2024-2025學(xué)年滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：因式分解 知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）解析版

因式分解知識(shí)歸納與題型突破（12類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)一、公因式

多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.

特別說明：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.

（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母

是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

知識(shí)點(diǎn)二、提公因式法

把多項(xiàng)式網(wǎng)a必+,飲'分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式機(jī)，另一個(gè)因式

是（a+b+c）,即”》i+>nA+/Mc=E-（a+B+c）,而（a+b+c）正好是羽⑵+州5+版1除以加所得的商,

這種因式分解的方法叫提公因式法.

特別說明：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，

即“ut+"4+fnc-mi：J+6+ci.

（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)?/p>

正數(shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公

因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸?1”或“一1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

知識(shí)點(diǎn)三、公式法——平方差公式

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：

cr-b2=（a+6）（。-b）

特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.

（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的

和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時(shí)要注意字母。和b的廣泛意義，。、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或

多項(xiàng)式.

知識(shí)點(diǎn)四、公式法^—―完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+,a2-2ab+b~=（a-Z））2.

形如/+2ab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.

特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；

（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.

右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時(shí)要注意字母。和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或

多項(xiàng)式.

知識(shí)點(diǎn)五、十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.

對(duì)于二次三項(xiàng)式x?+bx+c,若存在＜C，則Y+6x+c=（x+p）（x+q）

[p+q=b

特別說明：（1）在對(duì)Y+bx+c分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)c的正、負(fù)入手，若c〉0,則p、q

同號(hào)（若c<0,則P、q異號(hào)），然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)b的正負(fù)再確定夕、q的符號(hào)

（2）若/+云+。中的上。為整數(shù)時(shí)，要先將c分解成兩個(gè)整數(shù)的積（要考慮到分解的各種可能），然

后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于b,直到湊對(duì)為止.

知識(shí)點(diǎn)六、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項(xiàng)式0?+區(qū)+。（4邦）中，如果二次項(xiàng)系數(shù)?？梢苑纸獬蓛蓚€(gè)因數(shù)之積，即。=。M2,常數(shù)

項(xiàng)C可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即。=。]。2，把/，a2>CP。2排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到。心+生:。，若它正好等于二次三項(xiàng)式辦之+bx+C的一次項(xiàng)系數(shù)

b,即年？+a2cl=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式qx+q與a2x+c2之積，即

2

ax+bx+c=（<2]X+cJ（a2x+c2）.

特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”

（2）二次項(xiàng)系數(shù)。一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)

式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.

知識(shí)點(diǎn)七、分組分解法

對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方

法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解一分組分解法.即先對(duì)

題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.

特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有:

方法分類分組方法特點(diǎn)

①按字母分組②按系數(shù)分組

二項(xiàng)、二項(xiàng)

四項(xiàng)③符合公式的兩項(xiàng)分組

分組

三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式

分解

五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式

法

三項(xiàng)、三項(xiàng)

六項(xiàng)各組之間有公因式

二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)

三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式

知識(shí)點(diǎn)八：添、拆項(xiàng)法

把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、公式法或

分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.

添、拆項(xiàng)法分解因式需要一定的技巧性，在仔細(xì)觀察題目后可先嘗試進(jìn)行添、拆項(xiàng)，在反復(fù)嘗試中熟

練掌握技巧和方法.

知識(shí)點(diǎn)九：因式分解的解題步驟

因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項(xiàng)法等.

特別說明：落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：

首先提取公因式，然后考慮用公式；

兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；

四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適；

幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；

因式分解要徹底，一次一次又一次.

03題型歸納

題型一判斷是否是因式分解

1.下列各式從左到右的變形中，不是因式分解的是()

A.a2-1=(a+l)(a-1)B.2ab+2ac=2a(b+c)

C.x2-6x+9=(x—3)2D.m2-4m+l=(m+2)(m-2)+1

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的定義，因式分解的定義是將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變

形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，由此逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握因

式分解的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、。2_1=(“+1)(0-1)符合因式分解的定義，故不符合題意；

B、2a6+2ac=2a(6+c)符合因式分解的定義，故不符合題意；

C、V一6x+9=(x-3)2符合因式分解的定義，故不符合題意；

D、蘇-4m+l=(〃z+2)(加-2)+1不符合因式分解的定義，故符合題意；

故選：D.

