2024-2025學年江西省贛州市大余縣高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江西省贛州市大余縣高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

3155

1.已知數(shù)列｛。幾｝是等差數(shù)列，其前〃項和為Sn若4/4243=15,且三不十下不+三不

3

=則。2=（）

A.2B.y

C.3D.-

3

-x+3,x<0

2.已知函數(shù)/(x)=<2x-3,0<x<3,若數(shù)列｛氏｝滿足q=4嗎+1=/(a“)(〃eN*),則

x-2,x>3

。2021=()

A.1B.2C.4D.-1

3.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,

2,3,5,8,13,...該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都

等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若

｛an｝是“斐波那契數(shù)列”，則，，（。2020。2022-■（Ki）的值為

（）.

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知數(shù)列｛%｝滿足/+2a2+34+…=2',設”=而亨蘇「S”為數(shù)列也｝的前

〃項和.若S“＜t對任意〃eN*恒成立，則實數(shù)/的最小值為（）

35

A.1B.2C.-D.

22

5.數(shù)列｛氏｝滿足q=10,??+—\則()

八an)

A.e[0,2jB-G[2jljCG[152

6.定義：如果函數(shù)＞=/（%）在區(qū)間［凡可上存在再戶2（。＜再＜%2＜6），滿足

/⑷=/伍）-?。?f（x,）］（b）7W,則稱函數(shù)y=〃x）是在區(qū)間N肉上的一個

b-ab-a

雙中值函數(shù)，已知函數(shù)1卜）=/-是區(qū)間［o,q上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

7.已知曲線>=/+“與y=（x-l）2恰好存在兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-co,2In2+3)B.(-<?,2ln2-3)

C.(0,1)D.。,+8)

8.設直線x=《0W2)與函數(shù)了=》3的圖象交于點A,與直線y=3x-4交于點B.則

|/目的取值范圍是()

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[1,4]

二、多選題（本大題共4小題）

9.設｛%｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，（是其前〃項的積，且

則下列結論正確的是（）

A.?>1B.3C.Tl0>T6D.北與品均為北的最

大值

10.已知正項數(shù)列｛見｝的前〃項和為色，若對于任意的加，〃eN*,都有

+?！埃瑒t下列結論正確的是（）

A.%+412=%+"5

B.a5a6<4%o

C.若該數(shù)列的前三項依次為x,1-X,3無，則可0=5

D.數(shù)列為遞減的等差數(shù)列

11.對于函數(shù)〃x）=竽，下列說法正確的是（）

A."X）在.八處取得極大值?

B.“X）有兩個不同的零點

2

D.若/(x)〈人一-?在(0,+8)上恒成立，則左〉"|

12.已知等比數(shù)列｛%｝首項4>1,公比為心前〃項和為S“，前〃項積為函數(shù)

/(x)=x(x+aj(x+%)…(X+%)，若/'(0)=1，則()

A.｛1g4｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B.0<q<l

C.,-言:為單調(diào)遞增的等比數(shù)列

D.使得北>1成立的〃的最大值為6

三、填空題(本大題共4小題)

13.設數(shù)列｛?！保碾尽椇蜑镾.，且q=1,%"=(7"—1,電向="—,貝1J

*^100=-

14.朱載堵(1536-1611)是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他

的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的

把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相

等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且

最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設第三個音的頻率為力，第七個音的頻率

為力，則，=.

15.已知sin。是sin<9,cos。的等差中項，sin"是sin。，cos。的等比中項，則

cos2a_

cos2/3*

16.已知函數(shù)/■(》)=工辦3-2%2+5在尺數(shù)上單調(diào)遞增，且“cV4,則|sinx|+2的最

3smx

小值為

a

c2+4+(z2+4的最小值為

四、解答題(本大題共6小題)

17.設數(shù)列｛g｝的前〃項和為邑，從條件①"。向=(〃+1”“，②.=(〃+?%,

③4+勾=25”中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列｛%｝的前〃項

和為S”，4=1,.

(1)求數(shù)列｛g｝的通項公式；

(2)若“=-2"%,求數(shù)列也｝的前〃和小

18.已知｛%｝為等差數(shù)列,也｝為等比數(shù)列，4=1,%=5(。4-%)/5=4(4-。3).

