),且圓G關(guān)于直線-1=0對(duì)稱的

圓為G

(1)求圓￡的圓心坐標(biāo)和半徑，并求出圓c2的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)尸(-2,-4)的直線廠被圓a截得的弦長(zhǎng)為8,求直線/'的方程.

22

16.已知雙曲線C：「-==l(a>6>0)的離心率為近，實(shí)軸長(zhǎng)為2.

ab

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線/7=丘+1與雙曲線。交于a3兩點(diǎn)，是否存在人滿足德.麗=2(其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在，求出后的值；若不存在，說(shuō)明理由.

17.已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S",且S4=4邑，%=2a“+l(〃eN*)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6“=3"q,數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為％.問(wèn)：是否存在"?eN*,使得了…Tm+l,Tm+2

成等比數(shù)列，若存在，求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

18.已知橢圓C:=+右=l(a>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)片(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)

ab

構(gòu)成等邊三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)焦點(diǎn)寫(xiě)作x軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作橢圓C的弦

PM,PN,M、N在橢圓上且直線尸PN的傾斜角互補(bǔ)，間直線的斜率是否為

定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在第(2)間的條件下，當(dāng)AOMN面積最大時(shí)，求直線A/N的方程.

19.定義1進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿

二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六

十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等.也就是說(shuō)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就

是幾，一般地，若左是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以上為基數(shù)的先進(jìn)制數(shù)可以表示為一

串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫(xiě)在一起的形式

…%瑪㈤(％，…，%，為eN,O<a“<ka<an_xfltag<k)左進(jìn)制的數(shù)也可以表示成

不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的幕的乘積之和的形式.如

320

7342(8)=7X8+3X8+4X8'+2X8.

定義2三角形數(shù)：形如1+2+3+…+加，即；加("7+9(加eN*)的數(shù)叫做三角形數(shù).

⑴若&j是三角形數(shù)，試寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的。的值；

9個(gè)a

(2)若1111%)是完全平方數(shù)，求上的值；

(3)已知上二色，設(shè)數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為證明：當(dāng)”>3時(shí)，7n.

〃個(gè)i2

答案

1.【正確答案】D

【詳解】依題，C；+C；+…+C：=2"=32,解得〃=5,則二項(xiàng)式加;的所有項(xiàng)系數(shù)

之和為［：-析］=1.

故選：D.

2.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)?〃4，所以。(。-3)=18,解得：。=6或0=-3.

當(dāng)a=6時(shí)，4:6x+3了-2=0,4：6尤+3了+4=0,平行；

當(dāng)a=—3時(shí)，4:—3x+3y—2—0,/2:6x—6y+4=0,可判斷此時(shí)重合，舍去.

故選：A

3.【正確答案】D

222

【詳解】已知橢圓土+/=2,整理得土+匕=1,

242

得=4,=2,所以a=2,6=V2,c=Ja。-b'=也"，

故橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,焦距為2c=2后，

短軸長(zhǎng)為2b=2啦，離心率為e=￡=

a2

故選：D.

4.【正確答案】B

［詳解］由a5a6=。4a7和%4+%%=18可得的%=%

故log3df1+log3^z2H----Flog3df10=log3(%?a2-tz2-???a)=log(axa^=log39=1(,

故選：B

5.【正確答案】C

【分析】由橢圓定義和|/犯1=3得到|尸凰=8-3=5,結(jié)合出閭=4,由余弦定理得

3

cosZ^=-,進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.

【詳解】由橢圓定義可得|尸聞+|尸周=2a=8,

故歸耳|=8-3=5,

又閨用=2c=25/11li=4,

|尸為（+|尸￡2-出聞,25+9-16=3

則由余弦定理得cosZFPF=

t22M.%-2x5x3.5

故sinZFtPF2=

故列訃忸用sinAV"=；x5x3xg=6.

故選C.

