2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024-2025高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填

寫在答題卡上；

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效；

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；

4.測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)、選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列；

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)（1,2）且與直線2無+y-3=0平行的直線的方程為（）

A.2x—y=0B.2x—y—4=0

C.2%+y—4=0D.2%+y—5=0

2.（5分）（2023上?新疆伊犁?高二?？计谀├脭?shù)學(xué)歸納法證明/（n）=1+2+3+4+???+（4n-1）時(shí)，

第一步應(yīng)證明（）

A./（I）=1B./（I）=1+2+3

C./⑵=1+2D./（I）=1+2+3+4

3.（5分）（2022下?安徽滁州?高二統(tǒng)考期末）三棱柱-DEF中，G為棱4。的中點(diǎn)，若瓦I^a,~BC=b,

BD=c,則德=（）

—?1—?

A.—a+b—cB.—a+b+c

2

C.—CLH—b+cD.—ci-bH—c

2222

4.（5分）（2022上.寧夏銀川?高二?？计谀┰O(shè)a>b>0,若雙曲線G：《—《=1的離心率為爭(zhēng)則橢

22

圓。2：京+京=1的離心率為（）

A.—B.-C.—D.—

2223

5.（5分）（2023上?新疆伊犁?高二校考期末）已知瓦、石、瓦為空間三個(gè)不共面的向量，向量日=瓦+〃石+4石,

3=3區(qū)+9&+/1瓦，若2與另共線，貝D+”=（）

A.-3B.3C.-15D.15

6.（5分）（2023上?安徽滁州?高二?？计谀┲本€/過圓C:（%+3尸+必=4的圓心，并且與直線x+y+2=0

垂直，則直線I的方程為（）

A.x+y—2=0B.x—y+2=0C.x+y-3=0D.x—y+3=0

7.（5分）（2023上?湖南衡陽?高二校考期末）已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為一點(diǎn)前n項(xiàng)和為無.若S2m=31,

S7n=32,則?n=（）

A.3B.4C.5D.7

8.（5分）（2023上?安徽滁州?高二?？计谀╇p曲線l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為&（2企,0）,點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且△力P6周長(zhǎng)的最小值為8,則a為（）

A.V2B.V3C.2D.1

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023上?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列

B,數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為廝=n（n+1）,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)

C.在數(shù)列1,四,但2,倔…中，第8個(gè)數(shù)是2魚

D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=2n+1

10.（5分）（2023上?甘肅金昌?高二校考期末）下列直線中，與圓產(chǎn)+川=4相切的有（）

A.x+y=2B.V3x+y-4-=0C.x+y=2V2D.x—V3y+8=0

11.（5分）（2023上?重慶?高二統(tǒng)考期末）已知空間向量2=（2,-1,2）,3=（4,3,0）,則下列說法正確的是

（）

A.|a|=3B.2a—b=（0,—5,2）C.albD.cos（a,^）=|

12.（5分）（2023下?云南曲靖?高一曲靖一中?？计谀┮阎獧E圓噂+，=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分

別為&尸2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2垓點(diǎn)P（l,l）在橢圓r外，點(diǎn)Q在橢圓「上，則（）

A.橢圓「的離心率的取值范圍是（亨,1）

B.當(dāng)橢圓「的離心率為'時(shí)，|Qa|的取值范圍是［舊一|,|+舊］

C.存在點(diǎn)Q使NF2QF1=90°

D-點(diǎn)+點(diǎn)的最小值為2

第n卷

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023下?重慶沙坪壩?高一?？计谀┤魞蓷l平行直線3x—4y—4=0與1：3比一4y+C=0

間的距離為2,則。=.

14.（5分）（2023下?江西宜春?高一?？计谀┮阎?J為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為％,若54=4S2,a2n=2an+1,

貝1J廝=?

15.（5分）（2023上?新疆伊犁?高二?？计谀┬甭蕿榛虻闹本€過拋物線C：P=鈕的焦點(diǎn)，且與C交于

A,8兩點(diǎn)，則|AB|=.