(1)求｛。"｝和｛"｝的通項公式；

(“"-2',W為奇數(shù)

(2)對任意的正整數(shù)"，設g="同+2,求數(shù)列｛4｝的前方項和.

〃為偶數(shù)

”“+1

19.已知函數(shù)f(x)=a-ex--^x2-x(aeR),

(1)若函數(shù)/(x)有兩個極值點，求。的取值范圍；

(2)證明：當x〉l時，ex-lnx>X--.

x

20.已知數(shù)列｛4｝,也｝滿足%+〃3=12,4=1,'=+

an

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

11111

(2)求證.7+7-+…+T-<-7，〃￡N+

bib2bn6

21.設函數(shù)/(x)=\nx-a2x+2a^awR)

(1)若函數(shù)〃x)在1o，￡|上遞增，在g，+j上遞減，求實數(shù)4的值.

(2)討論/(X)在(L+8)上的單調(diào)性；

(3)若方程x-lnx-加=0有兩個不等實數(shù)根西廣2，求實數(shù)加的取值范圍，并證明

XxX2<1.

22.已知函數(shù)/(%)="一，+2,其中QWO.

(1)討論/(X)的單調(diào)性.

(2)是否存在aeR,對任意王e[0,1],總存在％e[0,1],使得〃占)+〃9)=4成立？

若存在，求出實數(shù)“的值；若不存在，請說明理由.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】vH=3"%)=3x2^=3a2,S5=5"%)=言"，

3155331553,1113

------------1---------------1------------=-,即------1-------------------1--------------——,貝［j----------1----------------1-----------——

iS?iSiSiS)Sj5155

?aia2a3=15,

.3_/axa2+%+%3&a?

**5-151515-15

?*Cl2~~3.

故選：C

2.【正確答案】C

-x+3,x<0

【詳解】由題意，函數(shù)/(%)=2x-3,0<x<3,且數(shù)列也｝滿足

x-2,x>3

%=4,%+1=/(%)(〃￡尸)，

所以〃2=/(%)=/(4)=4-2=2,%=/(%)=/(2)=2x2—3=1,

%=/(%)=/(1)=2x1-3=-1,a5=f(tz4)=/(-I)=-(-1)+3=4,

4=/(%)=/(4)=4-2=2,.......,

aa

所以數(shù)列｛?｝的周期為4,所以。2021=。50儀4+1=i=4.

故選：C.

3.【正確答案】B

由已知數(shù)列的特點依次求出為%-d，a2a4-嫉，。3a5-/，…的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次

為1,-1,1,-1,1,-1?…，進而可求出答案

【詳解】由題設可知,斐波那契數(shù)列｛時｝為:U,2,3,5,8,……

其特點為：前兩個數(shù)為1,從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此

可知：

“103—。2=1x2—1=1,

612a4—Q；—1x3_2?=_1,

〃3。5—。4=2x5—3—1,

a4a6—a；—3x8—52——1,

。2020,2022—。2021=一1，

a

則~3)....(“202002022—。2021

1010

=roiox(-i)=1.

故選：B.

4.【正確答案】C

先求出｛%｝的通項，再利用裂項相消法可求,，結合不等式的性質(zhì)可求實數(shù)，的最小

值.

【詳解】幾=1時，％=2,

因為4+2a2+3a3—+—7，

所以〃22時，%+2%+3a③+—(n—1)6?〃」=2"1

2〃T

兩式相減得到〃%=2〃T,故一,〃=1時不適合此式,

n

l,w=1

a

所以4=n1

(〃+l)2"T,n>2'

川(〃+1)

當〃=1時，S[=b]=l,

111111313

當〃22時，S〃=l+---------|----------+...---------------

2334nn+12n+12'

33

所以=所以，的最小值5；

故選：C.

5.【正確答案】C

4+1

【詳解】由題知：設2=

?！═

|1+1

2

。及+1+12(源+1冊+1

則叫

%+1-1

1a「-2an+1

所以明產(chǎn)42.

