2024-2025學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：全等三角形模型之平移和軸對(duì)稱(chēng)模型（原卷版）

專(zhuān)題10全等三角形模型之

平移和軸對(duì)稱(chēng)模型

目錄

解題知識(shí)必備

壓軸題型講練..................................................................2

模型一、平移模型................................................................2

模型二、軸對(duì)稱(chēng)模型..............................................................2

壓軸能力測(cè)評(píng)（8題）

X解題知識(shí)必備2

模型一：平移模型

【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線I平行移動(dòng)，所得到ADEF與△ABC稱(chēng)為平移型全等三角形，圖①，

圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.

◎模型二：軸對(duì)稱(chēng)模型

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱(chēng)之為軸對(duì)

稱(chēng)型全等三角形，此類(lèi)圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見(jiàn)模型】

X壓軸題型講練2

(1)若48=74。,/萬(wàn)=26。，求-A的度數(shù)；

(2)若8C=4.5cm,EC=3.5cm,求7ABC平移的距離.

【變式訓(xùn)練如圖（1）,已知她8c的面積為3,且AB=AC,現(xiàn)將0ABe沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到aEFA.

(1)求0A2C所掃過(guò)的圖形面積；

(2)試判斷，AF與8E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)若麗EC=15。，求AC的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練2】.(12分)如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF=AB,已

知EJABEEBADF.

(1)在圖中，可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使回ABE變到團(tuán)ADF的位置;

(2)線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，將三角形ABC沿射線平移后能與三角形。斯重合(點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)E、廠對(duì)

應(yīng))，如果的長(zhǎng)為12,點(diǎn)E在邊上，且2<EC<4,求邊BC長(zhǎng)的取值范圍.

【變式訓(xùn)練4】.如圖，VABC沿2C方向平移到DEF的位置.

AD

BECF

(1)若N3=30。，ZF=45°,求3A的度數(shù);

(2)若所=10,EC=4,求平移的距離.

模型二、軸對(duì)稱(chēng)模型

例.嘉嘉學(xué)習(xí)了等腰三角形，知道"等邊對(duì)等角“，他想：那么邊不相等時(shí)，它們所對(duì)的角有什么樣的關(guān)系呢？

于是他做了如下探索：

他剪了一個(gè)如圖所示的VABC,其中然后把紙片折疊，使得A3與AC重合，且點(diǎn)2落在AC延

長(zhǎng)線上的耳處，然后利用軸對(duì)稱(chēng)和外角的性質(zhì)得到三角形中邊角的不等關(guān)系.

(1)請(qǐng)你完成證明過(guò)程：

證明：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以得到ABD^^ABtD

0_?_=/B](②)

又回是0cg的一個(gè)外角

團(tuán)NAC8=NB]+/月。。(③)

0ZACB>0

即NACB>/3（等量代換）

團(tuán)在VABC中，^AB>AC,則/ACB>/3

⑵請(qǐng)用（1）的結(jié)論解決問(wèn)題：在DEF中,若DE>DF,￡?G是EF邊上的中線，請(qǐng)?zhí)剿鱊EDG和/EDG

的大小關(guān)系，并寫(xiě)出證明的過(guò)程.（溫馨提示：延長(zhǎng)0G到點(diǎn)X,使G"=DG,連接EH）

【變式訓(xùn)練1】.平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)（。,0）,交V軸于點(diǎn)（08）,。、6滿(mǎn)足

b=Ja-4+A/4-G+4.

（1）求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）如圖1,。為上一點(diǎn)，連接3。，過(guò)點(diǎn)。作OEL3O交A3于E,若/BDO=/EDA,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,點(diǎn)、B、。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，M為x軸上A點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作交直線QA于點(diǎn)N,是

3_

否存在點(diǎn)使右頻=/”若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練2].如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=4,BC=8,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿

折線43-BC-C。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為無(wú)秒（尤>0）,0A3尸的面積為y（y>0）,回答下列

備用圖備用圖備用圖

⑴當(dāng)點(diǎn)P到和點(diǎn)B重合時(shí)，x=；當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí)，x=.

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，0ABp為軸對(duì)稱(chēng)三角形時(shí)，求x的值.

⑶當(dāng)4y二2時(shí)，寫(xiě)出y與尤的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.