16.（5分）（2023上?湖南懷化?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體4BCD-481的。1中，E、F分別為BC,CD

中點(diǎn)，AB=2,則為到平面GE尸的距離是.

17.（10分）（2023上?四川成都?高二統(tǒng)考期末）己知點(diǎn)P（—4,2）,直線1:3*-4y-5=0.

（1）求經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/平行的直線的方程；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線的方程.

18.(12分)(2023上?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末)已知空間三點(diǎn)2(-1,0,2),B(0,1,2),C(—3,0,4),設(shè)荏=a,AC=b.

(1)求2與B的夾角。的余弦值；

(2)若向量kN+3與N—kB互相垂直，求左的值.

19.(12分)(2023上?重慶?高二統(tǒng)考期末)已知｛即｝是等差數(shù)列，｛.｝是公比大于0的等比數(shù)列，的

aa—

前”項(xiàng)和為目,且(23+(15=64，4+^61=54,瓦=1,63=62+2.

(1)求｛5｝和｛6n｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛c1n-bn｝的前n項(xiàng)和

20.(12分)(2023上?吉林長(zhǎng)春?高二?？计谀?已知圓C的半徑為2,圓心在射線y=x(xN0)上，直線

3x+4y+3=。與圓C相切.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線八2x-y+1=0與圓C相交的弦長(zhǎng).

21.(12分)(2023下?北京海淀?高二清華附中?？计谀?四棱錐P-ABCD中,PA1平面4BCD,PA=CD=1,

ABBC=2,PC=3,ABUCD.

p

(1)求證：8C_L平面PAB；

(2)求二面角4-PD-C的余弦值.

22.(12分)(2023下?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓M：/+《=l(a>b>0),點(diǎn)心(—1,0)、C(—2,0)

分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過點(diǎn)F］的直線I(不與x軸重合)交橢圓M于A,8兩點(diǎn).

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若4(0,百)，求AAOB的面積；

(3)是否存在直線I,使得點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線Z的方程；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(基礎(chǔ)篇)

參考答案與試題解析

第I卷

選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(5分)(2023上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末)過點(diǎn)(1,2)且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為()

A.2x—y=0B.2x—y—4=0

C.2%+y—4=0D.2%+y—5=0

【解題思路】設(shè)出所求的直線方程，再利用待定系數(shù)法求解即得.

【解答過程】依題意，設(shè)所求直線方程為2x+y—爪=0(爪*3),

因此2xl+2—m=0,解得m=4,

所以過點(diǎn)(L2)且與直線2久+y-3=0平行的直線的方程為2久+y-4=0.

故選：C.

2.(5分)(2023上?新疆伊犁?高二?？计谀?利用數(shù)學(xué)歸納法證明/(n)=1+2+3+4+???+(4n-1)時(shí),

第一步應(yīng)證明()

A./(I)=1B./(I)=1+2+3

C.f(2)=1+2D.f(l)=1+24-3+4

【解題思路】觀察/何)為4n-1項(xiàng)連續(xù)正整數(shù)之和的規(guī)律，可得/(I).

【解答過程】由題意f(n)=l+2+3+-+4n—l,neN*,

即從1起連續(xù)4n-1項(xiàng)正整數(shù)之和.

則/(I)為從1起連續(xù)3個(gè)正整數(shù)之和，

故第一步應(yīng)證明f(1)=1+2+3.

故選：B.

3.(5分)(2022下?安徽滁州?高二統(tǒng)考期末)三棱柱ABC-DEF中，G為棱AD的中點(diǎn)，若瓦？=a,BC=b,

BD=c,則葡=()

B.-\a+b+c

11-*njr,1

C.—CLH—b+cD.-a-bH—c

2222

【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理，求解即可.

【解答過程［CG=CA+AG=CA+1AD=（fil-SC）+j（RD-=（a-fa）+|（c-a）=|a-fa+|c

故選：D.