%+1_11

又因為4=

4_19

1632

1111111111

所以仇=1—4=[，&=|，d=

------->0

因為Fl〔1，所以&>1，

2<2］?2<3

又因為所以+『『_］',即

故選：C

6.【正確答案】A

【詳解】f(X)=x3--|x2,.,./f(x)=3x2--^x，

?.?函數(shù)/(x)=Y-|尤2是區(qū)間［o,q上的雙中值函數(shù)，

二?區(qū)間［0/上存在再，x2(0<x1<x2</),

滿足/'&)=f'H)=/⑺;/⑼=『一&，

方程3/-=?-m在區(qū)間［0川有兩個不相等的解,

[0A

令,.,g(%)=3%2-----x-Z2+—6(0<x<t),

55

△=(-￡-12(一產(chǎn)+])>0

0<,

貝卜g⑼=-〃+/>0

g?)=2j-y/>0

解得)<%<不，

?,.實數(shù)，的取值范圍是

故選:A.

7.【正確答案】B

【詳解】了=(尤-1)2的導數(shù)為y=2(x-l),y=e，+"的導數(shù)為曠="+",設與曲線了=e?相切

的切點為(加，〃)，與曲線v=(x-iy相切的切點為(s,Q,則有公共切線斜率為

f—M

2(5-1)=/+。=^^,又/=(5—1)2,n=em+a,即有

s-m

.,1、(s—I)?—e'"+"(5—I)2—2(5—1)srs—1日ns+3/

2(5-1)=------------=---------------,即sn為5—冽=-----1,即有m=----(s>l),貝IJ有

s-ms-m22

em+a=2(s-V),

v+3s+311

即為q=>2(s-1)-士(5>1),令/(s)=ln2(s-1)-X(s>l),則f(s)=---

22s-12

當s>3時，/'(s)VO,/(s)遞減，當1<5<3時，/'(s)>0,/(s)遞增，即有s=3處/⑸取

得極大值，也為最大值，且為2歷2-3,由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得。

的取值范圍是。<2歷2-3,

故選:B

8.【正確答案】A

【詳解】由題意得N(/,P),8(f,3f-4),則恒同=,-31+4|(04區(qū)2).

設函數(shù)/(。=7-3/+4,0<t<2,貝!!/咐=3產(chǎn)一3,

易知/?)在［0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增，所以〃f)血n=/(l)=2,

又"0)=4,"2)=6,所以/⑺的值域為［2,6］,故|/3|的取值范圍是［2,6］.

故選：A.

9.【正確答案】BD

【分析】結合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項即可.

【詳解】由題意知，

A：由北<4得a7>］，由4=1得。84=1,

所以"=4<1,又q>0,所以0<g<l,故A錯誤;

%

B：由4=與得。8=黃=1，故5正確；

C：因為｛%｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，0￡(0，1),

有《〉％，…〉％〉/=1>。9>%0>

所以冬=〃7〃8。9〃10=(〃8a9「二名?，

所以幾<7，故。錯誤;

則刀與《均為7；的最大值，故。正確.

故選：BD

10.【正確答案】AC

令加=1,貝|。角-%=%,根據(jù)％>0,可判定N正確；由%&—%%。=20/>0,可判定

B錯誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；叢=+根據(jù)g>0,可判

定。錯誤.

【詳解】令加=1,則。用-%=%,因為q>0,所以｛為｝為等差數(shù)列且公差d>0,故

A正確；

由a5a6一=（裙+9。遂+20屋）_（〃；+鄉(xiāng)/"）=20d2>0,所以a5a6>axaw,故5錯誤；根

據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得2（l-x）=x+3x,所以x=11,l-x=j9,

故%o=1+9x坦當，故C正確；

333

—1）,q]

由s“nal+^-dd（d\因為1>0,所以上是遞增的等差數(shù)列，故。

—=-------------=7〃+%F2InJ

nn2I2J

錯誤.

故選：AC.

1、作差比較法：根據(jù)。用-?！暗姆?，判斷數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)

列；

a.

2、作商比較法：根據(jù)3（0“>0或4<0）與1的大小關系，進行判定；

an

3、數(shù)形結合法：結合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于選項A：函數(shù)定義域為（0,+oo）,/⑴令/，卜）>0可得

0<x<Ve,

令/，（x）<0可得尤〉血，所以〃x）在（0,⑹單調(diào)遞增，在（八,+8）單調(diào)遞減，

所以“X）在x=心時取得極大值八血）=（,故選項A正確

對于選項B：令/（x）=竽=0,可得尤=1,因此“X）只有一個零點，故選項B不正

確；

對于選項c：顯然血<G<6，/(%)在(八,+8)單調(diào)遞減，

可得/(G)>f"&>0，因為/~Y~=2山4^<0,

即/(收)百)，故選項C正確；

對于選項D：由題意知：左>〃工)+±1=詈]nY+j1在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=]^+，(x>0)貝i]k>g(尤)曄，因為g'(無)=T)lnx

