2024-2025學(xué)年滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：幾何證明 知識(shí)歸納與題型突破（21類(lèi)題型清單）原卷版

幾何證明知識(shí)歸納與題型突破（21類(lèi)題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

03題型歸納

題型一命題

i.下列命題中，是真命題的是（）

A.對(duì)頂角相等B.內(nèi)錯(cuò)角相等

C.若%2=/,貝°加D.若a>b,則一5a>-56

2.下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若。>1,則/>1”的逆命題是假命題的反例是（）

A.a=—2B.a=—1C.a=1D.Q=2

3.下列命題是真命題的有（）

A.若則4=方

B.若a,b是有理數(shù)，貝山+可=同+可

C.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

D.如果乙4=Z8,那么//與是對(duì)頂角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，銳角三角形/3C中，NABC=NACB,點(diǎn)、D,E分別在邊/3,ACh,連接BE,CD.下列命

題中，假命題是（）

A.若ZACD=NABE,則CD=BEB.若BD=CE,則=

C.若CD=BE,則=D.若AD=AE,貝I|/C3￡=ZDCB

2.下列四個(gè)命題其中正確的有（填序號(hào)）.

①全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

?AB=DE,BC=EF,ZC=ZF=120°,則△NBC也△￡）￡/；

③ZA=ZD,ZC=ZF,BC=DE,則△4BC和血尸全等;

④如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等.

3.寫(xiě)出下列命題的條件和結(jié)論.

(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；

(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；

(3)等角的補(bǔ)角相等.

題型二證明

4.A,B,C,D,E五名學(xué)生猜測(cè)自己能否進(jìn)入市中國(guó)象棋前三強(qiáng).A說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么5也進(jìn)

入.”3說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么C也進(jìn)入."C說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么。也進(jìn)入.說(shuō)：“如果我進(jìn)入，

那么E也進(jìn)入，”大家都沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)，則進(jìn)入前三強(qiáng)的三個(gè)人是()

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

5.如圖，在AABC中，ZABC=45°,AC=5,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)()

A.7B.6C.5D.4

6.如圖，直線。、6與直線。相交，給出下列條件:

①Nl=/3；②/3=N5；?Z4+Z7=180°；@Z5+Z3=180°.能判斷a||b的是（）.

A.①②④B.①③④C.①②③④D.①③

鞏固訓(xùn)練

1.利用反證法證明命題“在A4BC中，若4S=4C,則/8<90?！睍r(shí)，應(yīng)假設(shè)()

A.若AB=/C,則/3>90。B.若/8W/C,則/8<90°

C.若AB=AC,則NB》90。D.若4BW/C,則N5》90。

2.如圖所示，如果BD平分/ABC,補(bǔ)上一個(gè)條件作為已知，就能推出AB〃CD.

3.如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：BD//EC-/D=NC；ZA=ZF.

（1）請(qǐng)以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個(gè)命題?

（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)你選擇一個(gè)真命題加以證明.

題型三逆命題和逆定理

7.下列各命題的逆命題成立的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等

C.兩直線平行，同位角相等

D.如果兩個(gè)角都是45。，那么這兩個(gè)角相等

8.數(shù)學(xué)中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題.例如：如果。=2,那么

a2=4.下列命題中，具有以上特征的命題是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.如果同=1,那么。=1

C.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D.如果兒那么血心切

9.已知下列命題：①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④三條

邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.己知下列命題：①若aWO,則同=-。；②若〃以2>〃/,則優(yōu)>〃；③三角形的中線把三角形分成面積相

等的兩部分；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列命題中，其逆命題成立的是（填序號(hào)）

①同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②如果三角形的三邊長(zhǎng)。，b,c（c為最長(zhǎng)邊）且滿(mǎn)足/+〃=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；

④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；

3.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.

（1）若>兒2,則a>b.

（2）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.

（3）若=0,貝!|a=0.