2.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.a2c-a2b-4=o2B.a[x+-ax+ay

C.(x+3y)(x-3y)=x2-9y2D.9a2+6ab+b2=(3tz+Z>)2

【答案】D

【分析】根據(jù)把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式叫做因式分解，判斷即可.

本題考查了因式分解的定義即把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???/，-/6-4=/伍-6)-4不是因式分解，

.'.A不合題意；

a(x+y)=ax+oy不是因式分解，

?".B不合題意；

?.?(x+3y)(x-3力=--9好不是因式分解，

；.C不合題意；

---9a2+6ab+b2=(3a+b)2是因式分解，

，D符合題意；

故選D.

3.下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.x?-4x+3=(x-l)(x-3)

B.X--7x+3=x(x—7)+3

C.(x+3)(x-3)=X。+9

D.x?-l+3x=(x+l)(尤-l)+3x

【答案】A

【分析】本題主要考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)

多項(xiàng)式因式分解，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、X2-4X+3=(X-1)(X-3),屬于因式分解，符合題意;

B、X2-7X+3=X(X-7)+3,不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、(x+3)(x-3)=/+9,不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、X2-1+3X=(X+1)(X-1)+3X,不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.下列變形是因式分解的是()

A.-4+3“=(a-2)(a+2)+3aB.x2+4x+4=(x+2)2

C.X+1=X(1H—jD.(x+l)(x-1)=x2—1

【答案】B

【分析】此題主要考查了因式分解的定義以及整式的乘法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.直接利用

因式分解的定義以及整式的乘法運(yùn)算法則分別判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、/-4+3a=(a-2)(a+2)+3a,右邊不是幾個(gè)因式乘積的形式，因此由左到右的變形中,

不是因式分解，故A不符合題意；

B、x2+4x+4=(x+2)2,是因式分解，故B符合題意；

C、x+l=x，+：J,右邊不是整式，不是因式分解，故C不符合題意；

D,(x+l)(x-l)=x2-l,是整式乘法，不是因式分解，故D不符合題意.

故選：B.

2.給出下列六個(gè)多項(xiàng)式：①x?+y2；(2)—x2+y2；?x2+2xy+y2；@x4—1；(§)x(x+1)—2(x+1)；@m2—

mn+；n2.其中，能因式分解的是(填序號(hào)).

【答案】②③④⑤⑥

【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案.

【詳解】①x2+y2不能因式分解，故①錯(cuò)誤；

②-x2+y2利用平方差公式，故②正確；

③x?+2xy+y2完全平方公式，故③正確；

④X4-1平方差公式，故④正確；

⑤x(x+1)-2(x+1)提公因式，故⑤正確；

⑥m2-mn+Jn2完全平方公式，故⑥正確；

故答案為②③④⑤⑥.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，因式分解的方

法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，注意分解要徹底.

3.下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？

(1)(x+l)(x—2)=%2—x—2；

(2)X2+2X+3=(X+1)2+2；

(3)3xv2-9xy+6x=3x(y-l)(_v-2)；

(4)4x2+12xy+9y2=(2x+3j)2

【答案】(1)不是因式分解

(2)不是因式分解

(3)是因式分解

(4)是因式分解

【分析】根據(jù)分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，利用排除法求解.

【詳解】(1)解：(x+l)(x—2)=f—x—2,是整式的乘法，不是因式分解；

(2)解：X2+2X+3=(X+1)2+2,最后結(jié)果不是幾個(gè)整式的積，不是因式分解；

(3)解：3xy2-9xy+6x=3x(j-1)(^-2),是因式分解;

(4)解：4x2+12xy+9y2=(2x+3v)2,是因式分解.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式是解題關(guān)鍵.

題型二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)

4.若多項(xiàng)式Y(jié)+x+b因式分解的結(jié)果為(x+3)(x-2),則b的值是()

A.5B.—5C.6D.-6

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)以上內(nèi)容得出多項(xiàng)式V+x+b因式分解的結(jié)果為(》+3)。-2)得出

6=3x(-2),再求出答案即可.

【詳解】'''多項(xiàng)式r2+x+6因式分解的結(jié)果為(x+3)(x-2)=，+x-6,

.■.Z?=3x(-2)=-6.

故選：D.