6.【正確答案】A

【詳解】直線V.kx-y-2=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,—2)

曲線c：Vi-(y-i)2=%-1表示以點(diǎn)(1,1)為圓心，半徑為1,且位于直線%=

1右側(cè)的半圓(包括點(diǎn)(1,2),(1,0)).

如圖所示,

當(dāng)直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),與曲線c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)k=2

直線記為h

當(dāng)I與半圓相切時(shí)，由懸=一得k=[,切線記為12

分析可知當(dāng)!<fc<2時(shí)，I與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

7.【正確答案】C

【詳解】由點(diǎn)”(-4,0),N(4,0),得|^V|=8>6,

由1PMi-|PN|=6,得點(diǎn)尸的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線右支，方

22

程為^——=1(%>0)，

97

由|QN|-|0河|=6,得點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線左支，方

22

程為-=1(%<0),

直線產(chǎn)。為“兩全其美線”，當(dāng)且僅當(dāng)直線P。與雙曲線二-四=1的兩支相交，

97

對(duì)于A,雙曲線巨-理=1的漸近線為y=±立x,直線”也x與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，A

9733

不是；

22

對(duì)于B,直線x=4與雙曲線土-匕=1左支無(wú)公共點(diǎn)，B不是；

97

對(duì)于C,由0<2〈立，知直線y=2x過(guò)雙曲線《一片=1的中心，

33397

2丫22

且在兩條漸近線所夾含焦點(diǎn)的區(qū)域，直線y=與雙曲線土-匕=1兩支相交，C

是；

對(duì)于D,由2>且，知直線了=2尤過(guò)雙曲線片一片=1的中心，且在兩條漸近線所夾

397

含虛軸的區(qū)域，

22

直線y=2x與雙曲線土一匕=1無(wú)公共點(diǎn)，D不是.

97

故選：C

8.【正確答案】A

【分析】設(shè)尸(網(wǎng),必),。仁,丹)〃&),%),利用點(diǎn)差法可得%+4仇=0,因?yàn)锳為直線

1"n

尸。與圓W的切點(diǎn)，所以心材=-7=口7，可解.

kx0-1

【詳解】設(shè)尸),

[2x“=M+x,

設(shè)直線=且h

2

I%=yt+y2

二+田=1

則F?t，作差得：-~r(x1+x2)(xI-x2)+^-(yI+y2)();-y2)=0

x；V；.164

由4=21Z21,所以x°+4@o=O,①

再一x?

因?yàn)锳為直線P。與圓”的切點(diǎn)，所以上②

KXo-1

由①②消去左可得二

4%%

4

所以毛=§.

故選：A.

9.【正確答案】AD

【詳解】對(duì)于A：\P^\+\PB\=6>\AB\,則點(diǎn)尸的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，故A

正確；

對(duì)于B：|尸/|-|尸目=2<|/卻，則點(diǎn)尸的軌跡是以A、3為焦點(diǎn)雙曲線的右支，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C：由"+得=|百-得，可得力.麗=(),

則點(diǎn)尸的軌跡是以為直徑的圓，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：設(shè)尸(")，由圖=2網(wǎng)，貝!|卮市7=2而了丁，

即［-g1+r=%，所以點(diǎn)尸的軌跡為圓，故D正確.

故選：AD.

10.【正確答案】BD

【詳解】對(duì)A,若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的

種數(shù)為45,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，

則不同安排方案的種數(shù)為C；A：,故B正確；

對(duì)C,先將5人分為3組，有(甘+W］種分組方法，

將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有A：種情況,

則不同安排方案的種數(shù)是故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,第一類(lèi)，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機(jī)工作，再將剩下的4人分

成三組,

安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為C；C；A>

第二類(lèi)，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機(jī)工作，

再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，

則不同安排方案的種數(shù)為CjA；.所以不同安排方案的種數(shù)是C；C；A；+C；A；,故D正確.