易知當xe[o,1]時.g]x)>0,當xe(1，+co]時，g'(x)<0,所以g(x)在x=1時取

得極大值也是最大值所以">1,

1P

所以〃x)+,〈左在xe(0,+8)上恒成立，貝！|左>5，故選項D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】BCD

【分析】

，

令8(尤)=(工+%)(工+。2〉-(尤+%)，利用/(O)=g(O)=a1a2---tz7=l可得%=1=%],

0<q<l,8正確；由Iga*=lg(a/i)=lga]+仇-1)lgq可得N錯誤；由

S“一魯-=—497可得C正確；由%>1,0<q<l,%=1可推出

1-ql-qq-\

16>1=17,(<1可得。正確.

【詳解】

令g(x)=(x+%)(x+02)…(x+%)，則/(x)=xg(x),

,

:.f'[x)=g{x}+xg\x),/(o)=g(o)=?l(z2---a7=1,

因為{%}是等比數(shù)列，所以。|出…。7=或=1，即。4=1=%/，Q%>1,0<^<1,B

正確；

；iga“=ig(%，i)=igq皿，是公差為igq的遞減等差數(shù)列，/錯誤；

???S”=詈-(1-/T)10T，,1s'是首項為，公比為鄉(xiāng)的遞增

l-ql-q'/q-1[1—qJq-1

等比數(shù)列，C正確；

Q%>1,0<q<1,tz4=1,

7

二.〃《3時，%>1,〃25時，0<q<1,〃V4時，Tn>\,■：T7=ata2-■-a-l=a4=1,

〃28時,T=T7Q8a9…冊<T?=1，又小左江”〉1,所以使得北〉1成立的〃

n%

的最大值為6,D正確.

故選：BCD

關鍵點點睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解

題關鍵.

13.【正確答案】1189

【詳解】解：因為=。"一1，%"+1="-g，

所以。2"+。2"+1=〃T，

48x49

以(4+4)+(44+%)+,,,+(“98+。99)=0+1+，-+48=-----=1176,

由a2?="一4，可得%=1-%=°

所以“100=。50—1="25—2=10—(712=11—a6=12—〃3—12,

所以^100=a\+(〃2+〃3)+(。4+〃5)■1---1■(“98+%9)+^100

=1+1176+12=1189,

故1189

14.【正確答案】2：

【詳解】將每個音的頻率看作等比數(shù)列{4},利用等比數(shù)列知識可求得結果.

【詳解】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，

a

可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列{%},一共13項，且口=9,

an-\

???最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，

??Q]3=2%,ci^q—2。]q=2,

r611

a

-J2_\__4_/12H_23

fi%%q''

：.^=v,

故才

關鍵點點睛：構造等比數(shù)列求解是解題關鍵.

15.【正確答案】1

由題意得sin6+cose=2sina,sin^cos^=sin2/?,消去。，可得4sin2a-Zsin?6=1,化簡

cos2a|

得l—Zsin?〃=2—4sin2a,得cos2夕=2cos2a,則有..--=—

cos2p2

【詳解】由題設可知：

由sina是sin。,cos。的等差中項，則sin6+cos6=2sina①，

sin夕是sin。，cos。的等比中項，則sin6cose=si/。②,

則有①②可知：4sin2a-2sin2/?=l③，

cos2tz=l-2sin2a,cos2/?=l-2sin2yff,

則將③式變形得：l-2sin2/=2-4sin2a,

即cos2/=2cos2a,

r,cos2a1

則—

cos2p2

故答案為.g

16.【正確答案】5；1

【分析】

根據(jù)條件分析出ac=4,a>0,c>0,根據(jù)函數(shù)/z（x）=x+&的單調(diào)性分析出|sinx|+上的

xsinx

最小值.將待求式子變形為關于C的式子，利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性求解出

ac

c2+4+a2+4的最小值.