4.（5分）（2022上.寧夏銀川.高二校考期末）設(shè)a>b>0,若雙曲線G：捺―卷=1的離心率為多則橢

圓。2：5+5=1的離心率為（）

A.—B.-C.—D.—

2223

【解題思路】由雙曲線的離心率得a,b關(guān)系，再根據(jù)橢圓中a,仇c關(guān)系變形得出橢圓離心率.

【解答過程】由題意囪誓=?,5=?所以橢圓的離心率為e=J1-?==|

故選：B.

5.（5分）（2023上?新疆伊犁?高二校考期末）已知瓦、石、瓦為空間三個(gè)不共面的向量，向量日=瓦+〃石+4司,

3=3瓦+9孩+4瓦，若2與石共線，則2+//=（）

A.-3B.3C.-15D.15

【解題思路】設(shè)江=/^伏64，根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于人入〃的方程組，解出這三個(gè)

量的值，即可得解.

【解答過程】因?yàn)榭?、夙、石為空間三個(gè)不共面的向量，向量R=瓦+〃孩+4百，3=3瓦+9瓦+左；，

若2與石共線，設(shè)江=k}k€R）,即可+〃石+4瓦=k（3瓦+9石+4苑），

（1=3kfc=|

可得〃=9k,解得A=12,故兀+"=15.

4=林。=3

故選：D.

6.（5分）（2023上?安徽滁州?高二?？计谀┲本€/過圓C:（%+3尸+必=4的圓心，并且與直線x+y+2=0

垂直，則直線I的方程為（）

A.x+y—2=0B.x—y+2=0C.x+y-3=0D.x—y+3=0

【解題思路】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.

【解答過程】由（x+3）2+y2=4可知圓心為（—3,0）,

又因?yàn)橹本€Z與直線x+y+2=0垂直，

所以直線I的斜率為k=1,

由點(diǎn)斜式得直線Z：y—0—x+3,

化簡(jiǎn)得直線/的方程是x-y+3=0.

故選：D.

7.（5分）（2023上?湖南衡陽?高二?？计谀┘褐缺葦?shù)列｛冊(cè)｝的公比為—點(diǎn)前n項(xiàng)和為分.若S2m=31,

Sm=32,則m=（）

A.3B.4C.5D.7

【解題思路】由等比數(shù)列前幾項(xiàng)和列出S27n與"，兩式相比即可解出答案；或根據(jù)等比數(shù)列前幾項(xiàng)和的性質(zhì)

01

得Sm，S2m-Sm,S3m-S2m成等比數(shù)列，且公比為q,即可列式要叢=代入值即可解出答案.

【解答過程】法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列5｝的公比為后,

aKl-qZm)

則S2m=31,Sm=。式1-嚴(yán))=32,

1-q1-q

所以皆=^^=署=1+0*1+（-鄉(xiāng)—||，解得吁5.

1-q

法二：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得Sm，S2m-Sm,S37n—S2m成等比數(shù)列，且公比為qm,

所以包衿inqm,即衛(wèi)解得巾=5..

32\2/

故選：C.

22

8.（5分）（2023上.安徽滁州.高二?？计谀╇p曲線靠一會(huì)=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸1（2魚,0）,點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且AAPFi周長(zhǎng)的最小值為8,則a為（）

A.V2B.V3C.2D.1

【解題思路】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義把△APR的周長(zhǎng)用△力PF的周長(zhǎng)來表示，可求△4P0的最小值,

從而求a即可.

【解答過程】如下圖所示:

設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,由雙曲線的定義可得|P0|=\PF\+2a,

22

\AF\=\AFr\=J（2V2）+l=3,X\AP\+\PF\>\AF\^3,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

所以，AAPB的周長(zhǎng)為，

\AP\+\AFr\+|PFi|=\AFr\+\AP\+\PF\+2a>\AF\+3+2a=6+2a

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，△/1「出的周長(zhǎng)取得最小值，即6+2a=8,解得a=1.