題型四線段垂直平分線的性質(zhì)

10.如圖，四邊形/BCD中，/C垂直平分8Z）,垂足為E,下列結(jié)論不正確的是（）

A.△BEC"ADECB.BC=CD

C.AB=DCD.4c平分/BAD

11.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,45邊的垂直平分線DE交8。于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)￡,連接皿，AD

將NC48分成兩個(gè)角，且/C4D:/84D=2:5,則的度數(shù)是（）

C.80°D.85°

12.如圖，MBC邊AB,/C的垂直平分線DM,EN相交于點(diǎn)O,M,N在5c邊上，若/MAN=20°,

C.140°D.160°

鞏固訓(xùn)練

I.A.B,C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一個(gè)

木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘?)

A.三邊中線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

2.如圖，在A/8C中，AB=12,AC=16,8c=22,的垂直平分線分別交4B,BC于點(diǎn)、D、E,AC

的垂直平分線分別交ZC,BC于點(diǎn)、F、G,貝b/EG的周長(zhǎng)為.

3.如圖，在A/BC中，/是ZC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)、D,AB=AD,ABAD=20°.

(1)求的度數(shù);

（2）求/C的度數(shù).

題型五線段垂直平分線的判定

13.如圖，在△4BC中，已知點(diǎn)。在上，且BD+4D=BC,下列說(shuō)法正確的是（）

B.3平分/8/C

C.點(diǎn)。在/C的垂直平分線上D.點(diǎn)。在的垂直平分線上

14.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形N8CD是一個(gè)箏形，其中/D=CD,AB=CB,

小明在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，連結(jié)了NC,BD,并設(shè)交點(diǎn)為O,得到了如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

A.AC1BDB.AO=CO=-AC

2

C.LABD名ACBDD.AO+DO^BO

15.如圖，點(diǎn)尸在直線/外，請(qǐng)閱讀以下作圖步驟：①以點(diǎn)尸為圓心，以大于點(diǎn)尸到直線/的距離的長(zhǎng)為半

徑作弧，交/于點(diǎn)A和點(diǎn)5；②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于g/2的同一長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于

點(diǎn)。，如圖所示；③作射線尸。，連接尸/,PB,AQ,20,根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.Zl=Z2S.PB\\AQB./1=/3且尸川|時(shí)

C./2=/3且尸01/3D.N1=N2且尸。

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿/c折疊后點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處，則下列關(guān)于線段班與/C的關(guān)系描述正確的是

B./C和8E相互垂直平分

C.2。12￡且/。=8后D.NC18E且/C平分8E

2.風(fēng)箏又稱(chēng)“紙鶯”、“風(fēng)鶯”、“紙鸛”等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有2000多年的歷史，如圖是一

款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知4B=4D,BC=CD,AC=90cm,BD=60cm,制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料至

少為_(kāi)____

3.如圖，在a/BC中，邊4B,2C的垂直平分線分別交8C于點(diǎn)。，E.

⑴若3C=15,DE=4,貝!J/D+/E=_；

⑵若NR4c=100。，求—D4E的度數(shù);

(3)設(shè)直線的/,EN交于點(diǎn)O,判斷點(diǎn)。是否在5c的垂直平分線上.

題型六作垂線

16.如圖，在△4BC中，AC=3,BC=5,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則△4DC的周長(zhǎng)是()

A

A.13B.11C1.8D,6.5

17.如圖，在△45C中，分別以4,8為圓心,大于線段48長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)。，E,

連結(jié)DE,交8C于點(diǎn)尸.若/C=3,尸的周長(zhǎng)為10,則3c的長(zhǎng)為()

B\C

A.6B.7C.8D.9

18.如圖，在△/8C中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于g/5長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直

線MN,交3C于點(diǎn)。，連接4D.若/C=7,BC=12,則△4DC的周長(zhǎng)為()

cf

\M

A.12B.14C.19D.26

鞏固訓(xùn)練

①分別以2,C為圓心，以大于;8c的長(zhǎng)為半徑作弧，兩

1.如圖，在已知的△4BC中，按以下步驟作圖:

弧相交于兩點(diǎn)M,N；②作直線MV交48于點(diǎn)。，連接CD.若/C=3,AB=9,則A/CD的周長(zhǎng)為()

A.12B.11C.10D.9

2.如圖，在△/8C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)3和C為圓心，以大于;8c的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

相交于點(diǎn)M和N；②作直線MV,分別交邊48,3c于點(diǎn)。和￡,連接CD.若ZBC/=90°,AB=S,則CD

的長(zhǎng)為

3.已知：線段左，N0,利用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

(1)求作：線段后的垂直平分線.

(2)求作：AABC,使4B=BC=k,NB=Na.

題型七角平分線的判定與性質(zhì)

19.如圖，在△4BC中，4B=8,AC=6,。為△4BC角平分線的交點(diǎn)，若“3。的面積為20,則

的面積為是()

A.14B.15C.16D.18

20.如圖，在△ABC中，ZABC=50°fN/C5=60。，點(diǎn)E在3。的延長(zhǎng)線上，/力5。的平分線與/ZCE

的平分線相交于點(diǎn)。，連接則NC4。度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

21.如圖，在RtZX/BC中，ABAC=90°,AB=1,M為邊3C上的點(diǎn)，連接/如果將沿直線R0

翻折后，點(diǎn)5恰好落在邊4。的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)〃到4C的距離是（）

7￡

A.-B.D.

352

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在RtZUBC中,ZC=90°,4D平分NR4C,交BC于點(diǎn)、D.已知45=16,CD=5,則△45。

的面積為（）

A.50B.40C.30D.20

2.如圖，是△/5C的角平分線，DE1AB,DE=2,AB=8,△45。的面積為14,則8。=

A

3.如圖，在RtZ\48C中，zB=90°.

（1）尺規(guī)作圖：作//的角平分線NP,交2。于點(diǎn)。.（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并標(biāo)明字母）

⑵若”=3,BC=4,AC=5,求3。的長(zhǎng)及ANCD的面積.

題型八作角平分線

22.如圖，在A/BC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在/C,48上分別截取4E,AD,使NE=4D,分別以

￡為圓心、以大于;。E的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在28/C內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線相交8c于點(diǎn)G.若CG=4,

AB=8,則△48G的面積為（）

A.12B.16C.24D.32

23.如圖，RtZXZBC中，NC=90。，利用尺規(guī)在3GA4上分別截取成，BD,使BE=BD,分別以DE

為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線即交/C于點(diǎn)G.在上找一

點(diǎn)P,使得/P=/G,若44PG=65。，則443G的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.18°D.15°

24.如圖，在RtZX/BC中，NC=90。，以頂點(diǎn)5為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交45、于點(diǎn)M、

N、再分別以點(diǎn)初、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧.兩弧交于點(diǎn)尸，作射線8P交邊NC于點(diǎn)D.若

CD=^3,AB=\2,則的面積為（）

A.673B.1273C.186D.2473

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在ZUBC中，ZC=90°,ZCAB=50°,按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)/為圓心，小于/C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交48、/C于點(diǎn)￡、F；

②分別以點(diǎn)反尸為圓心，大于跖長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；

③作射線NG,交8C邊于點(diǎn)。.則14DC的度數(shù)為（）

A.40°B.55°C.65°D.75°

2.如圖，在△48C中，ZC=90°,48=40。，以點(diǎn)/為圓心，小于ZC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交研、AC

于點(diǎn)、M、N,再分別以點(diǎn)〃、N為圓心，大于:"N的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接心并延長(zhǎng)，交BC

于點(diǎn)。，則/4DC=°.