【詳解】

解：因為/（幻=3研3-2尤2+S在R上單調(diào)遞增，貝1]/'（無）=研2-4無+C20,

所以。>0,A=16-4acV0,所以這W4,又因為ac《4,所以ac=4,則c>0,

ac4

又因為Mnx|+--=|sinx|+p-?,|sinx|e(0,1],

smxsin.

令函數(shù)〃(x)=x+3,A,(x)=l--與＜0在(0』恒成立，

“x)=x+g在(0,1]上單調(diào)遞減，

ac

所以〃(無)min=〃⑴=5，所以|sinx|+的最小值為5,取等號時sinx=±l,

sinx

所以

428

C

acrcS+16z?

---------------1---------------=---------------|-----------------=-------------------------=-------------------

2223

C+4a+4C+416+44(C+4C)+￡

IC,

又因為c+3Z2,

c--=4,取等號時。=2,

oo

且函數(shù)g(/)=/-：，g，(^)=l+p->0,

o

g(/)=f-：在［4,+oo)上遞增，所以g?)1nhi=g(4)=2,

所以—+的最小值為Jx2=:，取等號時。=c=2；

C2+4a2+442

故5;y.

易錯點睛：利用基本不等式求解最值時，一定要注意取等號的條件是否能滿足，若

不滿足則無法直接使用基本不等式，轉(zhuǎn)而利用對勾函數(shù)單調(diào)性分析更方便.

+l

17.【正確答案】任選三條件之一，都有(1)%="；(2)Tn=(l-n)-2"-2.

【詳解】選條件①時，

(1)"。加=("+1””時，整理得4^=冬=?=1，所以%=〃.

(2)由(1)得：“=-〃.2",

設c,="-2”，其前〃項和為C“，

所以C“=lx2i+2x22+…+小2”①，

2C?=lx22+2x23+---+n-2,+1②，

①一②得：一c=(2'+22+---+2"}-n-2"+1?

"')2-1

故Q=(〃-1)-2角+2,

所以<=(1-">2用-2.

選條件②時，

(1)由于.=(“%,所以2s+①，當心2時，2s3ft%②,

①-②得：2%+-〃氏_|,

整理得鰻=也=5=1,所以%=〃.

nn-11

n

（2）由（1）得：bn=-n-2,

設的二〃2,其前〃項和為Q,

所以c“=1x21+2x2?+…+〃-2"①，

23,+1

2C,i=lx2+2x2+---+n-2②，

①一②得：-c=（2i+2?+…+2"）-〃-2向=—'----也用，

"、）2-1

故C"=（"-l>*+2,

所以北=。一〃）-2向-2.

選條件③時，

由于+an=2g,,①

an-l+an-l=2S"_]②

①一②時，尺一。北=。“+*,整理得（常數(shù)），

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

所以％=〃.

（2）由⑴得:4=_〃2,

設c,=分2",其前”項和為C”，

所以C”=1x21+2x2?+…+小2”①，

2c“=1x2?+2x23+…②，

①一②得：一c=（21+22+---+2"'）-W-2"+1一〃2"1，

故Q=（〃-1）-2角+2,

所以*=（1一〃）.2"+1-2.

18.【正確答案】（1）?！?〃，"=2"'（2）——一竺也一上

2”+19x4"9

【分析】

（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為49=1,%=5（。廠

4=1,4=4（4-4），分別利用“％M”法和“4,q”法求解.

(2)由⑴知當"為奇數(shù)時，當〃為偶數(shù)

a/〃+2n(n+2)n+2n

d.72—1

時，％=六=入］，然后分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，然后相加即可.

【詳解】

(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛a｝的公比為q.

因為q=l,%=5（%-%），

所以4+4d=5",

解得d=l.

所以｛4｝的通項公式為

由4=1,Z?5=4（Zj4-Z）3）,

又q*0,得q2_4q+4=0,

解得夕=2,

所以也｝的通項公式為“=2"T.

（362）2_（3〃-2Ri_2向2'-1

(2)當n為奇數(shù)時,

anan+2〃（〃+2）n+2n

u,n—1

當〃為偶數(shù)時，C"=『=虧，

"〃+1/

有)Y配聽一

對任意的正整數(shù)n,------1

2k—\2H+1

2k-12n—32n-\

4〃T+

4人4n

…/口is1352n-32n-l

由①得王學/=不+不+下+…+下L+②

,??3^1222n

由①②得ZB力、3=]+7+…+^r一不

56〃+5

-T2-3X4,,+1

n、6〃+5

所以E4=6

k=\"9x4〃

2〃〃.4n6n+54

所以C2k-\+￡%

-2〃+l9x4”-9

左=1左=1k=l

所以數(shù)列{cj的前2"項和為4"6〃+54

2〃+19x4"9

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的求法，分組求和、裂項相消法和錯位

相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于較難題.