故選：D.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023上?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列

B,數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為廝=+1）,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)

C.在數(shù)列1,四,丹2,倔…中，第8個(gè)數(shù)是2/

n

D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2+1

【解題思路】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項(xiàng)A正誤;利用數(shù)列的通項(xiàng)公式等于110,計(jì)算出結(jié)果，即可得選項(xiàng)B的正

誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，即可得選項(xiàng)C、D的正誤.

【解答過程】解:因?yàn)閿?shù)列-2023,0,4的首項(xiàng)是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項(xiàng)是4,

所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)即=n（n+1）=110時(shí)，解得:幾=10或n=-11（舍），

即110是該數(shù)列的第10項(xiàng),故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閿?shù)列],近,舊,2,低…可寫為:],魚,百,〃,倔…，

所以第8個(gè)數(shù)是刷=2vx故選項(xiàng)C正確；

123

因?yàn)閍】=2+1=3,a2=2+1=5,a3=2+1=9,

a4=24+1=17,。5=25+1=33,所以an=2"+1可以看做數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

10.（5分）（2023上?甘肅金昌?高二?？计谀┫铝兄本€中，與圓/+y2=4相切的有（）

A.x+y—2B.V3x+y-4=0C.x+y—2V2D.x—V3y+8=0

【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【解答過程】圓/+必=4的圓心為（0,0）,半徑r=2.

對(duì)于選項(xiàng)A,圓心到直線的距離（/=懸=&<2.所以直線與圓相交；

對(duì)于選項(xiàng)B,圓心到直線的距離&=提=2,所以直線與圓相切；

對(duì)于選項(xiàng)C,圓心到直線的距離&=穹=2,所以直線與圓相切；

V1+1

對(duì)于選項(xiàng)D,圓心到直線的距離4=墨=4>2,所以直線與圓相離.

故選：BC.

11.（5分）（2023上?重慶?高二統(tǒng)考期末）已知空間向量日=（2,-1,2）,另=（4,3,0）,則下列說法正確的是

（）

A.同=3B.2a—b=(0,—5,2)C.albD.cos(a,b)=~

［解題思路】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)镹=(2,—1,2),b=(4,3,0),

所以㈤=02+12+(_2)2=3,故A正確；

2a-b=2(2,-1,2)-(4,3,0)=(0,-5,4)，故B錯(cuò)誤;

a-b=2x4+(-l)x3+2x0=5,所以2與3不垂直，故C錯(cuò)誤；

又I=742+32=5,所以COS值3)=吾g=2=；,故D正確；

故選：AD.

22

12.（5分）（2023下?云南曲靖.高一曲靖一中校考期末）已知橢圓「邑+卷=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分

az

別為6月,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2百,點(diǎn)P（l,l）在橢圓「外，點(diǎn)Q在橢圓I\h,則（）

A.橢圓「的離心率的取值范圍是

B.當(dāng)橢圓「的離心率為當(dāng)時(shí)，IQFJ的取值范圍是［百―|,|+乃］

C.存在點(diǎn)Q使NF2Qa=90。

D.念+會(huì)的最小值為2

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)p（i,i）在橢圓r外，求出b的取值范圍,即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A；根據(jù)離心率

求出c,則IQF1I￡3一6（1+日,即可判斷8;設(shè)上頂點(diǎn)4,得麗?麗<0,即可判斷C;根據(jù)IQF1I+IQF2I=4,利

用基本不等即可判斷D.