5.若f+加x+4=(無-2『，則下列結(jié)論正確的是()

A.等式從左到右的變形是乘法公式，m=4

B.等式從左到右的變形是因式分解，優(yōu)=4

C.等式從左到右的變形是乘法公式，m=-4

D.等式從左到右的變形是因式分解，m=-4

【答案】D

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式即為因式分解，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：Y+?ZX+4Q(X-2)2,

x2+mx+4=x2-4x+4,

則m=-4,

原等式從左到右的變形是因式分解，從右到左的變形是乘法公式.

故選：D.

6.把多項(xiàng)式貨+力-2分解因式，結(jié)果是(3x+D(x+6),則①6的值為()

A.a=7,b=2B.a=5,b=2

C.a=—7,b——2D.a=—5,b——2

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式乘法，解二元一次方程組，因式分解的定義等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)多項(xiàng)式乘法將因

式展開，然后組成方程組，解方程組即可得解，熟練掌握整式乘法法則是解決此題的關(guān)鍵.

【詳角軍】3/+辦一2=(3x+l)(x+b)=3f+(3b+l)x+b,

3b+1=a

b=-2

\ci——5

"[b=-2

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.因式分解V+e—12=(%+2)(%+幾)，其中冽、〃都為整數(shù)，則加的值是()

A.-6B.-5C.-4D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查了因式分解與多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)多項(xiàng)式乘法把等式右邊展開得到

m=n+2,2n=-12,據(jù)此可得答案.

【詳解】I?：Vx2+mx-12=(x+2)(x+n),

x2+mx-12=x2+2x++2n，

x2+mx-12=x2+(?+2)X+2H,

m=n+2,2〃=-12,

m=-4,n=-6,

故選：c.

2.己知二次三項(xiàng)式V-4x+機(jī)有一個(gè)因式是x+3,則用的值為.

【答案】-21

【分析】設(shè)另一個(gè)因式為(x+P),得x-4x+切=(x+3)(x+p),根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則即可求解.

本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相

反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式.

【詳解】解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+〃)，＜x2-4x+w=(x+3)(x+p),

貝I]x2-4x+??=x?+(3+p^x+3p

.，4=3+p

*[m=3p'

f/?=-7

解得“

[w=-21

,另一個(gè)因式為(x-7),切的值為-21

故答案為：-21

3.仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：

已知二次三項(xiàng)式/-4x+機(jī)有一個(gè)因式是x+3,求另一個(gè)因式以及m的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+〃)，^x2-4x+m=(x+3)(x+n)

貝ljx2-4x+m=x2+(n+3)x+3n

J”+3=-4

[m=3n

解得：n=-7,m=-21.

另一個(gè)因式為(x-7),加的值為-21.問題：仿照以上方法解答下面問題：

⑴已知二次三項(xiàng)式/-3x+上有一個(gè)因式是(x+2),求另一個(gè)因式以及人的值.

⑵已知二次三項(xiàng)式2/+3xd有一個(gè)因式是(2》-5),則另一個(gè)因式為一，左的值為

(3)已知二次三項(xiàng)式3/+4ax+l有一個(gè)因式是(x+。)，。是正整數(shù)，則另一個(gè)因式為a的值為一

【答案】(1)尤-5,k=-10

⑵x+4,20

(3)3x+l,1.

【分析】本題考查了因式分解與整式乘法的關(guān)系，方程組的解法，正確理解因式分解與整式的乘法互為逆

運(yùn)算是關(guān)鍵.

(1)設(shè)另一個(gè)因式是x+6,則》2-3x+左=(x+2)(x+6)=x2+(2+b)x+2b,再建立方程組解題即可；

(2)設(shè)另一個(gè)因式是x+b,貝叫2x-5)(x+6)=2f+(26-5)x-56=2f+3x-3根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即

可求得6和k的值.

(3)設(shè)另一個(gè)因式是3x+加，利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求出〃八a

的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：二次三項(xiàng)式x?-3x+上有一個(gè)因式是(x+2),設(shè)另一個(gè)因式是x+方，貝U

無？一3x+A：=(x+2)(x+6)=x?+(2+b)x+26,

2+b=-3

則

2b=k

b=-5

解得:

左二—10

則另一個(gè)因式是：％-5,左=一10；

(2)解：??,二次三項(xiàng)式2/+3x-左有一個(gè)因式是(2x-5),設(shè)另一個(gè)因式是x+b,則

(2x-5)(x+b)=2x2+2bx-5x-5b=2x2+(26-5卜-56=2x2+3x-左，

26-5=3

則

-5b=-k

6=4

解得:

左=20'

則另一個(gè)因式是：x+4,左=20；

(3)解：二次三項(xiàng)式3/+4"+1有一個(gè)因式是(X+。)，。是正整數(shù)，設(shè)另一個(gè)因式是標(biāo)+加，則

（x+（2）（3x+m）=3x2+（加+3〃）x+〃加=3x2+4ax+1,

m+3a=4a

則

am=1

m=lm=-\

解得1,或i(舍去，不符合題意),

a=[a=-\

另一個(gè)因式是3x+l，

故另一個(gè)因式是3x+l,a=\.