19.【正確答案】(1)0<?<1；(2)證明見解析.

(1)由題意轉(zhuǎn)化為/'("=0有兩個變號零點，再參變分離后得利用圖象求

。的取值范圍；(2)首先構造函數(shù)g(x)=e*Jnx-x+'(x>l),求函數(shù)的二次導數(shù)，

x

分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.

【詳解】(1)/⑴的定義域為R,fr(x)=a-er-x-l,

若函數(shù)/(x)有兩個極值點，則/'(x)=a-e=x7=0有兩個變號零點，

等同于。=Y半-L1，

e

即水平直線>與曲線>=學有兩個交點(y=a不是>=手的切線)，

ee

令〃(x)=妥Y-I-1，〃(x)的定義域為&,貝=Y令〃(x)=o,解得x=0,

當x>0時，h'(x)<0,〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當x<0時，h\x)>0,”(x)在(-co,0)上單調(diào)遞減，

則〃(0)=1為訪(x)的極大值，也為最大值，

當力(x)=0時,x=-l,

當X->-00時，h{x)T-co,

當Xf+co時，〃(x)fO且為正數(shù)，

則萬(X)的圖像如圖所示，則此時0<a<l;

(2)證明：令g(x)=e"lnx-x+L(x>l),則只需證明當x>1時g(x)>0恒成立即可,

X

則g'(x)="-Inx+---1—y，令Z(x)=gz(x)=ex-inx+---1——y,

1XXXX

,/、xx-Y-x2

貝t'(x)=ex-lnx+—e+e,eI4，

XXX

,X/_X2

當X〉1時"」nx>0,—>0,,>0,—>0,

貝h'(x)>0,貝h(x)=g'(x)=eHlnx+J-l-二在x>l時單調(diào)遞增，

XX

又g")=e-2>0,

x>l時，g'(x)>0,貝!]g(x)=e*Jnx-x+L在尤>1時單調(diào)遞增，

x

.,.當x>1時g(x)>g(l)=0,即當x>l時，ex-Inx>x--.

x

方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構造函數(shù)法：證明不等式/3>g(x)(或y(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)〉0或/(x)-g(x)<0),進而構造輔助函數(shù)〃(x)=g(x)-g(x)；

(2)適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

(3)構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造

輔助函數(shù).

其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問

題的突破口.

20.【正確答案】(1)b,=T-\.(2)證明見解析.

(1)由題可知數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列，公比4=2,進一步求出?！钡耐椆?，所以

b?-be2-1,利用累加法求出數(shù)列｛"｝的通項公式；

(2)利用47<工對數(shù)列進行放縮，化簡求出答案.

2-12

【詳解】(1)???&包=2,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比4=2,%q+%q2=i2,所以

an

%=2,r.a“=2"所以=…瓦一瓦=*=2,"-4=2+2?+…+2'T=2"-2

?,也=2"-1

，、…口111,11,11141f(1丫］

(2)證明：一+——+???+——=1+—2；——+…+----<1+—F干2+…+17=-F-1--

4b2bn2-12〃-1322T321QJJ

21.【正確答案】(1)±V2.(2)答案見解析.(3)機€(1,+?0，證明見解析

【詳解】(1)由于函數(shù)“X)在[。，寸上遞增，在上遞減，

由單調(diào)性知X是函數(shù)的極大值點，無極小值點，所以/'(；)=0,

?；f\x)=--a2,

X

—6Z2=0=>tZ=±y/l，

1_9r1

此時/滿足X是極大值點，所以4=±行；

x2

(2),:f(x)=\wc-a2x+2a,

/，(x)=1X(x>l),

①當。=0時，/'(x)=!>0J(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增.

②當/N1，即。4一1或時，/'(無)<0,

.?./(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

③當一1<a<1且aN0時，由/'(x)=0得》=上.

a

令/'(x)>0得=；

a

令r(x)<o得x>《