【解答過程】由題意得a=但又點(diǎn)在橢圓「外，則抖/>1,解得0<b2<l，

所以橢圓「的離心率e=5=J呼>乎,即橢圓C的離心率的取值范圍是（乎,1）,故A正確；

當(dāng)e=凈寸,c=|,所以IQFJ的取值范圍是[a-c,a+c],即卜"一|,|+碼，故B正確；

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為4（0,》）,&（-。,0）,尸29,0）,由于麗,彳用=b2-c2=2b2-a2=2b2-3<0,所以存在點(diǎn)

Q使得禧?Q瓦=0,故C正確；

因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓I1上，所以IQ&I+IQ&I=2V3,

則意+自=°Q&i+iQF2i）（含+自）?泰

_V3,（+IQF1Q1V3/IQF2I|Q%|1_2V3

\QF2\>

一三十\\QF^\十欣V?亞萬一W十｛欣i?,母一~9

當(dāng)且僅當(dāng)IQFJNQBI=舊時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值為當(dāng)，故D不正確，

IQ&I\Qp2\3

故選:ABC.

第n卷

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023下?重慶沙坪壩?高一?？计谀┤魞蓷l平行直線匕：3x—4y—4=0與％：3x-4y+C=0

間的距離為2,則2=6或—14.

【解題思路】根據(jù)兩平行線見距離公式運(yùn)算求解.

【解答過程】由題意可得：-7===中=2,解得C=6或C=-14.

故答案為：6或-14.

14.（5分）（2023下?江西宜春?高一?？计谀┮阎麖P｝為等差數(shù)列，前幾項(xiàng)和為$，若54=4s2,a2n=2an+1,

貝”即-2n—1

【解題思路】利用等差數(shù)列基本量，列方程組，即可求解.

【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為由,公差為d,由已知得

（4al+等d=4x（2a[+d）得]d-2al解得.fa】=1

，

+（2n-l）d=2的+2（n-l）d+1'^ld=a1+l寸.Id=2'

所以tin=a1+(n—l)d=2n—1.

故答案為：2n—l.

15.(5分)(2023上?新疆伊犁?高二?？计谀?斜率為近的直線過拋物線C:*=4%的焦點(diǎn)，且與C交于

A,8兩點(diǎn)，則I4BI=6.

【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解即可.

【解答過程】由題意拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)(1,0),故斜率為魚的直線過拋物線C：V=鈕的焦點(diǎn)的直線方

程為y=V2(x-1).

聯(lián)立y2=4x有2(%—1)2=4K，化簡(jiǎn)得/—4x+1=0,設(shè)2(久i，yi),B(%2，y2)，

則％1+刀2=4,又拋物線C:y2=4x中p=2,故=X1+犯+P=6.

故答案為：6.

16.(5分)(2023上?湖南懷化?高二統(tǒng)考期末)如圖，已知正方體4BCD-4/164中，E、F分別為BC,CD

【解題思路】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量求法即得.

【解答過程】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則/(2,2,2),6(022),3(1,2,0),尸(0,1,0),

所以石瓦=(2,0,0),殺=(1,0,-2),EF=(-1,-1,0),

設(shè)平面QEF的法向量為市=(x,y,z),

m'C^E=x—2z=0人-曰［一八cy、

――>，令z=L則m=(2,-2,1),

{m-EF=—x—y=0

所以當(dāng)?shù)狡矫鎐后的距離是鉀=訴—=￡

故答案為：

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2023上?四川成都?高二統(tǒng)考期末)己知點(diǎn)P(—4,2),直線1:3%-4y-5=0.

(1)求經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/平行的直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線的方程.

【解題思路】(1)設(shè)出所求平行直線的方程，利用P點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.

(2)利用點(diǎn)斜式求得所求直線的方程.

【解答過程】(1)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/平行的直線的方程為3x-4y+C=0,

將P(-4,2)代入得-12—8+C=0,C=20,

所以所求直線方程為3x—4y+20=0

(2)直線Z:3%-4y-5=0的斜率為三，

4

與直線I垂直的直線的斜率為-%

所以經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線的方程為y—2=+4),

即4x+3y+10=0.

18.(12分)(2023上?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末)已知空間三點(diǎn)4(—1,0,2),8(0,1,2),C(—3,0,4),設(shè)荏=a,AC=b.

(1)求2與3的夾角。的余弦值；

(2)若向量+3與丘一/cB互相垂直，求上的值.