題型三提公因式法分解因式

7.如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是％,乃它的周長(zhǎng)為14,面積為10.則/》+初2的值為()

X

y

A.140B.70C.14D.10

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解，先根據(jù)題意得出x+V=7,刈=10,再將x3+xj?進(jìn)行因式分解，最后代入

求值即可.

【詳解】解：：該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14,面積為10,

2（x+y）=14,孫=10,則x+y=7,

/.x2y+xy2=xy（x+y）=10x7=70,

故選：B.

8.若a+6=4,ab=2,則/b+ab?的值為（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，代數(shù)式求值，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.將16+刈2提取公因

式而，進(jìn)而將已知代入求值即可.

【詳解】解：；。+6=4,ab=2

a2b+ab2=ab^a+b）=2x4=8

故選：B.

9.已知2a-3=6,ab=2,則的值為（）

A.-5B.6C.-6D.5

【答案】B

【分析】本題因式分解、考查代數(shù)式求值，由2/6-仍2=仍（2°-?,進(jìn)行整體代入求解即可.

【詳解】解：：2"3=6,

2a—b=39

2a2b-ab2=ab（la-b^=2x3=6,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.把多項(xiàng)式2("2)+6x(2-a)分解因式，結(jié)果是()

A.(a—2)(2+6x)B.(a-2)(2-6x)C.2(a-2)(l+3x)D.2(a—2)(1—3x)

【答案】D

【分析】本題主要考查了分解因式，直接提取公因式“。-2)分解因式即可.

【詳解】解：2(a-2)+6x(2-a)=2(“一2)(l-3x),

故選：D.

2.多項(xiàng)式-9/y+36盯2-3盯提公因式-3孫后的另一個(gè)因式為.

【答案】3X-12J+1

【分析】本題主要考查了提公因式法因式分解，熟練掌握提因式分解的常用方法是解題關(guān)鍵.根據(jù)提公因

式法分解因式進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：-"、+36中2_3孫=_3孫(3x-12y+l),

所以，多項(xiàng)式-9一夕+36孫2_3孫提公因式-3◎后的另一個(gè)因式為3x-12y+l.

故答案為：3x-12y+l.

3.分解因式：

(Y)a2x2-ax

(2)-14仍。-lab+A9ab2c

【答案】(l)ax(ax-l)

⑵-7“6(2c+1-7be)

【分析】本題考查分解因式；

(1)直接提公因式分解因式即可；

(2)直接提公因式分解因式即可.

【詳解】(1)a2x2-ax=ax^ax-l)；

(2)-14a/>c-1ab+49ab2c=-lab(2c+1-Ibc^.

題型四公因式

10.把2〃"/+加〃分解因式，應(yīng)提取的公因式是（）

A.2mB.mnC.2mMD.mn2

【答案】B

【分析】本題考查了提公因式進(jìn)行分解因式，根據(jù)的公因式是加力，則把2根/+7〃〃分解因式，應(yīng)

提取的公因式是37,即可作答.

【詳解】解：2力?"2+力?”的公因式是

，把+7即分解因式，應(yīng)提取的公因式是小”,

故選：B

11.用提公因式法因式分解多項(xiàng)式：8a2b-na3b2c,其中的公因式是（）

A.801bB.I2a3b2cC.4abD.4a2b

【答案】D

【分析】此題考查了因式分解-提公因式法，找出各項(xiàng)的公因式是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)都含有的相同字母并且取相同字母的最低

指數(shù)次塞，即可得到答案.

【詳解】8/6—124%2c

=4a2bx2-4a2bx3abc

=4a%（2—3a6c）,

故選：D.

12.多項(xiàng)式2Mx-10〃/的公因式是（）

A.2B.xC.2xD.2mn

【答案】C

【分析】根據(jù)提取公因式法分解因式解答即可.