【變式訓(xùn)練3】.教材呈現(xiàn)：如圖是某版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分

角平分線回憶

我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱(chēng)圖，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱(chēng)軸，如圖，0C是NAO8的角平分線，P是。C

上的任意一點(diǎn)，作PELOB,垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E,將—AO3沿OC對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PD與PE

完全重合，由此即有角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距相等.

己知：如圖，OC是4Q5的平分線，點(diǎn)尸是OC上的任意一點(diǎn)，PDA.OA,PEVOB,垂直分別為。和

點(diǎn)E.

求證：PD=PE.

請(qǐng)寫(xiě)出定理的證明過(guò)程

分析：圖中有兩個(gè)直角三角形EDO和PEO只要證明這兩個(gè)三角形全等，即可證明PD=PE.

請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出"角平分線的性質(zhì)定理"完整的證明過(guò)程.

定理應(yīng)用：

如圖②，在四邊形43co中，ZB=ZC,點(diǎn)E在邊BC上,AE平分44D,DE平分/ADC.

(1)求證：BE=CE.

(2)若四邊形ABCD的周長(zhǎng)為24,BE=2,面積為30,求一ABE的邊A3的高的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練4】.平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交工軸于點(diǎn)(。,0),交丁軸于點(diǎn)(0力)，a、方滿(mǎn)足

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖1,。為。4上一點(diǎn)，連接3。，過(guò)點(diǎn)。作交A3于E,若NBDO=NEDA,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)如圖2,點(diǎn)、B、。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，“為x軸上A點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作MN,3M交直線QA于點(diǎn)N,是

3

否存在點(diǎn)M,使S△…盧s若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

X壓軸能力測(cè)評(píng)8

1.已知，0ABe為等邊三角形，點(diǎn)。，E為直線BC上兩動(dòng)點(diǎn)，＞BD=CE.點(diǎn)R點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)

稱(chēng)，連接AE,順次連接A。，DF,AF.

(1)如圖1,若點(diǎn)。、點(diǎn)E在邊8。上，試判斷MAD與aroc的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若點(diǎn)。、點(diǎn)E在邊BC所在的直線上如圖(2)所示的位置，(1)中的結(jié)論是否還成立，說(shuō)明理由.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)點(diǎn)A。,-5),3(2,%).

(1)若A、B關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng),貝I]x1=,%=.

(2)若A、8關(guān)于'軸對(duì)稱(chēng)，則為=,%=.

(3)若A、3兩點(diǎn)重合，將重合后的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,0),B(0,4),點(diǎn)C在第一象限，ABSBC,BC=BA,點(diǎn)、P

在線段上，OP=OA,AP的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,AB與CP交于點(diǎn)N.

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線A3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G,求證：D,G關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

4.如圖，VABC的邊AC與CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB=CD,AB//CD.

⑴求證：△ABC會(huì)△€?￡1；

⑵將VABC沿射線AC方向平移得到AEC',邊3'C'與邊CD的交點(diǎn)為尸，連接跖，若族將QCDE分為

面積相等的兩部分，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)尸(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡).

5.一、知識(shí)回顧

(1)三角形中線性質(zhì)：三角形的中線能夠把三角形面積分成相等的兩個(gè)部分.

(2)圖形的平移性質(zhì)：圖形的平移不改變圖形的形狀和大小；一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行(或在同一條直線上)且相等.

二、知識(shí)應(yīng)用

如圖1,把VABC沿著射線BC方向平移到：。防，線段AC與DE交于點(diǎn)

DD

(1)若NB=60。,/尸=70。，求N￡MC的度數(shù).

(2)若點(diǎn)Af為AC的中點(diǎn)，VABC的面積為8.

①求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).

②求:AffiC的面積.

三、知識(shí)拓展

(3)如圖2,把VABC沿著射線3c方向平移到DE/，線段AC與。E交于點(diǎn)〃，點(diǎn)N為環(huán)的中點(diǎn)，DN

與MF交于點(diǎn)G,若DM:ME=3:1,5冊(cè)6=2時(shí)，求VABC的面積.

6.綜合應(yīng)用

如圖1,直線4：y=2x+3與X軸交于點(diǎn)B,直線4與X軸交于點(diǎn)c1|,o),4交于y軸上一點(diǎn)A.

(1)特征探究；求直線的表達(dá)式；

(2)坐標(biāo)探究：過(guò)。4的中點(diǎn)。，作上〃AB交AC于點(diǎn)E,求E點(diǎn)坐標(biāo)；