【解題思路】(1)先求出向量2丸再利用空間向量的夾角公式求解即可；

(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出k的值.

【解答過程】(1)因?yàn)?=荏=礪-或=(1,1,0),b=AC=(-2,0,2),

所以空間向量的夾角公式,可得cos?=品=lx(-2)+lx0+0x21

Vl+lxV4+42f

所以I與B的夾角e的余弦值為-g.

(2)由(1)可知五=(1,1,0),b=(-2,0,2).

因?yàn)橄蛄坑?E與左-以互相垂直，所以(碗+b)-(a-kb)=0,

2

所以k|a|2—/c|b|+(1—Ze?)。,b=Of所以2/c—8fc—2(1—fc2)=0,

所以k2一3々一1=0,解得々=3±V13

2

19.（12分）（2023上?重慶?高二統(tǒng)考期末）已知｛a"是等差數(shù)列，｛狐｝是公比大于。的等比數(shù)列，的

前〃項(xiàng)和為5n,且+a5=b4,a4+2a6—1=54,瓦=1,b3=b2+2.

⑴求｛a"和｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛c1n-bn｝的前n項(xiàng)和

【解題思路】（1）由｛%｝是公比大于0的等比數(shù)列及外=1,63=62+2求出公比，由等差數(shù)列下標(biāo)和定

理結(jié)合。3+。5=/求出a*根據(jù)等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式及a4+2a6-1=S4,求出公差即可得出通項(xiàng)公式;

（2）利用分組求和，結(jié)合等差等比前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【解答過程】（1）設(shè)的公差為d,｛%｝的公比為q>0.

2

b3=b2+2,&=1,.'.q=q+2,解得q=2或q=-1,

q>0,.,.q=2,

rln

：.bn=1-2t=2t,

?（23+Qg—2a4—/?4=8,??=4,

174

,**CI4+2。6—1=4+2（4+2d）—1=S4=-----=15

1—2

??d—1>??ctfi=+（幾—4）d=n,

n-1

故冊(cè)=7i,bn=2.

（2）由（1）得，7^=l-20+2-21+3-22+???+n-2n-1

=1+2+3+…+n-20-21-22-------2n-1

n（n+1）1-（1—2n）n2+n

一一2』

2"+1.

20.（12分）（2023上?吉林長(zhǎng)春?高二?？计谀┮阎獔AC的半徑為2,圓心在射線y=久。20）上，直線

3x+4y+3=0與圓C相切.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線I：2x—y+1=0與圓C相交的弦長(zhǎng).

【解題思路】（1）根據(jù)直線與圓相切，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心坐標(biāo)，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.

【解答過程】（1）由題意可設(shè)：圓心為C（a,a）,a20,

由圓C與3x+4y+3=0相切，有"=2,即可得a=1或a=—￡（舍去），

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（久-l）2+（y-I）2=4.

(2)由(1)可知：C(1,1),r=2,

則C到直線I:2x-y+l=0的距離為d=套=字

所以直線/與圓C相交的弦長(zhǎng)為2V7=涯=2x%二=竽.

755

21.(12分)(2023下?北京海淀?高二清華附中校考期末)四棱錐P-4BCD中,PA1平面4BCD,P4=CD=1,

AB=BC=2,PC=3,ABHCD.

(1)求證：8。_1_平面243；

(2)求二面角力-PD-C的余弦值.

【解題思路】(1)由線面垂直的性質(zhì)得到P41BC、PALAC,從而得到4B18C,即可得證;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【解答過程】(1)連接力C,因?yàn)镻41平面4BCD,BC,ACu平面ABCD,

所以P41BC、PALAC,

又P4=1,AB=BC=2,PC=3,

所以4C=爽2一了=2企,所以AB2+Bf2=4。2,所以4B1BC,

PACtAB^A,PA,ABc.^-\^PAB,

所以BC，平面PAB.

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4(2,0,0),