本題考查了提取公因式分解因式，熟練掌握提取公因式法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由2加x-10"/=2x（m-5〃x）,故公因式是2x,

故選C.

鞏固訓(xùn)練

1.把多項(xiàng)式12a6+3aZ?分解因式，應(yīng)提的公因式是()

A.12abB.4abC.3abD.3ab3

【答案】C

【分析】本題主要考查了分解因式，觀察可知兩個(gè)單項(xiàng)式的公因式為3",據(jù)此可得答案，解答本題的關(guān)鍵

要明確：確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字

母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)

的指數(shù)的最低次嘉.

【詳解】解：12仍+3"3=3仍(4+62),

二多項(xiàng)式12成+3°〃分解因式，應(yīng)提的公因式是3ab,

故選：C.

2.多項(xiàng)式3/加一6。2加+12。加的公因式是.

【答案】3am

【分析】此題考查了提公因式因式分解法的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)進(jìn)行求解.

運(yùn)用提公因式因式分解法進(jìn)行求解.

【詳解】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是3,字母的公因式為。加，

多項(xiàng)式6a2加+12。加的公因式是3a?i,

故答案為：3am.

3.已知：A=3X2-12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+l)(x+3)+l.問多項(xiàng)式A,B,C是否有公因式？若有,

求出其公因式；若沒有，請(qǐng)說明理由.

【答案】有公因式;公因式為(x+2)

【分析】分別將多項(xiàng)式A=3X2-12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+1)(x+3)+1,進(jìn)行因式分解，再尋找他們的公

因式.

【詳解】解：多項(xiàng)式A、B、C有公因式，

?：A=3X2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),

B=5x2y3+lQxy3=5xy3(x+2),

C=(X+1)(X+3)+1=X2+4X+3+1=/+4X+4=(X+2)~

多項(xiàng)式A、B、C的公因式是：(x+2)

【點(diǎn)睛】熟練掌握提公因式的方法，先通過化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型五平方差公式分解因式

13.下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()

A.—x~—2y~B.—x2+1

C.x2+1D.X2+4X+4

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解的平方差公式，根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)逐個(gè)分析得結(jié)論.

【詳解】解：A、不能用平方差公式因式分解，不符合題意；

B、一，+1=-(，-1)=-門+1)(支-1),可以用平方差公式進(jìn)行因式分解，符合題意；

C、V+i,不能用平方差公式因式分解，不符合題意；

D、f+4x+4=(x+2)2,用完全平方公式因式分解，不符合題意；

故選：B

14.下列各式能用平方差公式進(jìn)行分解因式的是()

A.%2+1B.-1+x2C.-x2-y2D.x2+4x+4

【答案】B

【分析】本題考查了用平方差公式分解因式，能熟記平方差公式+-6)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A./+i不能用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.-l+x2=x2-l=(x+l)(x-l),能用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；

C.-x2-y2=-(x2+y2)),不是用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D./+4x+4=(x+2)2不能用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

15.已知248—1可以被60到70之間的某兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)分別是()

A.61,62B.61,63C.63,65D.65,67

【答案】C

【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用.多次利用平方差公式化簡(jiǎn)，可解得.

【詳解】解：248-1

=（224+1）（224-1）

=（224+1）（212+1）（212-1）

=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）

=63X65X（224+1）（212+1）

，這兩個(gè)數(shù)是63,65.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（）

A.a2+b2B.2a-b-C.—'D.-a2+9b2

【答案】D

【分析】本題主要考查了平方差公式分解因式.根據(jù)平方差公式，能把一個(gè)多項(xiàng)式拆成兩數(shù)之和乘上兩數(shù)

之差的形式，進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、不能運(yùn)用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不能運(yùn)用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不能運(yùn)用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、-/+962=962-/=（36+。）（36-可能運(yùn)用平方差公式分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選:D

2.小明抄在作業(yè)本上的式子--9必（“十”表示漏抄的指數(shù)），不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為小

于5的正整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式,請(qǐng)你幫小明寫出這個(gè)整式分解因式的結(jié)果:.

（答案】（x+3y）（x-3y）或（%2+3y）（x2-3y）

【分析】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解.解題的關(guān)鍵在于正確的使用平方差公式.

分兩種情況討論①當(dāng)十=2時(shí)，②當(dāng)十=4時(shí)，分別因式分解即可.