A

（M

CD—b——

3.如圖，電信部門(mén)要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)/、2的距離必須相等,

到兩條高速公路加和〃的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.（尺規(guī)作圖）

題型九直角三角形全等的判定與綜合

25.如圖，在△NBC中，ZC=90°,DE工AB于點(diǎn)E,CD=DE,ZCBD=20°,則//的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.20°

26.如圖，4D是ZUBC的角平分線，DFL4B于點(diǎn)、F,點(diǎn)、E,G分別在48,AC±,S.DE=DG,若

S△的=24,S△/即=18,則SE/的面積為（）

27.如圖，在中，//5C=90。，M平分ZA4C交于點(diǎn)若△/DC的面積為10,AAED

的面積為6,貝!UOAE■的面積為（）

B

AC

A.2B.2.5C.3D.4

鞏固訓(xùn)練

1.中，ZC=65°,2。是8c邊上的高，4D=BD,點(diǎn)、E在AC上,BE交AD于點(diǎn)F,BF=AC,則

ZAFB=()

2.如圖，點(diǎn)。在BC上，ZBED=ZCDF=90°,BD=CF,BE=CD.若Z4=40°.則/瓦加=

3.如圖，在A/BC中4B=/C,尸是8C上的一點(diǎn)，BDLAF,CE1./尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,AD=CE.

E

⑴求證：AABD會(huì)4AEC.

(2)判斷即、DE、CE這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題型十含30度角的直角三角形

28.如圖，在△ABC中，AB=AC,/C=30。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE垂直交8C于點(diǎn)E,

DE=2,則CE的長(zhǎng)度為()

A

n

BE\C

A.7B.9C.8D.10

29.如圖，在RtZkZBC中，ZABC=90°f4。平分NR4C,交ZC邊上的高BE于點(diǎn)尸.已知/C=30。，BC=12,

30.△48C中，AB=AC=12cm,尸在線段5C上，PE_L4B于E,PQL/C于。，若它一腰上的高與另一

腰所成的銳角等于60。，則尸E+PD的值為（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，408=30。，點(diǎn)。是—403平分線OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE〃◎交CM于點(diǎn)E,作。尸，。8,

垂足為點(diǎn)尸，。尸=3.5,貝UDE的長(zhǎng)為（）

2.如圖，在A/BC中，ZACB=90°,ZA=30°,CE=2,邊N3的垂直平分線交招于點(diǎn)。，交4c于點(diǎn)E,

那么/E的長(zhǎng)為—.

B

>70

C'EA

3.如圖，在△4BC中，ZC=90°,//=30。，AB=60cm,動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從A、8兩點(diǎn)出發(fā)，分別在

AB、2。邊上勻速移動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，P、Q

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：s.

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，APBQ為等邊三角形?

（2）當(dāng):為何值時(shí)，為直角三角形?

題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半

31.如圖，在△4BC中，D、￡分別是48、2C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在DE上，且//F3=90。，若42=8,

EF=3,則3c的長(zhǎng)為（）

A

BC

A.11B.12C.12.5D.14

32.如圖，在RtZ\48C中，8c的中垂線與3c交于點(diǎn)。，與/C交于點(diǎn)E,連接5E,尸為8E的中點(diǎn)，若

DF=2,則/￡的長(zhǎng)為（）

33.如圖，在中，ZACB=90°,CD工4B于點(diǎn)、D,NBCD=18°,E是斜邊相的中點(diǎn)，則/OCE

的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.54°

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，AMON=90°,矩形480的頂點(diǎn)48分別在邊。攸,ON上，當(dāng)8在邊CW上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/隨之

在。M上運(yùn)動(dòng)，矩形28。的形狀保持不變，其中/B=2,8C=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)。到點(diǎn)O的最大距離為

()

A.VsB.272C.75+1D.72+1

2.如圖，在△ABC中，//BC=90。，點(diǎn)。是2c邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是M的中點(diǎn)，連結(jié)BE.若點(diǎn)。在邊/C

的垂直平分線上，且DC=6,則8E的長(zhǎng)為.