故選：BD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】A.由雙曲線方程C:/-f=l(a>0)可知，雙曲線的漸近線方程為了=±辦，

又雙曲線的一條漸近線方程為>=&,所以〃=也，

-33

所以C的方程為

故A正確；

B.由雙曲線C的方程3y2_x?=l,

可知，?2=1,/=],

4c

貝1」。2=片+〃=；,所以離心率e=—=2,

3a

故B錯(cuò)誤；

■I+M閶=|P/|+M團(tuán)+2°=|尸/|+|必|+孚當(dāng)期|+孚=2g,

當(dāng)點(diǎn)尸,4月三點(diǎn)共線且依序排列時(shí)，等號(hào)成立,

所以|「/|+卜閶的最小值為2百,

故C正確；

D.。的方程為3/―/=1,當(dāng)》=20時(shí)，y=士班,M(2也網(wǎng),

計(jì)算可得閨用=￡g,|摩]=￥^,|〃叫=2^,

所以△〃?；鳥(niǎo)的面積為L(zhǎng)x迪X2行=墳，

233

△孫丹的周長(zhǎng)為迪+更1+乂1=應(yīng)1,

3333

設(shè)△年片的內(nèi)切圓的半徑為廠，則L?1,.=也，得.』2,故D正確.

2332

故選：ACD

12.【正確答案】120

【詳解】先將4夕“捆綁”看成一個(gè)元素，與另外四人在五個(gè)位置上進(jìn)行全排,

再考慮C在。的左邊，最后“解綁”，故有:A；A；=120種方法.

故120.

13.【正確答案】—6<m<—

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(T2)在圓。：/+/+》+夕+%=0的外部，

l2+l2-4m>012-4機(jī)>0

所以1、22n>

(-1)+22-1+2+/M>0[6+m>0

角軍得一6<根<；,

故答案為.-6<機(jī)<；

14.【正確答案】述/-V5

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到H閶,忸閶，忸用，以用

關(guān)于。，加的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得。=加，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次

方程，從而得解.

52

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得％=；c,產(chǎn)=4c?,

將點(diǎn)A代入雙曲線C得到關(guān)于a,6,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)周居|=2加,則忸閶=3加=|幽耳|=2a+2租,

在口342月中，9m2+(2a+2m)2=25m2,貝|一〃?)=0,故。=機(jī)或°=-3機(jī)(舍

去)，

所以與|=40,以外|=2a,\BF2\=\BF^3a,則附=5°,

AF,4。4

故cos/片/月=后

5a5

16c24/72-4r24

所以在△"巴中，cosNG4￡="〃——整理得5。2=9力,

2x4ax2a5

375

故e

a5

依題意，得片(-c,O)，E(c,O),令/(%%),8(01),

__?2__?252

因?yàn)檎?=_§為8,所以(尤0-°,%)=-§(-°1),^x0=-c,ya=--t,

又小陌，所以即?麗=1|c,q)(M=?o,則r=402,

又點(diǎn)A在C上，則胃,整理得與一匯=1,則學(xué)一里=1,

—2---7T=19a29b29a29b2

ab

所以25c&-16F/=90v,即25c2(c2-a2)-l6a2c2=9a2(c2-a2),

整理得25c4-50a2c2+9/=o,貝ij區(qū)-9叫(5c?-叫=0,解得5c?=9/或5c?=/,

又e>l,所以°=士5或6=好(舍去)，故°=占5.

555

故答案為.3亞

5

關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股

定理與余弦定理得到關(guān)于“,”c的齊次方程，從而得解.

15.【正確答案】(1)圓。的圓心為G(3,0),半徑為5,&-1)2+(>-2)2=25

(2)x=-2或3x-4y-10=0

【詳解】(1)將"(3,-5)代入G方程得：9+2578+機(jī)=0,

m=—16,故圓￡方程為：尤2+/-6無(wú)—16=0,

即：(X-3)2+/=25,故圓G的圓心為G(3,0),半徑為5.

設(shè)G(3,0)關(guān)于直線/：計(jì)尸1=0對(duì)稱的點(diǎn)為Cz(a,6),

I22

故圓G的方程為(x-ir+(y_2)2=25.