【詳解】解：由題意知，共有十=2時(shí)，十=4兩種情況：

情況①，當(dāng)十=2時(shí)，x2-9y2=（x+3j）（x-3y）；

情況②，當(dāng)十=4時(shí)，/-9/=（/+3y）（一一3?）；

綜上所述，整式分解因式的結(jié)果：。+3'）。-330或（/+3y）（一_3y）

故答案為：（x+3yxx-3y）或（%2+3yx--3y）.

3.小明遇到下面一個(gè)問題：

計(jì)算.（2+1）（2?+1）（24+1）（2'+1）.

經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以應(yīng)用平方差公式解決問

題，具體解法如下：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）

=（28-1）（28+1）

=216-1.

請(qǐng)你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

【分析】此題考查了平方差公式，以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

（1）原式補(bǔ)上（2-1）,利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）原式補(bǔ)上;（3-1）,利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（3）原式利用平方差公式展開，然后利用分?jǐn)?shù)乘法約分即可求解.

［詳解］（1）解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）

=232-1;

（2）解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

=1（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

44816

=1（3-1）（3+1）（3+1）（3+1）

8816

=1[3-1）（3+1）（3+1）

=1（316-1）（316+1）

⑶"XX

1+1'V1一1

iIIC150

314250485149

=—X—X—X—X---X——X——X——X——

223349495048

151

=—x—

250

51

100

題型六完全平方公式分解因式

16.下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是()

A.x2+y2+1xyB.-x2+y2+2xy

C.一廠—+2xyD.—x~一y~-2,xy

【答案】B

【分析】本題因式分解，掌握運(yùn)用公式法分解因式是解決此題的關(guān)鍵.

根據(jù)完全平方公式1±2M+62=(a±6)2逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】解：A、V+/+2中=(x+>)2能用完全平方公式因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、+2孫不能用完全平方公式因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；

C、一1―『+2孫=一卜2+/-2切)=一(工一用2能用完全平方公式因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意;

D、-，-/-2中=_(/+/+2X?=-(X+>)2能用完全平方公式因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

17.下列多項(xiàng)式(1)a2+b\(2)a2-ab+b\(3)(x2+y2)2-x2y2；(4)x2-9;(5)

2x2+8xy+8y2.其中能用公式法分解因式的個(gè)數(shù)有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.直接利用平方差公式、完全平方公式分

別分解因式進(jìn)而判斷即可.

【詳解】解：(1)/+/不可以公式法分解因式；

(2)/-仍+〃不可以公式法分解因式；

(3)(/+/)2一//可以平方差公式分解因式；

(4)一一9可以平方差公式分解因式；

(5)2/+8個(gè)+8/可以完全平方公式分解因式，

故選：B.

18.無論。、6為任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式02+62一4.+66+13的值總是()

A.非正數(shù)B.非負(fù)數(shù)C.0D.正數(shù)

【答案】B

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，把原式變形為(/-40+4)+伊+66+9),再利用完全平方公式

分解因式得至Ua?+6?—4。+66+13=(a—2)+9+3)>0,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：/+/—4a+6b+13

=(/-4a+4)+(〃+66+9)

=(a-2)2+(/>+3)2,

,/(a-2)2>0,(/?+3)2>0,

(a-2)2+(Z)+3)2>0,

；?a2+b2~4a+6b+13>0,

故選；B.

鞏固訓(xùn)練

1.若M=3x?-80+9/-4x+6y+13,則M的值一定是()

A.0B.負(fù)數(shù)C.正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，將初=3--8肛+9/一人+67+13轉(zhuǎn)化為完全平方的和的形式，進(jìn)行

判斷即可.

【詳解】解：Af=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13

=x2-4x+4+2(x2-4xy+4y2+y2+6y+9

=(x-2)2+2(x-2?+(y+3)”,

V(X-2)2>0,(X-2y)2>O,(J^+3)2>O,

當(dāng)且僅當(dāng)：x_2=0,x_2y=0/+3=0時(shí)，—=0,(x-2y)2=0,(j^+3)2=0,

(x-2y『,(y+3)2不能同時(shí)為o,

：.M>0,即：M的值一定是正數(shù)；

故選：C.

2.已知實(shí)數(shù)x,>滿足/一4中+5/一歹=一；，貝ijx+2y=.

【答案】2

【分析】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二元一次方程組的解法，理解非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；由條件可得=0,再求解陽^的值即可.