3.如圖，在A/BC中，CV_L48于點(diǎn)RB￡_L/C于點(diǎn)￡,M為8c的中點(diǎn).

(1)求證：AM跖是等腰三角形；

(2)若NEBC=30。，BC=10cm,求CE的長(zhǎng)度.

題型十二勾股定理的證明方法

34.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

35.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中不能證

36.在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對(duì)于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的

B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

鞏固訓(xùn)練

1.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下列四幅圖中，不能驗(yàn)證勾股定理的是（）

2.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則4個(gè)直角三角形面積+小正方形

面積=大正方形面積，即+=,化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2.

3.我們知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對(duì)的

邊叫斜邊（如圖①所示）.數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平

方.即如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是。和b,斜邊長(zhǎng)度是。，那么/+62=C2.

⑴直接填空：如圖①，右。=3,6=4,則。=；右a+6=4,c=3.則直角三角形的面積是

（2）觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊NE、助在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系,

試說(shuō)明/+"=c2.

題型十三以弦圖為背景的計(jì)算題

37.如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積

是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a,較短直角邊為6,則(a+b)2的值為()

38.如圖，用4個(gè)全等直角三角形與1個(gè)正方形拼成正方形圖案.已知大正方形面積為100.小正方形面積

為9.若用表示直角三角形的兩條直角邊(x>y).下列說(shuō)法正確的有()

22

?x+y=100；(2)x-y=3；(3)x+y=s/191；@xy=—

A.①②B.②③C.①②③D.①②③④

39.“趙爽弦圖”巧妙地利用了面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是

由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為a,

較短的直角邊長(zhǎng)為6,若“6=6,大正方形的面積為13,則小正方形的邊長(zhǎng)為.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形中間陰影部分是一個(gè)小正方形斯G//,這樣就

組成一個(gè)“趙爽弦圖”.若A8=10,EF=2,貝的面積為()

A.20C.36D.48

2.如圖是在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的一

個(gè)大正方形，若大正方形的邊長(zhǎng)是13cm,每個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長(zhǎng)是5cm,則小正方形的邊

長(zhǎng)為—,

3.對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的.用兩種不同的方法

計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是二

(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形(a、6為直角邊)和一個(gè)

正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究。、6、c之間滿(mǎn)足怎樣的等量關(guān)系.

題型十四勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題

40.如圖，在4x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4B,C都在格點(diǎn)上，若3D是的高,

則班的長(zhǎng)為().

a

A.2B.拒C.3D.-V3

41.如圖，在3x2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)B,C,。都在格點(diǎn)上，以/為圓

心，4B的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)￡,貝UCE的長(zhǎng)為（）.

42.如圖，在4*4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4,B,C都在格點(diǎn)上，下面結(jié)論：①

AB=245;②NR4C=90。；③△ABC的面積為10；④點(diǎn)N到直線8C的距離是2.正確的結(jié)論共有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示邊長(zhǎng)為1的的正方形網(wǎng)格中，△/臺(tái)。的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三

角形，則點(diǎn)/到8c的距離等于（）

A

A.V2B.2V2C.D.叵

55

2.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4,B,C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①

AB=245;②48c=90。；③△ABC的面積為10；④點(diǎn)N到直線8c的距離是2,其中正確的

3.（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，要求所畫(huà)正方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；

（2）如圖2,面積為7的正方形N2CD的頂點(diǎn)/在數(shù)軸上，且點(diǎn)/表示的數(shù)為-1,若點(diǎn)￡在數(shù)軸上，（點(diǎn)

E在點(diǎn)/的右側(cè)）且=則點(diǎn)E所表示的數(shù)為_(kāi)；

（3）以圖1中1個(gè)方格的邊長(zhǎng)為單位1,畫(huà)出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示2+J討和2-

題型十五用勾股定理解三角形

43.如圖，NB=ND=90。,AC=EC,4B=4,￡0=2,點(diǎn)C在線段助上，若//CE=90。，則的

面積是（）

A

BCD

A.8B.25C.10D.20

44.如圖，中，zB=90°,E為48邊上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)/作AD1CE,垂足為

D,若4。=7,AB=20,BC=\5.記△/1）￡的面積為H,ABCE的面積為S?,則S?-S［的值為（）.