(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)尸(-2,-4)的直線廠被圓C?截得的弦長(zhǎng)為8,

故圓心Cz(l,2)到直線/'的距離為"=乒不=3.

當(dāng)直線/'的斜率不存在時(shí)，其方程為x=-2,符合題意；

當(dāng)直線/'的斜率存在時(shí)，其方程為＞+4=左。+2),

即kx—y+2k—4=0,

|后_2+2-_4|3k—2|

故圓心。2(1，2)到直線/'的距離為"=J_/,I=4=^

JF+1Jr+l

3|/r-2|3

依題意一^=3,解得：k=j,

“2+14

止匕時(shí)直線/'的方程為3x_y+9_4=0,BP3x-4v-10=0.

4'4

綜上，直線直線/'的方程為x=-2或3x-4y-10=0.

16.【正確答案】(1)犬-/=1；

(2)不存在

【詳解】(1)因?yàn)?a=2,e=￡=拒，所以。=1,c=后，

a

所以/=。2-/=2-1=1,

故所求雙曲線方程為X?-r=1.

(2)如圖，

設(shè)，(再，%)，8(程%)，

_2=1

由;京］,消?？傻?1一左I—一2"一2=0,

-2

當(dāng)/=4左2+8（1—左2）=8—4左2>0,即—行〈左<6■時(shí)，Xx=-yX.-X=------r

1+2\—k）2-2

一2左22k2

=

所以?%(依i+1)("2+1)=貨X]?/+后(玉+%2)+1=----2~------2+1=上

\—k\—k

所以CM-03=X］無(wú)2+K%=：＞-7T+1=2?解得左=土石，

I-K

此時(shí)不滿足-亞〈左＜后，

故不存在左，使得方?歷=2成立.

17.【正確答案】(I)%=2〃-1

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【詳解】⑴由S,F，—(/"N*)、可得]+6d=4(2劣+d)

-l)t/+l

解得

[4=2

故a“=%+(〃-1)6/=277-1

(2)bn=3"-an=(2?-1)-3",

故7；,=lx31+3x32+5x33+---+(2n-3)-3"-1+(2M-l)-3",

37；=lx32+3x33+5x34+---+(2M-3)-3n+(2?-1)-3n+1,

相減可得_24=1x3=2x(32+33+…+3")-(2"-1)3川，

故-27；=3+2、3I；]T)_(2〃T)-3"+I=3+3"+1-9-(2n-1)3"+1=6+2n-^3%

因此7；=3+(〃-1)3出，

假若存在meN*,使得T”,Tm+l,圖十2成等比數(shù)列，則若+i/+i=*?&2，

即(3+加學(xué)度)2=[3+("-l)-3""[[3式"7+J3"+[,

即9+6w3m+2+(w-3m+2)2=9+Xm+l)-3ra+3+3(m-)-3m+1?m-)3m+(加+)13m+,

故32M=3(加+1).3”+3+3?_1).3m+1-6m-3m+2,

進(jìn)而3m+2=(m+1)-32+(加-1)-2機(jī)x3,即3mM=4(加+2),

由于3"'+2為奇數(shù)，而4(加+2)為偶數(shù)，因此不存在機(jī)eN*使得3M=4(以+2),

故不存在meN*,使得I.，Tm+l,圖+2成等比數(shù)列，

22

18.【正確答案】⑴上+匕=1；

43

⑵是，g

(3)工-2/+2亞=0和工-2/-2a=0

【詳解】(1)由題意可知橢圓的半焦距C=l,

由兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形得6=@x2c=百,

2

/=/+。2=%

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+匕=1.

43

(2)

由已知得尸伺3)，

由圖知，直線尸PN的傾斜角互補(bǔ)，即直線的斜率與尸N的斜率互為相反數(shù),

3

可設(shè)直線尸M的方程為y=?xT)+j

代入1+.=1,消去y得（3+4/）/+4左（3-2左）x+4左2一12"3=0.

設(shè)M,yM）,N,6），

4左2—12左一34k2-12k-3,,3

所以1XXM