【詳解】解：一4刈+5/7+:=0,

X=1

解得：1,

y=—

2

x+2y=l+2x—=2；

故答案為：2.

mmtv

3.=+2025,b=--+2026,c=——+2027,^a2+b2+c2-ab-bc-ca^H.

202720272027

【答案】3

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式；先求出4/-6=-1,b-c=-l,。-。=-2,再利用完全平

方公式對(duì)原式進(jìn)行變形，最后整體代入計(jì)算即可.

YYlYnTn

【詳解】解”"樂+2。23赤+2026-赤+2027,

mYYlmni

：.a-b=-------+2025-----------2026=-l,b-c=-------+2026-----------2027=-l,

2027202720272027

m

+2025-----------2027=

20272027

??/+b2+/—ab—be—cci

=；x[(/_2ab+〃)+(/—2bc+c?)+(/_2ac+c2

=-x[^a-b^+(b-c)2+(Q-C)2"|

1

=-X(1+1+4)

2

=-x6

2

=3.

題型七綜合運(yùn)用公式法分解因式

19.下列因式分解不正確的是()

A.-x2-2x-1=-(x+1)2

B.2x2-4xy-2產(chǎn)=2(x-y)2

C.4x2-16)^=4(x+2y)(x-2y)

D.x2+4x=x(x+4)

【答案】B

【分析】根據(jù)完全平方公式以及因式分解的計(jì)算即可求出正確答案.

【詳解】解：A選項(xiàng)，-x2-2x-1=-(x2+2x+l)=-(x+1)2,故4項(xiàng)不符合題意,

8選項(xiàng)，lx2-4xy-2y2—2(x2-2xy-y2),故5項(xiàng)符合題意，

C選項(xiàng)，4N-16f=4(x+2y)(x-2y)f故。項(xiàng)不符合題意，

。選項(xiàng)，x2+^x—x(x+4),故。項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解.因式分解方法主要有提公因式法和公式法.

20.下列因式分解正確的是()

A.N-9=(%-3)2

B.x2-2x-1=x(x-2)-1

C.4/-Sy+4=(2y-2)2

D.x(x-2)-(2-x)=(x_2)(x+1)

【答案】D

【分析】各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】解：4、原式=G+3)(x-3),錯(cuò)誤；

B、原式不能分解，錯(cuò)誤；

。、原式=4(y2-2y+1)=4(歹-1)"錯(cuò)誤；

D、原式=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1),正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

21.在把多項(xiàng)式加2—2加〃-3/因式分解時(shí)，雖然它不符合完全平方公式，但經(jīng)過變形，可以利用完全平方

公式進(jìn)行分解：原式=/—2m幾+幾之~4n2=(m-n)2-4n2=(m+n)(m-3n),像這樣構(gòu)造完全平方式的方法

稱之為“配方法”.用這種方法把多項(xiàng)式6M+5/因式分解的結(jié)果是()

A.(a+5b)(〃+b)B.(a-5b)(〃+b)

C.(a+5b)(a—b)D.

【答案】D

【分析】依照例題，根據(jù)完全平方公式、平方差公式解答.

【詳解】a2-6ab+5b2

=a2-6ab+9b2-4b2

=(a-3b)2-(2b)2

=(a-3b+2b)(a-3b-2b)

=(a-b)(a-5b)；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了綜合運(yùn)用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.對(duì)于：

22

@X-4=(X-2)；

②-x?+1=(x+l)(l-x);

③d+2尤-4=(x+2)-

其中因式分解正確的是(

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】D

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：①/一4=(x-2)(x+2),此項(xiàng)錯(cuò)誤；

②-丁+1=(尤+1)(17),此項(xiàng)正確；

③+2x-4w(x+2)2,止匕項(xiàng)錯(cuò)誤；

④+l=,此項(xiàng)正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾

個(gè)整式的積的形式，叫因式分解.

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2/-3X-6=.

【答案】2/中卜一三產(chǎn))

【分析】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解.熟練掌握在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解是解題的關(guān)鍵.

利用公式法進(jìn)行因式分解即可.

=2x———x

故答案為：2xX

3.因式分解：

(l)x3y-6x2y+9xy

(2)(X2+4)2-16X2

【答案】⑴孫(x-3『

(2)(x+2)2(x-2)2

【分析】本題考查因式分解：

(1)先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：原式二切［?-6x+9)=孫(x-3)2；

(2)原式=(，+4+4x)(x~+4—4x)=(x+2)(x—2).