A

%

51-----------------

A.56B.66C.74D.84

45.如圖，在△45C中，/ABC=9。。，AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上4，，4,且4,4之

間的距離為1,4,4之間的距離為2,則NC的值為（）

;

h

A.V26B.2A/13c.V13D.V10

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，直線/上有三個(gè)正方形Q,b,C,若Q,6的面積分別為5和11,則。的面積為（）

A.6B.16C.4D.55

2.如圖，在Rt“3C中，NABC=90°,AB=BC=2^2,將A48c繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到

“DE,連接CE,則CE的長(zhǎng)是.

3.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊4C=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊4C沿直線4D折疊，使點(diǎn)

C落在斜邊A5上的點(diǎn)E處，試求CD的長(zhǎng).

(1)求8E的長(zhǎng);

⑵求CD的長(zhǎng).

題型十六勾股定理與折疊問(wèn)題

46.如圖，三角形紙片MC中，ABAC=90°,AB=2,AC=3,沿M和跖將紙片折疊，使點(diǎn)3和點(diǎn)C

都落在邊8C上的點(diǎn)尸處，則EC的長(zhǎng)是()

A.D

6-t

47.如圖，Rt/XNBC中，/Z=90。，AC=12,AB=9,DE1AC,CD=：BC,CE=^AC,尸是直線

上一點(diǎn)，把尸沿DP所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)〃處，CP=().

48.如圖，ZACB=90°,AC=6,BC=8,將邊NC沿CE翻折，使點(diǎn)N落在48上的點(diǎn)。處；再將邊8。沿

CF翻折，使點(diǎn)8落在CO的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)9處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)￡、F,則線段8戶(hù)的長(zhǎng)為

()

A

汴、

；、、E

68「4D.叵

A.—B.—C.一

5532

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，長(zhǎng)方形紙片48c。中，48=6,4D=18,將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，點(diǎn)C落在

點(diǎn)〃的位置，折痕為E尸，則8E的長(zhǎng)度為()

AE___________D

H

A.6B.10C.24D.48

2.如圖，在直角△4BC中，直角邊NC=6,3c=8,現(xiàn)要在上找一點(diǎn)。，使得將ANCD沿/。翻折后,

點(diǎn)C落在斜邊上，則8=

3.如圖，BC=20cm,寬48=16cm的長(zhǎng)方形紙片4BCD；將紙片沿著直線/E折疊，點(diǎn)。恰好落在3c邊

上的點(diǎn)尸處，解答下列問(wèn)題：

⑴求屈的長(zhǎng);

（2）求EC的長(zhǎng).

題型十七勾股定理的應(yīng)用1

49.如圖，一架25分米長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距墻底部7分米，如果梯子的頂

端沿墻下滑4分米，那么梯子的底端將向外平滑（）

C.5分米D.8分米

50.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹

子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，根據(jù)題意，可列方程為（）

222

222B.(10-x)+6=x

A.X+6=10

C.x2+(10-x)2=62D.x2+62=(10-x)2

51.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器A,離地距離42=2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)

門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高L5米的學(xué)生CD剛走到離門(mén)間距CB=1.2米的地方時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)，則該感

應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度必為（）

感應(yīng)器/

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

鞏固訓(xùn)練

1.一架長(zhǎng)10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那

么梯足將滑（）

A.0.5米B.0.75米C.1米D.2米

2.如圖在一棵樹(shù)的10m高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘/處，另一只爬

到樹(shù)頂C處后直接躍向池塘N處.如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)高_(dá)m.