題型八綜合提公因式和公式法分解因式

22.代數(shù)式3(x+y)3-27(x+y)分解因式的結(jié)果正確的是()

A.3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)

B.3(x+y)[(x+y)2-9]

C.3(x+y)(x+y+3)2

D.3(x+y)(x+y-3)2

【答案】A

【分析】本題考查了是分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：3(x+?-27(x+y)

=3(x+y)[(x+y)2-9]

=3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)；

故選A

23.規(guī)定新運(yùn)算：〃十b=3〃-2b,其中。=/+2盯，b=3xy+6y2,則把〃十b因式分解的結(jié)果是()

A.3(x+2y)(x-2y)B.3(x-2y)2

C.3(X2-4/)D.3(x+4y)(x-4y)

【答案】A

【分析】題目主要考查整式的加減運(yùn)算及因式分解，理解題意，根據(jù)新定義的運(yùn)算法則計(jì)算，然后因式分

解即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【詳解】a=x2+2xy,b=3xy+6y2,

Q十b=3(X?+2xy^-2(3xy+6y2)

=3x2+6xy-6xy-12j2

=3X2-12/

=3(%2_4y2)

=3(x+2y)(x-2y),

故選:A.

24.多項(xiàng)式加2一加與多項(xiàng)式2加2一4加+2的公因式是()

A.m-1B.m+1C.m2-1D.(m-1)2

【答案】A

【分析】題目主要考查提公因式及公式法分解因式，先將兩個(gè)多相似分解因式，然后找出公因式即可.

【詳解】解：把多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，

多項(xiàng)式m2—m=m(jn—1),

多項(xiàng)式2蘇-4加+2=2(加二-2m+V)=2(jn-1)2,

???它們的公因式為m-1.

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.(cz+3)~=a2+6tz+9B.-4a+4=a(a-4)+4

C.2ax2-lay2=2a(x+y)(x—y)D.a2-a-12=(a-3)(a+4)

【答案】C

【分析】本題主要考查因式分解.根據(jù)因式分解的概念“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形

叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解”可進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：A、(a+3)2=/+6a+9,屬于整式的乘法，故不符合題意；

B、a2-4a+4=a(a-4)+4,不符合幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；

22

C、2ax-2ay=2a(x+y)(x-y),屬于因式分解，故符合題意；

D、/-a-12=(a+3)(a-4)R(a-3)(a+4),所以因式分解錯(cuò)誤，故不符合題意；

故選：C.

2.分解因式：2x3+4x2+2x=.

【答案】2x(x+l)2

【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：原式=2尤，+2尤+l)=2x(x+l『；

故答案為：2x(x+l『.

3.把下列各式因式分解.

(l)-6x2_y-12xy+15y；

(2)n3(w-2)+??(2-m)；

⑶一(V一i)+2x(y?+-1)；

(4)(X-1)(X-3)+1.

【答案】⑴-3>(2Y+4X-5)

⑵〃(%-2乂〃+1乂“-1)

(3)(y+i)(y-i)(x+l)2

(4)(x-2)2

【分析】本題考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵；

(1)提取公因式-3y即可；

(2)提取公因式〃(力-2),再利用平方差公式分解因式即可；

(3)提取公因式丁一1,再利用平方差公式與完全平方公式分解因式即可;

(4)先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：-6工2y一12個(gè)+15y

=-3片2x2-3y-4x-3y-(-5)

=-3y(^2x2+-5)

(2)解：加一2)+〃(2—加)

=〃(加-2)(/—i)

二〃(加一2)(〃+1)(〃一1)；

(3)解：x2(/-l)+2x(r一1)+(r-1)

二(歹2-1)(/+2工+1)

=(y+i)CyT)(x+i)2；

(4)解：(%-1)(%-3)+1

=-—3x-x+3+1

=一—4%+4

=(x-2)2.

題型九因式分解在有理數(shù)簡(jiǎn)算中的應(yīng)用

25.若加+幾=3,貝I]2加之+4加〃+2/—5的值為（）

A.13B.18C.5D.1

【答案】A

【分析】先將代數(shù)式前三項(xiàng)利用完全平方公式適當(dāng)變形，然后將冽+〃=3代入計(jì)算即可.

【詳解】解：2m2+4mn+2n2—5

=2（加2+2mn+〃？）一5

=2（冽+〃）2-5

m+n=3

???原式=2x32-5=13

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式.做此類題，首先必須做到心中牢記公式的“