3.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高/C是10米，另一棵樹(shù)高AD是4米，兩樹(shù)相距8米（即CD=8米），一只

小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B點(diǎn)處，則小鳥(niǎo)至少要飛行多少米？

A

題型十八勾股定理的應(yīng)用2

52.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高

一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，在△/8C中，

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求NC的長(zhǎng)，如果設(shè)/C=x,則可列方程為()

C;h--匕--------

A.x2+(10-x)2=32B.x2+32=(10-x)2

C.X2+32=102D.(10-X)2+32=X2

53.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm,則這支鉛筆在筆筒內(nèi)

部的長(zhǎng)度/的取值范圍是()

A.12cm<I<15cmB.9cm<l<12cm

C.10cm<I<15cmD.10cm<l<12cm

54.如圖，鐵路和公路尸。在點(diǎn)O處交匯，ZQON=30°.公路尸。上A處距。點(diǎn)240米，如果火車(chē)行駛

時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響.那么火車(chē)在鐵路上沿ON方向以20米/秒的速度行駛時(shí)，A處

受噪音影響的時(shí)間為()

N

p

MAQ

A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒

鞏固訓(xùn)練

1.《九章算術(shù)》有個(gè)問(wèn)題“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問(wèn)折高者幾何？意思是：一根

竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷

處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為()

A.X2-4=(10-X)2B.x2-42=(10-x)2

C.X2+4=(10-X)2D.X2+42=(10-X)2

2.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別是8cm、6cm、V21cm＞則該長(zhǎng)方體盒子內(nèi)可放入的木棒

(木棒的粗細(xì)忽略不計(jì))的長(zhǎng)度最長(zhǎng)是cm.

A

\\C

\/D-----|Z

zB

3.今年，第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號(hào)臺(tái)風(fēng)“普拉?！焙偷?5號(hào)臺(tái)風(fēng)“蘇

力”又于19日登陸.A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于距離A市52km的5處(即AB=52km),正以8km/h

的速度沿5c直線方向移動(dòng).

C

A

7

B

(1)已知A市到BC的距離AD=20km,那么臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長(zhǎng)?

題型十九勾股定理的逆定理

55.如圖，已知N/=90。，AC=AB=4,CD=2,BD=6.則44al的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

56.若△4BC的三邊長(zhǎng)分別為26而則△4BC的面積為()

A.2A/3B.25/2C.477D.473

57.下列條件能判定△/3C是直角三角形的是()

A.NA-NB=NCB.ZA:Z.B:ZC=3:4:5

C.AB=M,BC=44,AC=45D.AB:BC:AC=2:2:3

鞏固訓(xùn)練

I.△Z8C中，/4、ZB,-C所對(duì)的邊分別為a、b、c,由下列條件不能判斷它是直角三角形的是()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZA=NB-NC

C.a2=(Z?+c)(Z)-c)D.a:b:c=3:4:5

2.如圖，△N3C中，E為邊上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作/OLCE,垂足為Z),若/。=7,N2=20,

BC=15,DC=2.4.

（2）記"DE的面積為凡，ABCE的面積為S2,貝US2-岳的值為.

3.如圖，在一塊直角三角形（44。8=90。）土地上，準(zhǔn)備規(guī)劃出圖中陰影部分作為綠地，若規(guī)劃圖設(shè)計(jì)中

要求N4DC=90。，40=8,CD=6,AB=26,求綠地的面積.

題型二十最短路徑問(wèn)題

58.如圖，一圓柱體的底面圓周長(zhǎng)為12,高為8,8c是上底的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)/出發(fā)，沿著圓柱

的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則爬行的最短路程是

A.V265B.2773C.4后D.10

59.如圖，在長(zhǎng)方體/BCD-dB'C'。中，AB=BB'=4,AD=6一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬

到C'點(diǎn)，求螞蟻怎樣走路程最短，最短路程是（）

B'C

C.2V17D.10

60.如圖，要在河邊/上修建一個(gè)水泵站，分別向/村和B村送水，已知A